Простые и сложные проценты в финансовых операциях. Простые и сложные проценты по вкладам

Смысл простой схемы начисления процентов в том, что проценты начисляются все время на первоначальную сумму вклада независимо от срока вклада. В этом случае наращенная сумма находится по формуле

,

, т.е.

Пусть , т. е. в течение срока , затем в течение срока– по ставке

Пусть сумма вклада меняется во времени , т. е. в течение срока вклада на счет поступают (снимаются) суммы в размере ,и т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

где до момента окончания вклада,до момента окончания вклада.

На практике для вычисления процентов часто определяют процентное число и процентный ключ (дивизор) . Если ставку i измерять в процентах, то

I =

Процентным числом назовем величину Р t / 100,

а процентным ключом – К / i .

С учетом последних двух формул сумма процентных денег может быть рассчитана так:

I =
.

Пусть происходит реинвестирование по простой ставке , т. е. наращенная сумма к концу срока становится базой для расчета процентов на срок, сумма, наращенная к концу этого срока, становится базой для расчета процентов на сроки т. д. Тогда наращенная сумма к концу всего срока вклада находится по формуле:

Начисление по схеме сложных процентов

Смысл сложной схемы начисления процентов в том, что процентные деньги, начисленные после периода начисления (обычно, года), присоединяются к первоначальной сумме. Полученная сумма является базой для начисления процентов в следующем периоде. Таким образом, база для начисления сложных процентов, в отличие от простых процентов, увеличивается с каждым периодом начисления.

Если период начисления Т – целое число лет, то наращенная сумма находится по формуле:

Если срок вклада Т не является целым числом, то наращенная сумма может быть найдена по схемам:

– обыкновенной:

– смешанной: Т представляется в виде суммы целого числа лет и оставшейся нецелой части года Т= Т цел + Т дроб , и наращенная сумма равна

Например, сумма в размере 100 тыс. руб. помещена в банк сроком на 27 месяцев под 12% годовых.

Наращенная сумма, рассчитанная по обыкновенной схеме, составляет:

129,045 тыс. руб.

Поскольку 27 месяцев – это 2 года плюс 3 месяца, то Т цел =2, Т дроб =3/12=1/4=0,25, то наращенная сумма, рассчитанная по смешанной схеме, равна:

129,203 тыс. руб.

Пусть процентная ставка меняется во времени , т. е. в течение срока проценты начисляются по ставке, затем в течение срока– по ставкеи т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

Номинальная и эффективная ставка процента

Номинальная годовая ставка i – это исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Номинальная ставка может начисляться один раз в год. Тогда наращенная сумма равна

Если же номинальная ставка начисляется несколько раз в год, то наращенная сумма находится по формуле

где – срок вклада (в годах),
– число начислений процентов в год.

Например, если первоначальный размер вклада равен 100 тыс. руб., а номинальная ставка 12% годовых начисляется раз в год, то наращенная сумма через 2 года составит:

тыс. руб.,

а при ежеквартальном начислении процентов наращенная сумма равна:

=126,677 тыс. руб.

Эффективная ставка – это ставка, измеряющая реальный доход, получаемый при
-кратном начислении процентов в год. Таким образом, выполняется равенство

и эффективная ставка может быть найдена по формуле

.

Пусть сумма вклада меняется во времени , т. е. на счет поступают суммы в размере (первоначальный взнос),и т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

где – это срок с момента поступления (снятия) суммыдо момента окончания вклада,– срок с момента поступления (снятия) суммыдо момента окончания вклада.

Рассмотрим частный случай – начисление сложных процентов при регулярных взносах. Такое поступление денежных средств называется финансовой рентой с постоянными членами , а наращенная сумма всех взносов – наращенной суммой ренты.

Пусть на счет регулярно вносятся одинаковые суммы через одинаковые периоды времени (раз в год).

Введем обозначения:

R – размер ежегодного платежа;

n – число лет, в течение которых поступают взносы.

Если выплаты производятся в конце года (рента постнумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле

Если выплаты производятся в начале года (рента пренумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле

И расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).

Примеры:

Ответ: больше на

первоначальная сумма долга
(дни) фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
процентная (учетная) ставка за период
срок долга в днях
срок долга в долях от периода
сумма долга в конце срока

Процентная ставка

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки

"Прямые" формулы

Простые проценты Сложные проценты
— процентная ставка наращение
— процентная ставка
 дисконтирование (банковский учет)

"Обратные" формулы

Простые проценты Сложные проценты
— процентная ставка дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

  • I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
  • S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Временная база может быть равна:
  • 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
  • 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .
Число дней ссуды
  • Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
  • Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.
На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
  • Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
  • Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
  • Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

  • S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

  • S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

  • S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Формула простых и сложных процентов на малом периоде имеет незначительную разницу. Рассмотрим примеры.

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:


S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

Дано:
  • банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
  • процентная ставка 8% годовых
  • срок 4 года
  • присутствует ежегодная капитализация процентов
Нужно найти:


В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

Дано:
  • банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
  • процентная ставка 8% годовых
  • период 4 года
  • ежемесячная капитализация
Нужно найти:
  • конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:


Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как


g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:


Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.


Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.


Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

Дано:
  • у вас есть 60 тыс. рублей
  • вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
  • у вас есть срок 15 лет
Найти:
  • под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:



Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

Дано:
  • у вас есть 50 тыс. рублей
  • вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
  • вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых
Найти:
  • сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:



Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

При желании накопить немного денег или грамотно инвестировать уже имеющиеся накопления, одной из обязательных для изучения тем является формула простых процентов, сложных и принципов их исчисления. Они являются основным показателем выгодности вложений.

В сфере экономики и финансов процедуру вычисления этих показателей принято различать. Специалисты банковского дела подразумевают под сложным процентом термин капитализации, а специалисты по инвестированию – реинвестирования.

Определение простых и сложных процентов

Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.

Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.

Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.

Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.

Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу

Пример расчета

Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.

Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.

Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.

Способы расчета

Дискретное начисление дохода основывается на принципе долгового заимствования средств банком у физических лиц под определенный размер вознаграждения. Величина такого дохода будет зависеть от схемы его начисления и величины базового капитала. Конечно, схема сложных процентов на первый взгляд принесет большую выручку, но стоит изучить все тонкости системы.

Доходность при начислении простых процентов является фиксированной

Расчет простой процентной ставки

Разумеется, процесс начисления простых процентов намного проще. Сумма высчитывается всего один раз и не меняется в течение срока хранения вклада в банке.

Обычно договор на банковское обслуживание оговаривает размер процентной ставки за год. Если по каким-либо причинам нужно узнать ее размер за период в один месяц, нужно применить формулу: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty) , где:

  • Fv – размер величины простых процентов;
  • Sv – базовая сумма вклада;
  • R – годовая процентная ставка;
  • Td – срок действия депозита в днях;
  • Ty – количество дней в году.

Для вкладов с пополнением и снятием средств расчет осуществляется отдельно для каждого периода хранения разных сумм на депозите. Иными словами, если клиент положил начальную сумму на счет, потом пополнил счет, а потом снял с него часть средств, то расчет будет состоять из трех этапов. Для каждого временного отрезка и для каждого объема денежных средств.

Расчет сложной процентной ставки

Стремясь к получению большей выгоды, держатели депозитов все чаще интересуются вопросом, как рассчитать сложный процент по вкладу . Для более наглядного описания, процесс капитализации средств можно представить так: по окончанию расчетного периода клиента банка закрывает депозит и снимает все накопленные средства (базис + набежавшие проценты). А потом кладет их еще на один расчетный период обратно в банк. Таким образом, начисление процентной ставки будет осуществляться уже на увеличенный базисный капитал.

Формула сложных процентов по кладу выглядит следующим образом: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd , где:

  • Fv – конечная сумма выгоды;
  • Sv – базовая сумма депозита;
  • R – процентная ставка в год;
  • Ny – число временных отрезков капитализации средств за год;
  • Nd – число временных отрезков капитализации в течение всего срока депозита.

Для определения временного отрезка капитализации банк использует равные промежутки: месяц, квартал или год. По истечении каждого отсчетного промежутка на текущую величину вклада начисляются процентные бонусы.

Начисление сложных процентов осуществляется в каждый установленный период расчета

Наиболее интересные варианты по годовым процентным ставкам предоставляются следующими программами инвестирования:

  • облигации федерального займа – государственные облигации, годовая ставка 5%;
  • стандартный депозитный вклад – ставка 10%;
  • сборный портфель из облигаций и акций – ставка 15%;
  • сборный портфель из ценных бумаг биржи – ставка 20%.

Интересно, что при составлении договора на обслуживание банком депозитного счета в формулировках не используется определение простого и сложного процента. Если доходность рассчитывается по схеме простой процентной ставки, то это указывается как «начисление процентов по окончанию срока депозита». Если по схеме сложной процентной ставки, то как «начисление процентов по окончанию расчетного периода» или «с учетом капитализации средств».

Какая схема более выгодна

На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?

Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.

На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.

Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов. Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход.

Простые и сложные проценты

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые , при измененной - сложные процентные ставки.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

Наращение по простой процентной ставке:

где S - наращенная сумма; P - первоначальная сумма, n - срок, r - ставка наращения (десятичная дробь).

Наращение по сложной процентной ставке:

, (2)

где j - сложная процентная ставка; n - число лет наращения, m - число начислений процентов в году.

Номинальная ставка - это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

Наращение по непрерывной процентной ставке:

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста (). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

, (3)

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам.

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается , сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом , а удержанные проценты - дисконтом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет . В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.


Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (4)

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Ставка Прямая задача Обратная задача

r (6)

d .

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки

Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

Определение срока платежа и сложных процентных ставок.

Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

, (11)

Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:

, (12)

Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

, (13)

Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :

, (14)

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. - называют потоки платежей .

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка .

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P - срочные (P - количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма -сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом - как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где - дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.