Значимая проблема применения метода IRR – существенное различие рисков операционных и инвестиционных потоков, которые размазаны по годам. Нахождение усредненной ставки не позволяет аналитику принять корректное решение по проекту. Для снятия проблемы различия рисков предложен метод модифицированной внутренней нормы доходности.

Метод модифицированной внутренней нормы доходности (MIRR) обеспечивает расчет годовой ставки, уравнивающей приведенные значения инвестиционных оттоков (со ставкой дисконтирования на уровне безрисковой доходности или доходности заимствования по проекту) с будущей оценкой операционных выгод (ставкой наращения выступает стоимость капитала для компании и проекта).

Правило метода MIRR: если по проекту расчетное значение MIRR превышает заданную ставку отсечения (альтернативную стоимость денег по проекту), то проект может быть принят.

Если обозначить будущую оценку операционных денежных потоков на конец года Т через FV (CF), а приведенную оценку инвестиционных затрат – через PV (Inv ), то формула для расчета MIRR примет вид

Пример 11

По проекту с инвестиционными затратами в 1000 ден. ед. и с операционными денежными потоками в размере 100, 300, 400 и 500 ден. ед. по годам покажем применение метода модифицированной нормы доходности при прогнозируемой ставке реинвестирования 10%.

Решение.

Схема расчета MIRR по данному проекту следующая.

1. Срок функционирования проекта равен четырем годам (Т = 4). Для стоимости капитала, равной 10%, рассчитывается будущая оценка денежных потоков, генерируемых проектом (рис. 29.4):

FV(CF) = 100 + 300 -1,11 + 400 1,12 + 500 1,13 = 1579,5.

2. MIRR является той ставкой дисконтирования, при которой текущая оценка FV равна текущей оценке инвестиционных затрат:

PV(Inv) = 1000 = 1579,5/(1 + MIRR)" = 1000MIRR = 12,1%.

Рис. 29.4. Расчет будущих оценок выгод проекта в методе MIRR

Для расчета MIRR аналитику требуется задать две ставки доходности для инвестиционных и операционных денежных потоков: финансовую ставку и ставку реинвестирования. В финансовых функциях Excel встроен алгоритм расчета модифицированной внутренней ставки доходности (МВСД). Проблема реализованного алгоритма в компьютерной программе – отражение всех отрицательных потоков как инвестиционных, а положительных – как операционных. Пример реализации алгоритма приведен ниже.

Пример 12

Рассматривается шестилетний проект с денежными потоками, показанными в табл. 29.7.

Таблица 29.7

Инвестиционные и операционные потоки по проекту

Функция ВСД для денежных потоков (-100, -10, 0, 180, 250, -80) дает значение 0,466 (46,6% годовых). Утверждать, что проект может быть принят при стоимости денег меньше 46,6% годовых, было бы опрометчиво, так как анализируемый поток нестандартный (два раза меняет знак: с "минуса" на "плюс" и с "плюса" на "минус") и можно предположить существование в рассматриваемом уравнении NPV= 0 двух корней.

Функция МВСД (рис. 29.5) для такого же потока даст меньшее значение: 0,3236 (32,36% годовых). Расчет строится на задании финансовой ставки на уровне 10% и ставки реинвестирования 14%. Если финансовая ставка увеличится до 14%, то значение MIRR станет 33%. При снижении ставки финансирования до 7% значение MIRR также уменьшится до 32%. Чем выше задаваемая ставка реинвестирования, тем выше будет получаемое значение MIRR. Так, при финансовой ставке, равной 10%, а ставке реинвестирования – 20% значение MIRR составит 34%.

Рис. 29.5. Задание параметров проекта для расчета MIRR по финансовой функции МВСД Excel

Обратим внимание на то, что расчет MIRR не порождает проблемы множественности корней (значений искомой ставки) или отсутствия решения при нестандартных денежных потоках проекта. Это еще одно преимущество метода по сравнению с расчетом IRR.

Международная практика обоснования инвестиционных проектов использует несколько показателей, позволяющих подготовить решение о целесообразности (нецелесообразности) вложения средств (оценить эффективность инвестиционного проекта).

Эти показатели можно объединить в две группы:

1. Основанные на дисконтированных оценках («динамические» методы):

2. Основанные на учетных оценках («статистические» методы):

Методы, основанные на дисконтированных оценках

Чистая приведенная стоимость (Net Present Value, NPV) . Этот метод основан на сопоставлении величины исходной инвестиции (IC) с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока. Допустим, делается прогноз, что инвестиция (IC) будет генерировать в течение n лет, годовые доходы в размере P1, P2, ..., Рk. Общая накопленная величина дисконтированных доходов (PV) и чистая приведенная стоимость (NPV) соответственно рассчитываются по формулам:

Очевидно, что если: NPV > 0, то проект следует принять; NPV < 0, то проект следует отвергнуть; NPV = 0, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет, то формула для расчета NPV модифицируется следующим образом:

Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала предприятия в случае принятия рассматриваемого проекта. Этот показатель аддитивен во временном аспекте, т.е. NPV различных проектов можно суммировать. Это очень важное свойство, выделяющее этот критерий из всех остальных и позволяющее использовать его в качестве основного при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

Индекс рентабельности инвестиций (Profitability Index, PI) . Этот метод является, по сути, следствием метода чистой теперешней стоимости. Индекс рентабельности рассчитывается по формуле:

Очевидно, что если: РI>1, то проект следует принять; РI<1, то проект следует отвергнуть; РI=1, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Логика критерия PI такова: он характеризует доход на единицу затрат; именно этот критерий наиболее предпочтителен, когда необходимо упорядочить независимые проекты для создания оптимального портфеля в случае ограниченность сверху общего объема инвестиций . В отличие от чистого приведенного эффекта индекс рентабельности является относительным показателем. Благодаря этому он очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV. либо при комплектовании портфеля инвестиций с максимальным суммарным значением NPV.

Внутренняя норма прибыли инвестиций (Internal Rate of Return, IRR) . Вторым стандартным методом оценки эффективности инвестиционных проектов является метод определения относительного показателя, определяемого в % отношении - внутренней нормы рентабельности проекта (internal rate of return, IRR), т.е. такой ставки дисконта, при которой значение чистого приведенного дохода равно нулю. Формула показателя имеет вид:

Если: IRR > WACC. то проект следует принять; IRR < WACC, то проект следует отвергнуть; IRR = WACC, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Отметим, что вместо критерия сравнения WACC может быть использована любая другая норма доходности, например, ставка по депозиту, ставка доходности по гособлигациям и т.д.

Экономический смысл этого показателя заключается в следующем: предприятие может принимать любые решения инвестиционного характера, уровень рентабельности которых не ниже текущего значения показателя CC (или цены источника средств для данного проекта, если он имеет целевой источник). Именно с ним сравнивается показатель IRR, рассчитанный для конкретного проекта, при этом связь между ними такова.

Смысл расчета этого коэффициента при анализе эффективности планируемых инвестиций заключается в следующем: IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом.

Модифицированная внутренняя норма прибыли (Modified Internal Rate of Return, MIRR) . MIRR - это ставка в коэффициенте дисконтирования, уравновешивающая притоки и оттоки средств по проекту. Метод дает более правильную оценку ставки реинвестирования и снимает проблему множественности ставки рентабельности, показатель рассчитывается по следующей формуле:

Дисконтированный срок окупаемости инвестиций (Discounted Payback Period, DPP) . Метод определения дисконтированного срока окупаемости инвестиций аналогичен методу расчета простого срока окупаемости, однако нет недостатков последнего, а именно - игнорирования факта неравноценности денежных потоков, возникающих в различные моменты времени.

Условие для определения дисконтированного срока окупаемости может быть сформулировано как нахождение момента времени, когда современная ценность доходов, получаемых при реализации проекта, сравняется с объемом инвестиционных затрат. Формула расчета дисконтированного срока окупаемости инвестиций:

Методы, основанные на учетных оценках

Срок окупаемости инвестиций (Payback Period, PP) . Этот метод - один из самых простых и широко распространен в мировой практике, не предполагает временной упорядоченности денежных поступлений. Алгоритм расчета срока окупаемости (РР) зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиции. Если доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. При получении дробного числа оно округляется в сторону увеличения до ближайшего целого.

Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция будет погашена кумулятивным доходом. Общая формула расчета показателя РР имеет вид: РР = n , при котором Рk > IC

Показатель срока окупаемости инвестиций очень прост в расчетах, вместе с тем он имеет ряд недостатков, которые необходимо учитывать в анализе. Во-первых, он не учитывает влияние доходов последних периодов. Во-вторых, поскольку этот метод основан на не дисконтированных оценках, он не делает различия между проектами с одинаковой суммой кумулятивных доходов, но различным распределением их по годам.

Коэффициент эффективности инвестиций (Accounting Rate of Return, ARR) . Этот метод имеет две характерные черты: он не предполагает дисконтирование показателей дохода; доход характеризуется показателем среднегодовой прибыли (балансовая прибыль за вычетом отчислений в бюджет).

Алгоритм расчета исключительно прост, что и предопределяет широкое использование этого показателя на практике: коэффициент эффективности инвестиции (ARR) в % отношении, рассчитывается делением среднегодовой прибыли (PN) на среднюю величину инвестиции (коэффициент берется в процентах). Средняя величина инвестиции находится делением исходной суммы капитальных вложений на два, если предполагается, что по истечении срока реализации анализируемого проекта все капитальные затраты будут списаны; если допускается наличие остаточной стоимости активов (RV), то ее оценка должна быть исключена. Формула ARR имеет следующий вид:

Данный показатель сравнивается с коэффициентом рентабельности авансированного капитала, рассчитываемого делением общей чистой прибыли предприятия на общую сумму средств, авансированных в его деятельность (итог среднего баланса-нетто).

Анализ инвестиционных проектов на основе метода внутренней ставки доходности (IRR) предполагает, что все денежные потоки проекта могут быть инвестированы по этой ставке, что нереально. Этот недостаток метода IRR устраняется при использовании так называемой модифицированной внутренней нормы доходности или сокращенно MIRR (M odified I nternal R ate of R eturn).

Суть расчета MIRR проста: все положительные денежные потоки от проекта наращиваются по % ставке, равной стоимости капитала компании (WACC), а затем находится ставка, дисконтируя по которой мы получим сумму нашей инвестиции. Возьмем для примера проект А, тот же самый, который использовался для расчета NPV и IRR ранее. Чтобы разобраться, как сделать расчет модифицированной внутренней нормы доходности, посмотрите на рисунок ниже:

Разберем всё по порядку.

Действие первое: все потоки от проекта инвестируются (наращиваются) по ставке 10% (мы помним, что это стоимость капитала для нашей компании).

Последний денежный поток не наращивается, это будет датой окончания нашего инвестиционного проекта. Итого получилось в четвертый год суммарный денежный поток должен быть равен 15,795.

После этого денежные потоки от проекта будут такими (в красной рамке):

В этой таблице рассчитан NPV проекта после «модифицирования» его денежных потоков. Как видно из таблицы, ничего не поменялось: NPV проекта А как и раньше равно 788 денежным единицам.

То есть у нас получилось, что вместо ежегодных денежных притоков остался только один положительный денежный поток в конце 4-го года и первоначальная инвестиция в сумме 10,000. Единственный денежный приток является эквивалентом четырех ежегодных положительных денежных потоков, что подтверждается неизменностью величины NPV.

Действие второе: теперь надо вычислить внутреннюю норму доходности для этих двух денежных потоков, которые эквивалентны первоначальному проекту А. Для этого лучше всего воспользоваться функцией ВСД в программе Excel (об этом подробно рассказано тут):

IRR в данном случае получилось равной 12,1%, а не 14,5% как IRR для первоначального проекта А. Эта величина 12,1% и является модифицированной внутренней нормой доходности.

В программе Excel можно рассчитать показатель MIRR напрямую. В закладке Формулы->Финансовые есть формула МВСД, которая и отвечает за расчет модифицированной нормы доходности. В ячейку «значение» нужно ввести ссылку на ячейки с денежными потоками, в ячейку «ставка_реинвест» - значение стоимости капитала, в нашем случае 10%.

Как видно из рисунка, функция МВСД дает то же самое значение показателя MIRR, которое было получено ранее расчетом из двух действий, а именно 12,1%.

Теперь можно посмотреть, как изменится решение о выборе из двух инвестиционных проектов А и Б.

Как видно из таблицы, при стоимости капитала (ставке дисконтирования и инвестирования) 10% оба метода «выбирают» проект А, при стоимости капитала 6% - оба метода также «голосуют» за один и тот же проект - проект Б (выделено синим). Сравните эту таблицу с предыдущей, где при тех же % ставках сведены вместе показатели NPV и IRR (ссылка на эту таблицу).

Таким образом, метод модифицированной внутренней нормы доходности снимает конфликт между NPV и IRR при выборе между двумя взаимоисключающими проектами, поскольку уравнивает ставку реинвестирования денежных потоков. Однако, MIRR отменяет одно из преимуществ метода IRR - придется рассчитывать ставку дисконтирования равную стоимости капитала компании, что всегда вызывает затруднения.

Возможность принятия противоположных решения также сохраняется. Если два проекта имеют одинаковый масштаб и продолжительность, то да, методы NPV и MIRR всегда будут выбирать один и тот же проект из двух взаимоисключающих проектов. То же самое справедливо и в отношении проектов одинакового размера, но разной продолжительности. В этом случае надо рассчитывать эти показатели на основе самого длительного проекта, просто добавив нулевые денежные потоки к более короткому проекту. Однако, если взаимоисключающие проекты различаются по масштабу (величине денежных потоков), то конфликт между двумя методами все еще возможен. Поэтому применение метода NPV все-таки является предпочтительнее, чем расчет IRR или MIRR (обычной или модифицированной внутренней нормы доходности).

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR)

Скорректированная с учетом нормы реинвестирования внутренняя норма доходности, или MIRR, также известная как модифицированная внутренняя норма доходности, в действительности гораздо легче рассчитывается вручную, чем IRR.

Порядок вычисления модифицированной внутренний нормы доходности MIRR.

• 1. Рассчитывают суммарную дисконтированную стоимость всех инвестиций и суммарную наращенную стоимость всех доходов. Дисконтирование осуществляют по стоимости капитала. Наращение осуществляют но ставке реинвестирования.
• 2. Определяют ставку дисконтирования, учитывающую суммарную дисконтированную стоимость всех инвестиций и суммарную наращенную стоимость всех доходов. Эта ставка уравновешивает суммарную дисконтированную стоимость всех инвестиций с суммарной наращенной стоимостью всех доходов и называется модифицированной внутренней нормой доходности (MIRR). Формула для расчета модифицированной внутренней нормы доходности имеет вид

где Р - суммарная дисконтированная стоимость всех инвестиций; 5 - суммарная наращенная стоимость всех доходов; п - срок проекта в годах.

Пример 10.10. Определите модифицированную внутреннюю норму доходности проекта при ставке реинвестирования 8%, у которого стоимость капитала 10% годовых, а платежи выплачиваются в конце года и распределены по годам следующим образом:

Решение. Найдем сумму дисконтированных инвестиций но стоимости капитала к началу проекта инвестиций:

Суммарная наращенная стоимость всех доходов

Модифицированную внутреннюю норму доходности вычисляем по формуле

Период окупаемости

Периодом окупаемости называется временной интервал, в течение которого сумма чистых доходов, дисконтированных на момент завершения инвестиций, равна сумме инвестиций, приведенных к тому же моменту времени.

При определении периода окупаемости используется следующий алгоритм. Прежде всего, находят сумму инвестиций К ок, приведенных к моменту их завершения. При этом используется формула

где K f - инвестиция, выплачиваемая в конце года под номером t п х - t - период, равный отрезку времени от конца года под номером t до окончания инвестиций; q - ставка дисконтирования, которая в данном случае используется как ставка наращения.

Следующим шагом алгоритма определения периода окупаемости является определение номера года, в течение которого проект окупится. Для этих целей используется итерационный метод. Этот метод предусматривает последовательное сравнение суммы дисконтированных на конец инвестиций доходов за заданные промежутки времени с суммой инвестиций К ок, приведенных к моменту их завершения. Вначале находят дисконтированный доход за первый год, затем - сумму доходов за два первых года и т.д. Для вычисления суммы дисконтированных доходов используют соотношение , где j - номер года, отсчитываемый после окончания инвестиций. Методом итераций находят значение т, для которого удовлетворяется неравенство

Период окупаемости лежит между концом периода под номером т -1 и концом периода иод номером т.

И, наконец, алгоритм определения периода окупаемости предусматривает метод нахождения недостающей части периода. Этот метод рассмотрен в параграфе 10.3 и поясняется на рис. 10.4. В данном случае так же, как и прежде, принимается, что поступления изменяются по линейному закону. Из этого рисунка видно, что недостающую часть года находят по формуле

Из сказанного следует, что период окупаемости определяется формулой

Пример 10.11. Определите период окупаемости проекта, платежи которого выплачиваются в конце года и распределены по годам следующим образом:

Ставка дисконтирования принимается 10% годовых.

Решение. Найдем сумму инвестиций К ок, приведенных к моменту их завершения:

Определим сумму дисконтированных доходов для первого года после окончания инвестиций

Так как 3,636

Так как 6,942 > 6,2, то срок окупаемости лежит между концом первого и концом второго года. Недостающая часть года

Таким образом, срок окупаемости равен РВР = т - 1 + b = = 1,714 года.

Основной недостаток периода окупаемости состоит в том, что он не учитывает весь срок функционирования проекта. Все платежи, лежащие за пределами этого срока, не сказываются на значении показателя. Из двух проектов, имеющих равные периоды окупаемости, первый после окончания срока окупаемости может давать большие доходы, а второй - малые. Однако исследуемый показатель ничего об этом не говорит. Отсюда следует, что при неравномерных денежных потоках рассматриваемый недостаток проявляется наиболее сильно. Поэтому срок окупаемости не служит критерием выбора проекта, а используется лишь в виде ограничения при принятии решения.

Чистая дисконтированная стоимость (NPV) существенно зависит от требуемой доходности (процентной ставки дисконтирования), выбранной для рассматриваемого проекта. При изменении требуемой доходности будет меняться и NPV проекта. Если увеличить требуемую доходность, то дисконтированные платежи, очевидно, уменьшатся. При этом, как правило, в большей степени уменьшатся те платежи, период дисконтирования для которых больше. Поскольку основные инвестиции приходятся на начало проекта, а большая часть доходов следует после инвестиций, то, повышая требуемую доходность, мы, как правило, уменьшаем современную стоимость потока доходов по сравнению с современной стоимостью потока расходов, а значит, уменьшаем NPV. Можно сказать, что повышение требуемой доходности накладывает на проект более жесткие условия и за это мы «расплачиваемся» уменьшением NPV.

Таким образом, если при некотором значении требуемой доходности А^РЕпроекта была положительна, то требуемую доходность всегда можно изменить так, чтобы чистая дисконтированная стоимость уменьшилась до нуля. В этом случае современная стоимость всех доходов будет равна современной стоимости всех расходов, а соответствующее значение требуемой доходности будет предельным (наибольшим), при котором проект еще можно принять. Это предельное значение требуемой доходности называется внутренней нормой доходности (Internal Rate of Return, IRR).

Для того чтобы вычислить внутреннюю норму доходности, нужно записать NPV проекта как функцию требуемой доходности i:

м В п

РАЗДЕЛ VII. Инвестиционный анализ

а затем решить следующее уравнение относительно /

Положительный корень уравнения и будет являться внутренней нормой доходности проекта.

Замечание 1. Конечно, данное уравнение может иметь несколько положительных корней. Однако для подавляющего большинства проектов такая ситуация является нетипичной. В частности, если все отрицательные нетто- платежи по проекту предшествуют всем положительным нетто-платежам, то уравнение для IRR всегда имеет один положительный корень. Если, решение уравнения NPV(i) = 0 дает несколько положительных корней, то это означает, что структура потока платежей требует тщательного осмысления и, возможно, дополнительного финансового анализа.

Если IRR больше некоторого заданного значения требуемой доходности, то проект можно принять, в противном случае проект должен быть отвергнут. Как и индекс рентабельности, IRR можно использовать для сравнения проектов. Понятно, что для инвестора привлекательнее тот проект, где IRR больше.

Замечание 2. Доходность к погашению долговой ценной бумаги (в частности, облигации), упоминавшаяся ранее, представляет собой IRR денежного потока, связанного с инвестициями в эту ценную бумагу. Денежным оттоком здесь являются средства, вложенные в покупку данной ценной бумаги, а денежными притоками - текущий доход владельца ценной бумаги (купонные платежи) и выплачиваемая в момент ее погашения номинальная стоимость.

Замечание 3. Уравнение для нахождения IRR в общем случае не имеет точного решения. На практике применяются различные методы приближенного решения этого уравнения. Можно, например, использовать следующую простую интерполяционную формулу:

где /", и / 2 выбираются так, что УУРК(/,)>0, a NPV(i 2)0.

Пример 5.5. Инвестиционный проект требует 13 млн руб. капиталовложений в момент начала его реализации. Проект рассчитан на три года. Доход за первый год составляет 7 млн руб., за второй год - 8 млн. руб., за третий год - 5 млн руб. Требуемая доходность 25%. Вычислим NPV и внутреннюю норму прибыли этого проекта.

Поток нетто-платежей по проекту имеет вид

с 0 = -13 млн руб., с., = 7 млн руб., с 2 = 8 млн руб., с 3 = 5 млн руб.

N PV будет:

Для нахождения внутренней нормы прибыли будем увеличивать требуемую доходность и вычислять соответствующее значение Л/РИдо тех пор, пока NPV не станет отрицательной.

При требуемой доходности 26%:

При требуемой доходности 27%:

м В п

Поскольку при требуемой доходности 26% NPV > 0, а при требуемой доходности 27% NPV NPV примет при требуемой доходности между 26 и 27%. Это значение найдем приближенно с помощью интерполяционной формулы

В настоящее время к подобным расчетам, как правило, уже не приходится прибегать, поскольку существует достаточно много программных продуктов, в которых вычисление рассмотренных выше параметров эффективности уже реализовано в виде функций или команд. Такие возможности имеются и в программе Excel, в которой параметр ДТ’Еможно вычислить с помощью функции ЧПС, а параметр IRR - с помощью функции ВСД. В английской версии данной программы эти функции называются соответственно NPV и IRR.

Поскольку внутренняя норма доходности имеет существенный недостаток (множественность значений), то в качестве альтернативы нередко используется другой показатель - модифицированная норма доходности (MIRR). Методика расчета этого показателя следующая.

Сначала вычисляется так называемая будущая стоимость проекта 7У (Terminal value) - стоимость поступлений с ? , полученных от реализации проекта, отнесенная к концу проекта с использованием нормы рентабельности реинвестиций:

где / - норма рентабельности реинвестиций, равная процентному доходу, полученному в результате реинвестирования поступлений от проекта.

Затем вычисляется приведенная стоимость инвестиций в проект

При этом приведение (дисконтирование) производится по ставке г, отвечающей стоимости вложенного в проект капитала (это может быть WACC). Модифицированная внутренняя норма доходности определяется по формуле

Другими словами, для расчета показателя MIRR платежи, связанные с реализацией проекта, приводятся к началу проекта с использованием ставки дисконтирования г, основанной на стоимости привлеченного капитала (ставка финансирования или требуемая норма рентабельности инвестиций). При этом поступления от проекта приводятся к его окончанию с использованием ставки дисконтирования /", основанной на возможных доходах от реинвестирования этих средств (норма рентабельности реинвестиций). Затем модифицированная внутренняя норма рентабельности определяется как ставка дисконтирования, уравнивающая две эти величины (приведенные выплаты и поступления).