КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДЕНЕГ (quantity theory of mo-ney )

СОПОСТАВИМОСТЬ (comparability ) - подход к определению заработной платы, состоящий в том, что в ходе переговоров о коллективном договоре уровень или темп прироста заработной платы какой-либо конкретной группы рабочих или отрасли связывается с уровнем или темпом прироста заработной платы лиц других профессий или отраслей.

Сопоставимость может привести к

ДЕФЛЯТОР ВНП (GNP deflator ) - индекс цен, используемый для корректировки денежного валового национального продукта (ВНП) с целью получения реального ВНП (см. ). Реальный ВНП важен, поскольку он отражает физический выпуск товаров и услуг, а не сумму их денежных выражений. Иногда создаётся впечатление, что производство товаров и услуг в экономике увеличилось (), поскольку вырос денежный ВНП, но это может быть следствием повышения цен (), за которым не стоит увеличение физического объёма производства. Дефлятор ВНП разработан для устранения влияния изменений цен и учёта только реальных изменений.

ДЕФЛЯЦИЯ (deflation ) - понижение уровня национального дохода и выпуска, сопровождаемое обычно падением общего уровня цен (дезинфляция).

Власти зачастую сознательно вызывают дефляцию с тем, чтобы сократить инфляцию и улучшить платёжный баланс путём снижения спроса на импорт. Дефляционная политика использует налогово-бюджетные меры (например, повышение налогов) и кредитно-денежные меры (например, повышение процентных ставок).

См. ,

Регулирование количества денег в обращении и уровня цен — один из основных методов воздействия на экономику .

Связь количества денег и уровня цен была сформулирована представителями количественной теории денег.

В условиях свободного рынка () необходимо до определенной степени регулировать хозяйственные процессы (кейнсианская модель). Регулирование экономических процессов осуществляется, как правило, либо государством, либо специализированными органами. Как показала практика XX в., от , используемой в хозяйстве, зависят многие другие важные экономические параметры, прежде всего уровень цен и процентной ставки (цены кредита). Связь между уровнем цен и количеством денег в обращении была четко сформулирована в рамках количественной теории денег.

Уравнение Фишера

Цены и количество денег находятся в прямой зависимости.

В зависимости от разных условий могут изменяться цены вследствие изменения денежной массы, но и денежная масса может меняться в зависимости от изменения цен.

Уравнение обмена выглядит следующим образом:

Формула Фишера

Несомненно, что данная формула носит чисто теоретический характер и непригодна для практических расчетов. Уравнение Фишера не содержит какого-либо единственного решения; в рамках этой модели возможна многовариантность. Вместе с тем при определенных допусках несомненно одно: уровень цен зависит от количества денег в обращении. Обычно делают два допуска:

• скорость оборота денег — величина постоянная;
• все производственные мощности в хозяйстве используются полностью.

Смысл этих допущений в том, чтобы устранить влияние этих величин на равенство правой и левой частей уравнения Фишера. Но даже при соблюдении этих двух допущений нельзя безоговорочно утверждать, что рост денежной массы первичен, а рост цен — вторичен. Зависимость здесь взаимная.

В условиях стабильного экономического развития денежная масса выступает регулятором уровня цен . Но при структурных диспропорциях в экономике возможно и первичное изменение цен, а лишь затем изменение денежной массы (рис. 17).

Нормальное экономическое развитие:

Диспропорция экономического развития:

Формула Фишера (уравнение обмена) определяет массу денег, используемую только в качестве средства обращения, а поскольку деньги выполняют и другие функции, то определение общей потребности в деньгах предполагает существенное совершенствование исходного уравнения.

Количество денег в обращении

Приведенная формула была предложена представителями количественной теории денег. Главный вывод этой теории состоит в том, что в каждой стране или группе стран (Европа, например) должно находиться определенное количество денег, соответствующее объемам ее производства, торговли и доходов. Только в этом случае будет обеспечена стабильность цен . В случае неравенства количества денег и объема цен происходят изменения в уровне цен:

Таким образом, стабильность цен — главное условие определения оптимальности количества денег в обращении.

Ставка дисконтирования для собственного капитала может быть рассчитана по модели САРМ или модели кумулятивного построения. Ставка дохода для дисконтирования бездолгового денежного потока рассчитывается по модели средневзвешенной стоимости капитала WACC. Далее приведено содержание этих моделей и варианты обоснования их основных параметров в Российской практике. Многое неясно, не знаете как подступиться к ставке дисконта? Специально для Вас далее пятый вопрос)

1. Виды ставок дисконтирования в оценке бизнеса

Для дисконтирования будущих денежных потоков в оценке бизнеса необходимо рассчитать ставку дисконтирования, вид которой должен соответствовать . Как представлено в следующей таблице, в соответствии с четырьмя основными видами денежных потоков в оценке бизнеса выделяют четыре вида ставок дисконтирования.

В случае, если оценка производится по номинальному денежному потоку, используется номинальная ставка дисконта , которая учитывает влияние инфляции. Для дисконтирования реального денежного потока применяется реальная ставка дисконта , которая не учитывает инфляционных ожиданий.

Ставки дохода, рассчитанные по фактическим рыночным данным, учитывают влияние инфляции и являются номинальными. Поэтому на практике часто возникает необходимость расчета реальной ставки дисконта на базе известной номинальной ставки, для чего может быть использована формула Фишера :

2. Модель средневзвешенной стоимости капитала (WACC)

Модель WACC предполагает определение ставки дисконта суммированием взвешенных ставок отдачи на собственный капитал и заемные средства, где в качестве весов выступают доли собственных и заемных средств в структуре капитала. При этом речь идет о структуре инвестированного капитала, в состав которого, кроме собственного капитала, как правило, включают только долгосрочные заемные средства.

Средневзвешенная стоимость капитала рассчитывается по следующей формуле:

WACC = W 1 × Re + W 2 × R d ×(1 – h), где

• W 1 – доля собственного капитала в капитале компании;
• W 2 – доля долгосрочной задолженности в капитале компании;
• R e – ставка дохода на собственный капитал;
• R d – стоимость заемного капитала (стоимость долга);
• h – эффективная ставка налога на прибыль.

3. Модель оценки капитальных активов (САРМ)

Ставка дисконта для собственного капитала может быть обоснована по модели оценки капитальных активов (CAPM – Capital Assets Pricing Model) или по модели кумулятивного построения.

Базовая модель САРМ применяется для оценки ожидаемой доходности открытых компаний на основе анализа массивов информации фондового рынка, имеет существенные допущения и четко определенную область применения. Базовая модель САРМ подробно рассматривается в учебной литературе по различным финансово-экономическим дисциплинам (прежде всего по финансовому менеджменту) и представлена в следующей формуле:

R e = R f + β ×(R m – R f), где

• R e – требуемая (ожидаемая)ставка дохода на собственный капитал;
• R f — безрисковая ставка дохода ;
• R m – среднерыночная ставка дохода;
• (Rm - Rf) – среднерыночная премия за риск;
• β – коэффициент бета как количественная мера систематического риска.

Базовая модель САРМ занимает важное место в теории портфеля и основана, в частности, на допущении о том, что рациональный инвестор путем диверсификации своего инвестиционного портфеля стремится к минимизации несистематических рисков, связанных инвестированием в конкретный актив. Например, несистематические риски инвестирования в акции компании обусловлены характером ее деятельности – в частности, уровнем товарной диверсификации, качеством управления и т.п., а также финансовым положением компании – прежде всего, степенью зависимости от внешних источников финансирования.

В этой связи ожидаемая доходность по базовой модели САРМ включает премию только за систематический риск, который складывается под влиянием макроэкономических факторов (инфляция, экономический спад и др.) и не может быть устранен путем диверсификации инвестиционного портфеля.

В практике оценки бизнеса в процессе обоснования ставки дохода на собственный капитал оцениваемой компании используется модификация базовой модели САРМ , согласно которой базовая модель САРМ дополняется (путем прибавления) следующими основными премиями за несистематический риск инвестирования в оцениваемую компанию: С 1 – премия за риск инвестирования в конкретную компанию; С 2 – премия за риск инвестирования в малый бизнес; С 3 – премия за страновой риск.

Как обосновать параметры модели САРМ в Российской практике?

Безрисковая ставка дохода R f соответствует эффективной ставке дохода к погашению безрисковых активов – т.е. активов, которые удовлетворяют следующим условиям:

• доходности по ним определены и известны заранее;
• вероятность потери средств в результате вложений в актив минимальна;
• продолжительность периода обращения актива совпадает или близка со сроком прогнозируемого периода владения оцениваемым объектом.

Выбор актива для расчета безрисковой ставки дохода определяется также валютой расчета – например, для расчета ставки дохода для дисконтирования рублевого денежного потока обоснованно рассчитывать доходность по безрисковому активу, номинированному в рублях.

За рубежом в качестве безрисковой ставки обычно используются ставки дохода по государственным ценным бумагам. В отечественной практике, наряду с этим, в качестве безрисковых активов после кризиса 1998г. предлагалось рассматривать также депозиты Сбербанка РФ и банков высокой категории надежности. Однако использование ставок по депозитам банков в качестве безрисковой доходности в настоящее время представляется недостаточно обоснованным, что обусловлено более высоким риском вложения в депозиты банков по сравнению с государственными ценными бумагами и непродолжительными сроками приема депозитов (один-два года).

Государственные облигации РФ представлены рублевыми и валютными финансовыми инструментами. Примером рублевых облигаций служат облигации федерального займа (ОФЗ), эмитент которых выступает Министерство финансов РФ. Владельцами данных облигаций могут быть как юридические, так и физические лица, резиденты и нерезиденты; аукционы и вторичные торги проводятся на ММВБ.

Объем рынка валютных облигаций существенно выше уровня рынка рублевых облигаций. Валютные облигации РФ представлены двумя видами: облигации внутреннего валютного займа (ОВВЗ) и еврооблигации РФ. При этом рискованность вложений в ОВВЗ оценивается международными рейтинговыми агентствами как более высокая по сравнению с еврооблигациями. В связи с этим в качестве безрискового актива для обоснования нерублевой (например, долларовой) безрисковой ставки целесообразно рассмотрение еврооблигаций.

Обоснование среднерыночной ставки дохода R m связано с расчетом фактической доходности рыночного портфеля. На практике в качестве рыночного портфеля рассматриваются портфели, образованные на основе индексов с широкой базой – например, в РФ возможен расчет по индексу фондовой площадки (Московской биржи), информационных агенств (AK&M) и др.

Коэффициент бета (β) как количественная мера систематического риска в модели САРМ рассчитывается с использованием информации о динамике доходности акций как инвестиционных активов на фондовом рынке по следующей формуле:

β i = Cov(R i , R m) / Var(R m) , где

• β i — мера систематического риска i -того актива (портфеля) относительно рынка;
• Cov (R i , R m ) - ковариация доходности i -того актива (портфеля) (R i ) и среднерыночной доходности (R m ) ;
• Var (R m ) – вариация среднерыночной доходности (R m ).

Таким образом, коэффициент бета отражает амплитуду колебаний доходности конкретного актива (портфеля) по сравнению с общей доходностью фондового рынка в целом.

Величина бета характеризует, насколько риск владения конкретными активами больше или меньше риска рыночного портфеля. Актив, бета которого выше единицы, более чувствителен к систематическому риску по сравнению с фондовым рынком в среднем, и, соответственно, характеризуется более высоким риском по сравнению со среднерыночной ситуацией. Соответственно, активы с бетой меньше единицы являются менее рискованными по сравнению с рыночным портфелем.

Таким образом, чем выше значение коэффициента бета актива, тем выше уровень его систематического риска. Курс акций компании, для которой коэффициент бета равен 1,2, при возрастающей тенденции на рынке будут расти в среднем на 20% быстрее по сравнению со среднерыночным уровнем. И, наоборот, при депрессивном состоянии рынка курс акций данной компании будет уменьшаться на 20% быстрее среднерыночного. Поэтому, если курс акций на фондовом рынке снизится на 10%, можно ожидать, что курс акции данной компании упадет на 12%.

Характеризуя параметры, которые добавлены в базовую модель САРМ в процессе ее адаптации для целей оценки бизнеса, отметим, что широкую область применения имеет премия за несистематические риски инвестирования в конкретную компанию (С 1) .

Премия за риск инвестирования в малый бизнес (С 2) применяется в случае, если оцениваемая компания относится к малому бизнесу; цель ее введения состоит в компенсации дополнительной нестабильности доходов малого бизнеса.

Премия за страновой риск (С 3) вводится, например, в случае, если доходность собственного капитала российской компании оценивается по параметрам базовой модели САРМ, которые рассчитаны по данным зарубежных развитых рынков капитала. В этом случае премия за страновой риск необходима для компенсации дополнительных рисков инвестирования в РФ по сравнению с развитыми рынками.

Для учета странового риска необходимо выявить важнейшие факторы, определяющие риск инвестирования в страну, а также разработать метод количественного определения риска для рассматриваемой страны. В ряду основных факторов странового риска выделяют риск нестабильности законодательства и риск ненадежности прав собственности. Под влиянием этих факторов могут возникнуть следующие дополнительные риски: риск, связанный с конвертированием иностранной валюты; риск потери активов вследствие возможных действий правительства по национализации и экспроприации; риск, связанный с ограничительными мерами по движению капитала; риск, связанный с возможностью государственного регулирования цен и т.д.

Практика применения модели САРМ в условиях развитого рынка капитала, как правило, предполагает использование готовых значений параметров модели, рассчитанных специализированными компаниями. На развивающихся рынках оценщик обычно самостоятельно рассчитывает значения параметров модели САРМ.

Характеризуя области применения модели САРМ , отметим, что модель однозначно применима для оценки ожидаемой доходности собственного капитала открытых компаний, представленных на фондовом рынке. Также можно использовать данную модель для оценки компании, аналоги которой активно торгуются на фондовом рынке.

4. Модель кумулятивного построения

Модель кумулятивного построения ставки дисконта применяется при оценке закрытых компаний, для которых сложно найти сопоставимые открытые компании-аналоги и, соответственно, невозможно использование модели САРМ.

При использовании данной модели за основу берется безрисковая ставка, к которой прибавляется премия за риск инвестирования в закрытые компании. Модель кумулятивного построения наилучшим образом учитывает все виды рисков, связанных как с факторами общего характера (макроэкономических факторов и факторов вида экономической деятельности предприятия), так и со спецификой оцениваемого предприятия.

Ставка дисконта по модели кумулятивного построения рассчитывается по следующей формуле:

R е = R f + С 1 + С 2 + С 3 + С 4 + С 5 + С 6 + С 7 , где

• R е – требуемая (ожидаемая)ставка дохода на собственный капитал оцениваемой компании;
• R f – безрисковая ставка дохода;
• С 1 – премия за риск, связанный с размером предприятия;
• С 2 –премия за риск финансовой структуры (источники финансирования предприятия);
• С 3 – премия за риски товарной и территориальной диверсификации;
• С 4 – премия за риск диверсификации клиентуры;
• С 5 – премия за риск уровня и прогнозируемости прибыли;
• С 6 – премия за риск качества управления;
• С 7 – премия за прочие риски.

Указанные премии за риск устанавливаются для оцениваемого предприятия в диапазоне от 0% до 5% по каждому виду премии – при максимальном уровне риска устанавливается наибольшая величина премии.

Модель кумулятивного построения имеет практически неограниченную область применения. Основным ее недостатком является преимущественное использование субъективных подходов к обоснованию значений премий за риски. Между тем, в настоящее время в отдельных публикациях, в отчетах крупных оценочных фирм предлагаются методические подходы к обоснованию величин премий за риск в модели кумулятивного построения. Использование таких подходов, повышая степень объективности и обоснованности определения ставки дисконта, вместе с тем требует значительной информации как по оцениваемому предприятию, так и по аналогичным компаниям, по рынку в целом.

Так, например, в процессе оценки премии за риск, связанный с размером компании, необходимо учесть, что крупная компания часто имеет преимущества перед малыми за счет большей стабильности бизнеса, относительно более легкого доступа к финансовым рынкам при необходимости привлечения дополнительных ресурсов. Вместе с тем, есть ряд отраслей, где эффективнее работают малые предприятия: торговля, общественное питание, обслуживание населения, производство без применения сложных технологических процессов. Поэтому величину премии за риск обоснованно оценивать с учетом тенденций, сложившихся на аналогичных предприятиях, которые занимаются теми же видами экономической деятельности, что и оцениваемое предприятие.

В результате премия за риск, связанный с размером компании, может быть определена по следующей формуле:

Х r = Х max ×(1 – N / N max ), где

• Х r – искомый уровень премии за риск, связанный с размером компании;
• Х max – максимальный размер премии (5%);
• N – величина активов оцениваемой компании по балансу на дату оценки;
• N max – максимальная величина активов среди аналогичных предприятий, которые занимаются теми же видами экономической деятельности.

Например: определить премию за риск, связанный с размером компании, для ОАО «Объект оценки», величина совокупных активов которой на дату оценки составляла 46 462 млн.руб. Известна информация о величине активов аналогичных компаний: «Первый аналог» 20 029 млн.руб., «Второй аналог» 22 760 млн.руб., «Третий аналог» 51 702 млн.руб., «Четвертый аналог» 61 859 млн.руб.

Решение: максимальная величина активов среди аналогичных предприятий отмечается у «Четвертого аналога» и составляет 61 859 млн.руб. Тогда премия за риск, связанный с размером компании, для ОАО «Объект оценки» по представленной формуле составит

1,2% = 5% * (1- 46 462/ 61 859).

5. Как разобраться в расчете ставки дисконтирования

Возможно, Вы прочитали много учебников и публикаций по оценке бизнеса и все равно не понимаете сущность основных методов расчета ставки дисконта. Прежде всего, Вы не одиноки! Многим сложно разобраться в этих методах, но не многие признаются в этом) Хорошая новость: знания и навыки расчета ставки дисконта имеют очень широкую область применения не только в оценке бизнеса, но и в финансовом менеджменте, в оценке эффективности инвестиций. Поэтому Вы, приложив усилия к изучению этого вопроса, будете вознаграждены повышением Вашей квалификации и профессионального уровня)

По моим наблюдениям, сложности в изучении методов метода расчета ставки дисконта могут возникать при недостатке знаний по финансовому менеджменту, где подробно рассматриваются теоретические основы моделей САРМ и WACC. Поэтому по данной теме я бы предложила обратиться к фундаментальным учебникам по финансовому менеджменту Ю. Бригхема, Ван Хорна и др. Интересно и очень много написано о модели САРМ в книге одного из ее авторов У.Шарп «Инвестиции».

Иначе его еще иногда называют уравнением обмена или денежного потока. В общем своём виде, данное уравнение устанавливает взаимосвязь между такими величинами как:

• Количество денег находящееся в обращении (денежная масса);
• Скорость, с которой происходит оборот этой денежной массы. В общем случае она представляет собой ту среднюю частоту, с которой, в заданный промежуток времени, одна и таже денежная единица используется для обмена на услуги и товары отечественного производства. В краткосрочном периоде времени эта величина меняется очень медленно, поэтому её можно принять за константу;
• Текущий уровень цен;
• Текущий объём производства (выраженный в общем количестве произведённых товаров). Обычно, для данной формулы, принимается допущение о том, что все производственные мощности имеют полную загрузку.

Формула этой взаимосвязи выглядит так:

Как видно из приведённого уравнения, денежная масса находится в прямо пропорциональной зависимости от таких параметров как текущий уровень цен и текущий объём производства. И вместе с тем величина денежной массы обратно пропорциональна скорости её оборота.

Таким образом, данное уравнение представляет собой один и столпов, на которых базируется монетаристская доктрина в экономике.

Монетаризм – теория в современной макроэкономике, основным тезисом которой является утверждение о том, что основным фактором развития экономики является количество денег находящееся в обращении.

Формула была выведена ещё в 1911 году выдающимся представителем неоклассической школы экономики, американским экономистом Ирвингом Фишером.

По сути своей, данное уравнение представляет собой формальное выражение количественной теории денег.

Собственно говоря, сама формулировка количественной теории денег в экономике сводится к тому, что покупательная способность денег в купе с уровнем цен, полностью определяются тем количеством денег, которое находится в обороте.

Здесь следует отметить тот факт, что данная формулировка справедлива для условий стабильного (нормального) экономического развития. В данном случае, действительно, первичным выступает изменение денежной массы и лишь за ним, как следствие, происходит изменение покупательной способности и уровня цен.

В случае же, так называемой, диспропорции в экономическом развитии, может наблюдаться совершенно противоположная картина. В этом случае сначала происходит изменение уровня цен, а лишь за ним изменяется и величина денежной массы.

Кстати говоря, Кембриджская школа политэкономии даёт несколько иную трактовку количественной теории денег. В данном случае, большее значение придаётся выбору потребителей, в отличие от вышеописанной трактовки Ирвинга Фишера, в которой определяющими являются технологические факторы производства.

В формулировке Кембриджской школы, в основе количественной теории денег лежит следующее уравнение:

В рамках количественной теории денег была предложена ещё одна трактовка формулы Фишера:

Одним из выводов, проистекающих из данной трактовки, является то, что стабильность цен (в той или иной стране) напрямую зависит о того, насколько находящаяся в обороте денежная масса соответствует общему объёму товарных сделок (включающему в себя объёмы производства, сферы услуг, торговли и т.п.).

Нарушение этого баланса приводит к тому, что уровень цен начинает дестабилизироваться:

Следует иметь в виду, что формула Фишера, по большому счёту, представляет собой скорее теоретическое выражение количественной теории денег и не предназначена для проведения прямых расчётов по ней.

В настоящее время уравнение Фишера признаётся верным далеко не всеми представителями современной экономической школы. В его обосновании обнаруживают целый ряд неточностей, благодаря которым конечная формула не может отражать истинное положение вещей в экономике.

В частности, в качестве примера такого рода критики можно привести статью Юрия Владимировича Лиференко, опубликованную в одном из выпусков журнала «Финансы и кредит» за 2015 год.

В этой статье, в частности, указывается на ошибки Банка России связанные с тем, что он, в процессе осуществлении своей регулирующей деятельности, во многом опирается на количественную теорию денег (иллюстрируемую, как раз, той самой формулой Фишера). Говорится о том, что его регулирующая функция является, мягко говоря, недостаточно эффективной вследствие факта ошибочности данной теории.

Далее приводится доказательство несостоятельности формулы Фишера и, как следствие этого, говорится о неприемлемости её использования (ни в теоретическом, ни в практическом виде) в качестве инструмента для регулирования реальной экономики.

В качестве основного аргумента ошибочности уравнения Фишера приводится тот факт, что правая часть формулы Фишера, представляющая собой выражение PQ, является некорректной. Приводится сравнение с формулой выведенной Карлом Марксом (иллюстрирующей закон денежного обращения) и имеющей следующий вид:

Как видите, внешне эта формула очень похожа на ту, которую впоследствии вывел Ирвинг Фишер. Естественно, он не мог не знать о её существовании (большую часть свей жизни, он преподавал политэкономию) и, предположительно, взял её в качестве основы для своих изысканий. Однако выводы из формулы К. Маркса делаются совершенно противоположные. Левая часть формулы, представленная количеством денег в экономике (денежной массой) М, в данном случае является функцией от её правой части, представленной уровнем цен и объёмом товаров.

Это, в свою очередь, означает, что уровень цен и объём товаров определяют то количество денег, которое необходимо для их обращения, а не наоборот, как утверждает количественная теория денег, выраженная уравнением Ирвинга Фишера.

По мнению автора статьи, Фишер, скорее всего, сознательно исказил некоторые факты для того чтобы представить неделимую составляющую формулы Маркса ΣP i Q i в более простом и, самое главное, в математически разделимом виде простого произведения величин P и Q.

Такое представление позволило ему разделить правую часть и записать формулу в виде:

А это в корне меняет тот вывод, который делался Марксом. Теперь получается, что количество денег, в сущности, и определяет уровень цен в экономике. То есть мы видим не что иное, как формулировку количественной теории денег.

В действительности же, такое выражение как PQ не может существовать в принципе. Это объясняется тем, что не бывает понятия цены без привязки к конкретному товару (i). Равно как и не может быть такого понятия как объём производства в принципе, он также должен быть привязан к какому-либо определённому продукту (i).

Ну и наконец, невозможно отделить в этой формуле цену от количества товара (P от Q) поскольку цена любого товара всегда неразрывно связана с его количеством. Например, говорят, что цена хлеба составляет 20 руб/булка (двадцать рублей за одну булку) и её нельзя разорвать на два самостоятельных элемента, таких как 20 руб и 1 булка.

То есть, изначально правильным является всё-таки выражение в виде ΣP i Q i , которое, кстати, лежит в основе формулы расчёта ВВП. А формула Фишера изначально построена на ошибочных предпосылках, что говорит не только о том, что она неверна в принципе, но и о несостоятельности всей количественной теории денег вообще.

Ставка процента, учитывающая инфляцию. Формула Фишера.

Пусть r n – ставка процента, учитывающая инфляцию (номинальная ставка процента), r - реальная ставка банковского процента (реальная процентная ставка), i ставка темпа инфляции.

Пусть S(0) - капитал в начале года. Тогда, капитал в конце года с одной стороны должен быть равен:

S(1) = (1+r n) S(0).

С другой стороны он равен:

S(1) = (1+i) (1+r) S(0).

Приравнивая капиталы в конце года, вычисленные по разным формулам, получим формула Фишера, связывающую номинальную r n и реальная r ставка процента с темпом инфляции i:

r n = r + i + i r (2.25)

Величина i r– называетсяинфляционной премией.

Пример 18 .

Банк начисляет проценты по номинальной ставке 16 %. Уровень инфляции составляет 12 %. Определить реальную ставку банковского процента с учетом инфляционной премии.

Из формулы Фишера вычисляем реальную процентную ставку r через номинальную ставку процента r n и темп инфляции i:

В нашем случае получим:

Таким образом, при большой инфляции реальная ставка банковского процента, равная 3,57 %, меньше разности между номинальной ставкой и инфляцией 16 % - 12% = 4 %.

Пример 19 .

Первоначальный капитал в размере 200 тыс. руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 %. Уровень инфляции составляет 12 %.

Определить наращенную сумму с учетом и без учета инфляционной премии.

Наращенная сумма без учета инфляции из (2.11) равна:

Тыс. руб.

Наращенная сумма с учетом инфляции может быть вычислена по формуле сложных процентов (2.10):

Тыс. руб.

В связи с тем, что уровень инфляции больше чем номинальная процентная ставка, наращенная сумма с учетом инфляции меньше первоначального капитала.

Пример 20.

Имеется вексель следующей формы:

«20000 руб. Санкт-Петербург. 1 сентября 2010 г. Обязуюсь уплатить через 60 дней после данной даты по распоряжению гражданина А 20000 руб. с процентной ставкой 11 % годовых.

/подпись/ гражданин В ».

Решение.

Сумма, которую должен получить гражданин А через 60 дней вычисляется по схеме простых процентов и равна руб.

Отсюда получается уравнение: руб.,

где S(0) – сумма, которую уплатит банк за вексель.

Окончательно S(0)=20206,70 руб.

Задача 10.

В течение первого месяца цена товара увеличилась на 30 %, а в течение следующего месяца новая цена товара уменьшилась на 10 %. На сколько процентов изменилась цена товара за 2 месяца?

Ответ.

Эффективная ставка

Формула сложных процентов (2.10) включает четыре неизвестных S(0), S(t), r, t. Зная три неизвестных из уравнения (2.10) можно определить четвертое неизвестное. Сама формула сложных процентов (2.10) определяет будущий капитал S(t) через настоящий капитал S(0), процентную ставку r и время t.

В примере 11 находится время t накопления капитала при известных значениях настоящего S(0) и будущего капитала S(t) и процентной ставки r. В предыдущем разделе, посвященном дисконтированию, в формуле (2.23) современное значение S(0) капитала определяется по его будущему значению S(t), процентной ставке r и времени t. Из формулы сложных процентов (2.10) не определялась только процентная ставка r через настоящий S(0) и будущий S(t) капитал и время t. Решение этой задачи связано с очень важным экономическим понятием эффективной ставки.

Для сравнения различных вариантов сделок удобно использовать эффективную ставку .

Эффективной называют годичную ставку сложных процентов, обеспечивающую заданное отношение полученной суммы S(t) к выданной сумме S(0), независимо от того, какая схема оплат используется в данной конкретной сделке.

Из (2.10) имеем уравнение для определения :

,

где t – длительность сделки в годах.

. (2.26)

Очевидно, что эффективная ставка не зависит от объемов конкретных сумм S(0) и S(t), а определяется только отношениями этих сумм.

Пример 21.

Найти эффективную ставку сделки, в результате которой первоначальный капитал утроился за 5 лет.

Согласно (2.26) имеем .

Пример 22. Удвоение ВВП.

Найти ежегодный темп роста ВВП, при котором он удвоится за 10 лет, за 7 лет, за 3 года.

Решение:

Воспользовавшись формулой эффективной ставки (2.26):

,

получим ежегодный темп роста ВВП, соответственно, для 10 лет, 7 лет и

Пример 23.

В долг дана сумма 2 млн руб. с условием возврата через 2,5 года 3 млн руб. Тогда эффективная ставка в данный сделке равна:

.

Пример 24 .

Выдан кредит в 2 млн руб. на 3 месяца под 100 % годовых. Найти эффективную ставку.

Учитывая, что кредит краткосрочный, сумма, выплачиваемая через 3 месяца, будет равна:

тогда эффективная ставка будет равна:

, где S(0)=2 млн руб., S(t)=2,5 млн руб., года.

.

Пример 25 .

Вексель выдан на сумму 50 млн руб. и содержит обязательство выплатить владельцу эту сумму через 4 месяца. Владелец предъявил банку вексель досрочно. Банк согласился учесть вексель, но с дисконтом 24 % годовых. Найти эффективную ставку.

Решение:

Полученная сумма будет равна:

Тогда эффективная ставка будет равна:

, где S(0)=46 млн руб., S(t)=50 млн руб., года.

.

Пример 26.

Вексель 3 млн руб. выдан на 2 года с годовой учетной ставкой 10 % с дисконтированием 2 раза в год. Найти эффективную ставку. По формуле (2.24) найдем исходную сумму, выплаченную по векселю:

Тогда . Следовательно, для эффективной ставки имеем:

.

Пример 27.

Остров Манхеттен был продан в 1624 г. за $24. В 1976 г. его стоимость была $40×10 9 . Какова эффективная ставка сделки?

Решение:

В данной задаче интуиция обманывает человека: кажется, что эффективная процентная ставка будет очень большой. Однако расчет по формуле (2.26) даёт следующее значение:

.

Решающим фактором, приводящим к столь скромному значению эффективной процентной ставки, является время. Длительность сделки велика ‑ 352 года.

В ряде случаев для сравнения различных вариантов сделок вместо эффективной ставки используется процентная спот-ставка r s . Она определяется аналогично эффективной ставки, только вместо сложных процентов используются непрерывные проценты.