. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
(4.3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
(4.4)
· Пример 4.1
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
· Пример 4.2
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
· Пример 4.3
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
(4.6)
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
,(4.7)
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
· Пример 4.4
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Выгода банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для вкладчика?
Понятие простых процентов и как они рассчитываются
Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем.Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:
- через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
- через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
- через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).
Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:
S = (P x I x Т / K) / 100, где:
S – сумма насчитанных процентов (руб.);
P – начальная сумма вложенных средств;
I – процентная ставка за год;
Т – срок действия вклада в днях;
K – число дней в году.
То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10%
годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).
Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.
Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в таблицу:
При подсчете коэффициентов использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:
- если срок вклада меньше года, то множитель, рассчитанный по формуле простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
- когда период вклада составляет 1 год – величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
- если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.
Составив аналогичную таблицу
с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход
будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц
или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на
срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.
Этот принцип определения доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:
- при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
- с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;
Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов по вкладам получится выгоднее.
- При заключении договора помните, что банками в документах не практикуется выражение «простые» или «сложные» проценты. В договоре зачастую пишется фраза «проценты насчитываются в конце срока». А при использовании капитализации указывается, что проценты высчитываются раз в год, квартал или месяц.
- При оформлении вклада на длительный срок может возникнуть необходимость досрочного снятия денег по той или иной причине. Вклады с возможностью досрочного снятия всегда имеют более низкую ставку. В подобных случаях выигрышным может оказаться краткосрочный вклад с возможной пролонгацией и использованием сложного процента. Доход по такому вкладу может получиться больше, даже если процентная ставка по такому депозиту немного ниже.
- Быстро и точно высчитать доходность вклада можно посредством онлайн-калькулятора. Для этого после введения необходимых данных нужно поставить галочку в окне «капитализация» и выбрать период ее проведения (год, квартал или месяц).
(возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы 5j и 52 имеют различные современные величины PJ и />2
Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 000 000 через два года или 36 000 000 через три года. Какой вариант предпочтителен
Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов , учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
Пример 2. Определить величину первоначальной суммы, необходимой для получения через 10 лет капитала в 500 000 000 руб. если используется сложная ставка ссудного процента 12% годовых.
Поскольку в финансовом управлении рассматриваются вопросы, связанные с принятием решений , касающихся денег, а ценой денег является ссудный процент , при разработке большей части решений по финансированию учитывают ставку ссудного процента . В этой главе рассматривается математическая сторона определения сложных процентов и текущей стоимости . Из гл. 1 мы знаем, что задача дирекции - увеличение капитала акционеров, и выполнение этой задачи частично зависит от распределения во времени потоков денежной наличности. Следовательно, одним из важнейших направлений деятельности является оценка потоков движения денежной наличности. Действительно, многие выводы, приведенные в этой книге, сделаны в зависимости от поднимаемых вопросов. Несмотря на то, что дискуссия имеет математическую основу, в изложении вопросов внимание уделяется лишь нескольким формулам, поэтому суть не теряется в частностях. В примерах нередко используется возведение в степень, что легко выполнить на калькуляторе.
Если депозит двухгодичный, первоначальные 100 дол. в конце первого года превратятся в 108 дол. при ставке ссудного процента 8 годовых. По окончании второго года 108 дол. становятся 116,64 дол., т. е. добавляются еще 8 дол. как проценты по основной сумме и 0,64 дол. как проценты на проценты за первый год. Другими словами, набегают проценты по уже полученным процентам, отсюда название "сложные проценты ". Следовательно, конечная стоимость на конец второго года равна 100 дол. умножить на 1,08 в квадрате (или 1,1664).
Несмотря на то что мы рассматривали только ставку ссудного процента , этот подход применим при сложном росте любого рода. Предположим, депозит фирмы равен 100 000 дол., мы ожидаем прирост этой суммы в течение пяти лет по ставке 10% годовых
Исходя из того, что в нашей стране только осуществляется переход к рыночной экономике , финансово-кредитный механизм еще не отработан в должной мере по сравнению с его состоянием в странах с развитой рыночной экономикой . Представляется, что сегодня сложно учесть такие факторы, как налоговая политика , спрос на заемные средства , изменение показателей валового национального продукта , инфляционные процессы , состояние бюджета страны, возросшая самостоятельность банков. В отечественной практике также не отработан механизм действия двух видов процентных ставок - фиксированной за весь срок предоставления кредитов и плавающей, которая пересматривается через определенные промежутки времени в связи с изменением рыночных и валютных курсов , а также кредитоспособности должника. Поэтому в дальнейшем принимаем фиксированную ставку ссудного процента.
В рассмотренной упрощенной модели денежного предложения не учитывался ряд факторов, которые в значительной мере определяют количество денег, находящихся в обращении. Так, не принималось во внимание соотношение между наличными деньгами и депозитами. Каждый экономический субъект самостоятельно решает, какую часть денег сохранять в виде наличности, а какую - положить в банк. На его выбор оказывает влияние ряд факторов. Во-первых, чем выше доля потребления в ВВП, тем большую часть денег население будет держать на руках. Во-вторых, объем наличных денег зависит от ставки ссудного процента , ибо хранение наличности "лишает" их владельцев дохода. Поэтому, чем выше ставка ссудного процента , тем меньше наличных денег будет у экономических субъектов . В-третьих, объем наличности зависит и от того, насколько легко или сложно изъять их из банка, т.е. от трансакционных издержек изъятия. Так как СU - наличные деньги , a D - депозиты, то отношение наличности к депозитам сd будет равно
По ссудам с погашением в рассрочку банки и другие кредиторы обычно устанавливают проценты на базе сложения. Это означает, что процент прибавляют к сумме выплат средств для того, чтобы определить номинальную стоимость векселя. Предположим, что в нашем примере ссуда с погашением в рассрочку предоставлялась на условиях 12 равных ежемесячных выплат, а ссудный процент составил 12%. Заемщик получил 10 000 дол., а номинал векселя, следовательно, равен 11 200 дол. Таким образом, 1200 дол. и идут на выплату процентов. Однако заемщик использует все 10 000 дол. только в первый месяц, в конце этого месяца он должен выплатить 1/12 часть от 11 200 дол., т. е. 933,33 дол. Выплаты на такую же сумму производятся в конце каждого из последующих 11 месяцев до тех пор, пока вексель не будет полностью погашен. На протяжении всего года заемщик использует только около половины первоначальной суммы в 10 000 дол. По сравнению с 12% эффективная ставка процента почти удваивается, что составляет около 22% с учетом сложных процентов . Таким образом, данный ссудный процент выплачивается на основе исходной суммы займа, а не уменьшающегося остатка, что обычно происходит в случаях с другими типами ссуд.
ПРИМЕР 14.7. Поданным примера 14.1 (варианта) при условии, что сложная ставка, которая характеризует средний уровень ссудного процента на рынке, равна, допустим, 15% годовых, что соответствует ставке за полугодие q = 1,1 51/2 - 1 = 0,07238, или 7,238%. Величины Vt приведены в табл. 14.1 значение z = = 0,994375 найдено в примере 14.2. Получим
Процент за кредит отражает сложные экономические отношения , которые возникают в процессе обращения ссудных капиталов на рынке. Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).
Следовательно, руководство фирмы должно располагать информацией о стоимости капитала , т.е. о ставке процента на заемный и ссудный капитал , с тем, чтобы принимать грамотные управленческие решения по инвестиционным проектам . На практике нахождение внутренней нормы прибыли требует сложных расчетов.
Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.
ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов По формуле (10.2) находим
Неэффективность системы финансирования НИОКР, созданной в рамках существующих государственных программ , низкая инвестиционная активность
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов.
Формулы наращения 1) Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года - Р (1+i) = Р (1+i 2) через n лет - Р (1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов. S = P (1+i) n где S - наращенная сумма; i - годовая ставка сложных процентов; n - срок ссуды; (1 + i)n - множитель наращения. В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i). Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + ni) и (1 + i) n) различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.
Пример 9. Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за 0, 5 года, 1 год и 2 года. Решение. S 1 = 100000 · (1 + 0, 5 · 0, 3) = 115000 ден. ед. S 2 = 100000 · (1 + 1 · 0, 3) = 130000 ден. ед. S 3 = 100000 · (1 + 2 · 0, 3) = 160000 ден. ед. S 4 = 100000 · (1 + 0, 3) 1/2 = 114017 ден. ед. S 5 = 100000 · (1 + 0, 3) 1 = 130000 ден. ед. S 6 = 100000 · (1 + 0, 3) 2 = 169000 ден. ед. Результаты расчетов запишем в таблицу. Проценты Период начисления суммы 0, 5 года 1 год 2 года Простые 115000 ден. ед. 130000 ден. ед. 160000 ден. ед. Сложные 114017 ден. ед. 130000 ден. ед. 169000 ден. ед.
Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы: 1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку; 2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; 3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.
2) Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S = P (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + ik)k где i 1, i 2. . . , ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2. . . , nk соответственно. Пример 10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % - в третий год, 10% -в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1 + 0, 21) 2 (1 + 0, 23) (1 + 0, 25) = 1, 83
3) Формулы удвоения суммы. В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим: а) для простых процентов (1 + niпр) = N, тогда n = (N – 1) / iпр б) для сложных процентов (1 + iсл)n = N, тогда n = ln. N/ln(1 + icл) Эти две формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1/iпр б) для сложных процентов n = ln 2/ln (1 + iсл) При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы n = ln 2/ln (1 + iсл) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что ln 2 ˜ 0, 7, а ln (1 + i) ~ i. Тогда n ~ 0, 7/i
Пример 11. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить. Решение. а) Для случая простых процентов n = 1/iпр = 1/0, 03 = 33, 33 лет б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле, n = ln 2/ln (1 + iсл) = 0, 6931 ln (1 + 0, 03) = 23, 45 в) при сложных процентах, вычисленных по приближенной формуле: n ~ 0, 7/i ~ 0, 7/0, 03 ~ 23, 33 лет Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
4) Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + i) n 2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые, S = P (1 + i) a (1 + bi) где n = а + b, а - целое число лет, b - дробная часть года; 3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S = P (1 + i) a
Номинальная и эффективная ставки процентов 1) Номинальная ставка Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S = P (1 + j/m) N где N - число периодов начисления, М= mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + j/m) N/r где N/r- число периодов начисления процентов, r - период начисления процентов; 2) по смешанной формуле S = P (l + j/m) a (l + bj/m) где а - целое число периодов начисления, т. е. а = - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления r, b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/r - а).
Пример 12. Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн. ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: на дробную часть начисляются сложные проценты; на дробную часть начисляются простые проценты; дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение. Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес. : 1) S = 20 (1 + 0, 6/4)28/3 = 73, 713 млн. ден. ед. ; 2) S = 20 (1 + 0, 6/4)9 (1 + 0, 6/4 1/3) = 73, 875 млн. ден. ед. ; 3) S = 20 (l + 0, 6/4)9 = 70, 358 млн. ден. ед. Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.
2) Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1 + iэ) n = (1 + j/m) mn где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением iэ = (1 + j/m) m – 1 Обратная зависимость имеет вид j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] Пример 13. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0, 12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение. По формуле iэ = (1 + j/m) m – 1 получаем: Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/12) 12 – 1 = 1, 192 – 1 = 0, 192 Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/4) 4 – 1 = 1, 1255 – 1 = 0, 1255
Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. Решение. Использование формулы j = m [(1 + iэ) 1/m – 1 дает: j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] = 4 [(1 + 0, 12) 1/4 – 1] = 0, 115 3) Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения: S = P (1 + i) n из нее найдем Р: P = S/(1 + i) n = Su n Где u n = 1/(1 + i) n = (1 + i) -n - учетный, или дисконтный, множитель.
Если проценты начисляются т раз в году, то P = S/(1 + j/m) mn = Su mn Где u mn = 1/(1 + j/m) mn = (1 + j/m) –mn - дисконтный множитель. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P = S (1 – dсл) n где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт определяется как D = S – P = S – S (1 - dсл) = S При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
4) Номинальная учетная ставка процентов В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой P = S (1 – f/m) N где N=тn - общее число периодов дисконтирования. Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. 5) Эффективная учетная ставка Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году. В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей: (1 – f/m) mn = (1 – dcл) n из которого следует, что dсл = 1 – (1 – f/m) m Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.
6) Наращение по сложной учетной ставке Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования P = S (1 – dсл) n и P = S (1 – f/m) N. Получаем: S = P/(1 – dсл) n S = P/(1 - f/m) N Пример 15. Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед. , срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %. Решение. По формуле S = P/(1 – dсл) n получаем: S = 200000/(1 – 0, 1) 2 = 246913, 58 ден. ед. Пример 16. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год. Решение. Подстановка в формулу S = P/(1 - f/m) N значений т = 4 и N = 4 2 дает: S = 200000/(1 – 0, 1/4) 8 = 244902, 42 ден. ед.
Непрерывные проценты 1) Наращение и дисконтирование Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле S = P (1 + j/m) mn где j - номинальная ставка процентов, m - число периодов начисления процентов в году. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ∞ имеем Используя второй замечательный предел получаем: 1 2 Используя этот предел в выражении (1), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид S = Pe in
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают б: S = Pe бn Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т ∞. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле P = Se –бn 2)Cвязь дискретных и непрерывных процентных ставок Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения: (1+ i) n = e бn Из этого равенства следует, что б = ln(1+ i) i = еб – 1
Вопросы для рассмотрения:
1. Начисление сложных годовых процентов.
2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.
3. Наращение процентов несколько раз в году.
4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.
5. Определение срока финансовой операции и величины процентной ставки.
6. Непрерывное наращение и дисконтирование.
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
− проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
− срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
– за один период начисления;
– за два периода начисления;
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
где – наращенная сумма долга; – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.
Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i ).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + i) n .
Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.
Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом i ,
если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n
если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n
если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
− более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
− более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
− обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
− общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
,
где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.
− смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
.
Поскольку b < 1 , то (1 + bi) > (1 + i) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
Cмешанная схема более выгодна кредитору.
Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i ).
Номинальная ставка (nominal rate ) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.
Эта ставка:
− во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
− во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит
Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:
,
где i – номинальная годовая ставка процентов.
Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate ), измеряющая тот реальный относительный доход , который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m :
,
.
Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.
Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:
где i k – последовательные во времени значения процентных ставок; n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.
Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
.
Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e i , где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.
Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:
Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (i ).
Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:
При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота «ступенек» все время возрастает.
В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.
Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.
Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:
− срок ссуды,
− ставка сложных процентов.
| | 3 | | | | |