Основная цель экономики - обеспечение общества предметами потребления. В экономике действуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их формализованное математическое описание.
Объект изучения учебной дисциплины - экономика и ее подразделения.
Предмет - математические модели экономических объектов.
Метод - системный анализ экономики как сложной динамической системы.
Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.
Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической .
ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Система - это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.
Надсистема - окружающая систему среда, в которой функционирует система.
Подсистема - подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы (подсистема может осуществлять часть целей системы).
Экономическая система: размешает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление.
Надсистема национальной экономики - природа, мировая экономика и общество.
Главные подсистемы экономики - производственная и финансово-кредитная.
ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
В экономике невозможны модели подобные техническим, т.к. нельзя построить точную копию, экономики и на этой копии отрабатывать варианты экономической политики.
В экономике ограничены возможности экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом.
Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны.
Положительная сторона - сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики.
Отрицательная сторона - невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений,.
Таким образом, для выработки правильных экономических решений необходим учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных в расчетах по математическим моделям, адекватным данной экономической ситуации.
Разработка математических моделей трудоемка, но весьма перспективна. Так, модель Кейнса, отражающая возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, была построена под впечатлением кризиса 1929-1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма успешным и получило название «экономического чуда».
РАССМОТРИМ СТРУКТУРУ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Экономика - сложная система, состоящая из производственных и непроизводственных (финансовых) ячеек (хозяйственных единиц), находящихся в производственно - технологических и (или) организационно-хозяйственных связях друг с другом.
По отношению к экономической системе каждый член общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой - как работник.
Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства
Все отрасли материального производства создают валовой внутренний продукт (ВВП).
В натурально-вещественной форме ВВП – это средства труда и предметы потребления,
В стоимостной форме - фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).
В процессе создания ВВП производится и вновь потребляется промежуточный продукт.
По материально-вещественному составу промежуточный продукт - это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ ПОЗВОЛЯЕТ:
1. выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов;
2. получить новые знание об объекте;
3. оценить вид зависимостей факторов и параметры переменных, сделать выводы.
ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?
Это упрощенное формальное описание экономических явлений.
Математическая модель экономического объекта это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков.
Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на этой основе предсказать поведение объекта в будущем при изменении параметров.
ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ:
1. формулируются предмет и цели исследования;
2. в экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели;
3. выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;
4. словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами;
5. вводятся символические обозначения для характеристик экономического объекта и формулируются взаимосвязи между ними;
6. проводятся расчеты по модели и анализируются полученные результаты;
СТРУКТУРА МОДЕЛИ:
Для построения модели нужно определить экзогенные и эндогенные переменные и параметры.
Экзогенные переменные – задаются вне модели, т.е. известны к моменту расчетов.
Эндогенные переменные – определяются в ходе расчетов по модели.
Параметры – коэффициенты уравнений.
КЛАССЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Экономико-математические модели делятся на следующие классы:
1. По уровню обобщения
a. Макроэкономические – описывают экономику как единое целое, связывают укрупненные показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость. Макромодели отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем. В макромоделях хозяйственные ячейки считаются неделимыми.
b. Микроэкономические – описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики. Микромодели - функционирование хозяйственных единиц и их объединений. В микромоделях хозяйственная единица может рассматриваться как сложная система.
2. По уровню абстракции
a. Теоретические – позволяют изучить общие свойства экономики путем вывода из формальных предпосылок. Используются для изучения общих свойств экономики и ее элементов (модели спроса и предложения)
b. Прикладные – дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и выработать рекомендации по принятию решений. Используются для оценки параметров конкретных экономических объектов. Сюда относятся эконометрические модели, применяющие методы математической статистики.
3. Модели равновесные и роста
a. Равновесные – дескриптивные (описательные) модели. Они описывают такое сотояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из этого состояния равна нулю. Пример - модель Леонтьева (затраты-выпуск),
b. Модели роста – предназначены для определения того как должна развиваться экономика при определенных критериях. Пример – Модель Солоу, Самуэльсона-Хикса
4. По учету фактора времени.
a. Статические – описывают состояние объекта в конкретный момент или период времени.
b. Динамические – включают взаимосвязи переменных во времени. Обычно используют аппарат дифференциальных уравнения.
5. По учету фактора случайности.
a. Детерминированные – предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.
b. Стохастические – допускают случайные воздействия на показатели и используют теорию вероятностей и математическую статистику.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое экономико-математическое моделирование? Его место в экономическом анализе и прогнозировании.
2. Этапы моделирования. Факторы модели.
3. Классы экономико-математических моделей .
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________
Кафедра «Информационные системы»
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Конспект лекций
Для студентов третьего курса специальности
«Прикладная информатика (в экономике)»
Тверь 2009
1. Методы оценки инвестиционных проектов
В настоящее время в странах с развитой рыночной экономикой при анализе инвестиционных проектов стали широко использовать технику дисконтирования, основанную на логике сложных процентов. Поэтому в данном разделе приводится сущность и преимущества использования этих методов.
^ 1.1 Метод расчета чистой сегодняшней ценности
Чистая сегодняшняя ценность рассчитывается как разность
дисконтированных к одному моменту времени потоков доходов и расходов
по проекту:
где CF INt - денежный приток за период t;
CF OFt - денежный отток за период t;
R - ставка дисконтирования;
N - жизненный цикл проекта.
В тех случаях, когда инвестиции представляют собой разовые вложения в начальный период, формула расчета NPV будет выглядеть следующим образом:
где С 0 – капиталовложения в нулевой период.
Пользоваться данным критерием при принятии решений достаточно просто. Положительное значение NPV показывает ту величину дохода, которую инвестор получит сверх требуемого уровня. В том случае, когда NPV равна нулю, инвестор не только возвращает свой капитал, но и приращивает его на величину, задаваемую ставкой дисконтирования. Полученное отрицательное значение NPV говорит о том, что проект следует отвергнуть.
Следует отметить, что показатель NPV аддитивен во времени. Данное свойство позволяет суммировать чистые сегодняшние ценности различных проектов, что является очень важным при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.
^ 1.2 Метод расчета индекса рентабельности инвестиции
Индекс рентабельности представляет собой отношение дисконтированных величин прибыли и затрат по проекту. То есть применительно, например, к разовым вложениям расчет производится по формуле:
В том случае, когда значение РI>1, проект прибыльный. Если РI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.
Преимущество данного показателя от показателя NPV состоит в том, что он относительный. Поэтому им легко пользоваться, когда необходимо выбрать один проект из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, а также при формировании портфеля инвестиций с максимальным суммарным значением NPV.
Такая задача возникает в том случае, когда на выбор имеется несколько привлекательных инвестиционных проектов, но из-за ограниченности в финансовых ресурсах инвестор не может участвовать во всех проектах одновременно. Тогда для каждого проекта рассчитывается PI и проекты ранжируются по убыванию PI. В инвестиционный портфель включаются первые m-проектов, которые в сумме могут быть профинансированы в полном объеме.
В случае если очередной проект поддается дроблению, то он также включается в портфель в той его части, которая может быть профинансирована.
^ 1.3 Метод расчета нормы рентабельности инвестиции
Норма рентабельности (internal rate of return) представляет собой такое значение процентной ставки, при котором чистая сегодняшняя ценность проекта равняется нулю:
где IRR - норма рентабельности (внутренняя норма доходности).
Значение IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов, которые тем или иным образом могут быть связаны с рассматриваемым проектом. Так например, если проект полностью финансируется за счет ссуды, то значение IRR покажет верхний предел банковской ставки процента, превышение которого сделает проект убыточным.
Для определения IRR используют либо расчетный, либо расчетно-графический способы. В первом случае, ежегодные денежные потоки (с учетом необходимых вложений капитала) дисконтируются различными пробными ставками нормы дисконта с шагом в один процент. При этом будет получен ряд соответствующих чистых сегодняшних ценностей, наименьшая положительная величина из которых будет указывать на точную норму доходности, которую следует принять к расчету.
Применение расчетно-графического способа сводится к тому, что на системе координат по вертикальной оси откладываются нормы доходности, а по горизонтальной - чистые сегодняшние ценности. Затем рассчитываются два значения NPV, соответствующие двум любым ставкам нормы доходности. Между этими двумя точками проводится прямая, точка пересечения которой с вертикальной осью и является предполагаемой внутренней нормой доходности. Однако необходимо отметить, что полученное значение обязательно следует проверить на ноль, и сделать при необходимости корректировку.
^ 1.4 Метод определения дисконтированного срока окупаемости
Под дисконтированным сроком окупаемости понимается период времени, в течение которого инвестор полностью возвращает свои первоначальные затраты, обеспечивая при этом требуемый уровень доходности:
где Т - дисконтированный срок окупаемости;
PV - сегодняшняя ценность инвестиции.
Данный метод является одним из самых простых и широко распространенных, но, как правило, используется для получения дополнительной информации о проекте в тех случаях, когда главное, чтобы инвестиции окупились как можно скорее. Кроме того, метод удобен и при анализе проектов с высокой степенью риска, так как чем короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект.
^ 2. Особенности применения методов оценки инвестиционных проектов
Описанные выше методы справедливы по своей совокупности при анализе независимых инвестиционных проектов. То есть, критерии этих методов только тогда не будут вступать в противоречие друг с другом.
При анализе конкурирующих проектов возникает иная ситуация, важность рассмотрения которой обусловлена стремлением усилить конкуренцию между предприятиями в целях удешевления проектов за счет использования внутренних резервов компаний. Кроме того, подобная ситуация может возникать при жестких финансовых ограничениях.
Рассмотрим два проекта, конкурирующие между собой. Рассчитаем чистую сегодняшнюю ценность проектов, а также их внутреннюю норму доходности при условии, что ставка дисконтирования равна 11%.
Таблица 1
| ПРОЕКТ | СF по годам (млн. руб.) | NPV при r=11% | IRR |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|||
| X1 | -50 | 0 | 0 | 15 | 110 | 33,5 | 26,7% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,4 | 35,0% |
Как видно из табл.1 NPV проекта X1 составит 33,5 млн. руб., что явно предпочтительнее NPV проекта Х2 - 22,4 млн. руб. Однако если мы будем ориентироваться на внутреннюю норму доходности, то предпочтение следует отдать проекту Х2 с IRR=35% против 26,7% у проекта X1. Таким образом, критерии NPV и IRR вступают в противоречие друг с другом, несмотря на то, что в основе обоих методов лежит одна формула.
Возникшая проблема легко решается, если рассмотреть подробнее суть критерия IRR, при расчете которого предусматривается возможность реинвестирования промежуточных доходов проекта, обеспечивая доходность, равную IRR. Но реально ли обеспечить такую доходность, если доходность реинвестирования будет меньше IRR? Как покажет дальнейшее рассмотрение примера - нет.
Рассчитаем абсолютную величину дохода инвестора в конце четвертого года, или, другими словами, будущую ценность проектов (future value) при условии, что ставка реинвестирования составит 11%:
FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0,11) = 126,65 млн.руб.,
FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0,11) + 15*(1 + 0,11) 2 +40*(1 + 0,11) 3 = 109,84 млн.руб.
Определим доходность этой операции, исходя из следующей зависимости:
Ряд исследователей, учитывая недостатки критерия IRR, предложили вместо него использовать другой критерий - MIRR (modified IRR). MIRR - это ожидаемая доходность при условии реинвестирования всех промежуточных доходов проекта под заданную норму доходности.
Таблица 2
Как видно из таблицы 2 использование критерия MIRR снимает противоречие между абсолютными и относительными показателями результата реализации проекта. Теперь вопрос снят: предпочтение следует отдать проекту X1. Кроме того, в будущем при сравнении двух конкурирующих проектов лучшим критерием следует считать NPV.
Приведенные примеры опирались на противоречие критериев NPV и IRR при анализе проектов с одинаковым объемом капиталовложений. Поэтому, необходимо рассмотреть также и пример анализа конкурирующих проектов с разным объемом инвестирования.
Таблица 3
| ПРОЕКТ | СF по годам (млн. руб.) | NPV (r=11%) | IRR | MIRR (r=11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3 | -5 | 4,5 | 2,2 | 2,5 | 2,5 | 4,3 | 54% | 29,82% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,4 | 35% | 21,74% |
Анализ данных, представленных в таблице 3, показывает, что критерии IRR и MIRR указывают на проект ХЗ, тогда как критерий NPV, берущийся за основной в предыдущем примере, явно стоит на стороне проекта Х2. То есть в данной ситуации возникла проблема несоразмерности проектов (проблема масштаба). Поэтому, окончательное решение здесь может быть принято только после анализа возможного вложения разности CFo (ХЗ) и CFo (X2). В нашем примере эта разность составляет 45 млн. руб.
Предположим, что у нас есть возможность вложить эти средства следующим образом:
Таблица 4
| ПРОЕКТ | СF по годам (млн. руб.) | NPV (r=11%) | IRR | MIRR (r=11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X4 | -45 | 36 | 13 | 13 | 18 | 19,3 | 34% | 21,38% |
Теперь необходимо выяснить, что предпочтительнее - проекты ХЗ и Х4 или проект Х2?
Таблица 5
| ПРОЕКТ | СF по годам (млн.руб.) | NPV (r=11%) | IRR | MIRR (r=11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3+X4 | -50 | 40,5 | 15,2 | 15,5 | 20,5 | 23,7 | 36% | 22,30% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,3 | 35% | 21,74% |
Рассматривая результаты, отраженные в таблице 5, становится совершенно ясно, что инвестор отвергнет проект Х2 в пользу реализации двух проектов ХЗ и Х4. При этом следует отметить, что конечным выбором останется все-таки проект X1:
Таблица 6
| ПРОЕКТ | СF по годам (млн.руб.) | NPV (r=11%) | IRR | MIRR (r=11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3+X4 | -50 | 40,5 | 15,2 | 15,5 | 20,5 | 23,7 | 36% | 22,30% |
| X1 | -50 | 0 | 0 | 15 | 110 | 33,5 | 26,7% | 26,16% |
Однако могут иметь место ситуации, когда кроме проектов ХЗ и Х4 больше нет проектов с положительной NPV. В этом случае необходимо ориентироваться не на норму доходности, а на NPV.
Необходимо отметить, что проблема масштаба может возникать и в случае связки NPV – PI. При этом методика решения будет аналогичной.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: желательно анализировать инвестиционные проекты сразу несколькими методами, что позволит получить о них дополнительную важную информацию.
^ 3. Учет инфляции при анализе проектов
Влияние инфляции можно учитывать, корректируя на ее индекс либо будущие поступления, либо ставку дисконтирования. При этом целесообразно использовать следующую зависимость:
Где r nom - номинальная ставка процента;
R real - реальная ставка процента;
λ - общий уровень инфляции.
При небольших значениях r и λ формулу (7) можно записать следующим образом:
R nom ≈ r eal + λ (8)
В качестве ставки дисконтирования может использоваться как номинальная, так и реальная ставки процента. Выбор зависит от того, как измеряется денежный поток проекта. Если денежный поток представлен в реальном измерении (в постоянных ценах), то для дисконтирования следует использовать реальную ставку процента.
Однако использование реальных ставок процента и расчет денежного потока в постоянных ценах не позволяет учесть структурную инфляцию. В таких случаях расчет необходимо осуществлять в текущих ценах:
В последнем случае, правда, требуется умение прогнозировать рост цен.
^ 4. Учет риска при анализе единичного проекта
Анализ с учетом риска единичного проекта проводится только в том случае, если инвестиционный проект является независимым. При этом вполне достаточно использовать два показателя: ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности, которые полностью определяют нормальное распределение.
Расчет ожидаемой доходности производится следующим образом:
(11)
где R i - доходность по i-му варианту развития событий;
P i - вероятность развития событий по i-му варианту;
N - количество рассматриваемых вариантов.
Таким образом понятно, что ожидаемая доходность - это наиболее вероятная доходность по проекту, тогда как СКО, измеряющее дисперсию ожидаемой доходности, представляет собой показатель риска проекта:
При сравнении рисков по активам с различными ожидаемыми доходностями целесообразно пользоваться коэффициентом вариации (то есть мерой относительной дисперсии):
(13)
Очевидно, что чем выше СКО и CV, тем выше риск. В качестве примера рассмотрим данные произвольной выборки, представленные в таблице 7:
Таблица 7
| Проект | R
|  | CV
|
| X1 | 12,5% | 3,12 | 0,25 |
| Х2 | 11,0% | 3,32 | 0,30 |
| Х3 | 12,2% | 2,68 | 0,22 |
В данном примере проект Х2 является наименее доходным и одновременно наиболее рискованным, поэтому, его следует сразу отклонить, а дальнейший выбор будет зависеть от отношения инвестора к риску. Если оно отрицательное, будет реализован проект ХЗ. Если инвестор склонен к риску, предпочтение будет отдано проекту XI.
Практика показывает, что инвесторы уровня чиновников муниципалитетов стараются выбирать минимальный риск. Таким образом, в нашем случае к инвестированию будет принят проект ХЗ.
^ 5. Учет риска при анализе портфеля проектов
Обычно для того, чтобы снизить несистематическую часть риска, применяется диверсификация, в основе которой лежит создание эффективного портфеля посредством анализа корреляции его активов. При этом следует отметить, что каждое новое инвестирование здесь должно рассматриваться с учетом текущего портфеля.
Рассмотрим методику расчета риска портфеля, состоящего из трех проектов, на примере данных, представленных в таблице 7, а также при условии, что каждому проекту достанется по трети инвестируемой суммы.
Доходность портфеля будет определена следующим образом:
(14)
Где R k - ожидаемая доходность k-гo проекта;
X k - доля средств, инвестированных в k-й проект;
M - количество проектов в портфеле.
В нашем примере:
R портфеля = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.
В нашем примере:
Cov 12 = 7,34 и Cov 13 = – 8,12.
Таким образом очевидно, что доходности проектов X1 и Х2 изменяются в одном направлении, а доходности проектов X1 и Х3, а также Х2 и Х3 - в противоположных. Однако, так как абсолютную величину ковариации трудно интерпретировать, с помощью коэффициента корреляции рассчитывают степень взаимозависимости между показателями:
При r = +1 показатели изменяются во времени абсолютно одинаково, при r = –1 происходит совершенно отрицательная корреляция, ноль указывает на отсутствие взаимосвязи.
В рассматриваемом примере:
r 12 = 0,71, r 13 = –0,96 и r 23 = –0,6.
Очевидно, что в целях снижения риска целесообразнее всего была бы комбинация портфеля из проектов X1 и Х3. При этом, однако, необходимо рассчитать и сам риск портфеля с учетом корреляции между проектами:
Рассчитаем риск портфеля (X1, Х3) при условии равно долевого инвестирования:
.
Таким образом, риск нашего портфеля существенно ниже рисков составляющих его проектов, и при r < 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.
Методика составления портфеля из множества проектов такая же, как и при составлении двухактивного портфеля.
Из всей совокупности портфелей, указанной областью на рис.1, необходимо выбрать те портфели, которые находятся на линии АВ - именно они дают минимальный риск при наивысшей ожидаемой доходности. При этом конкретный выбор среди них зависит от нашего отношения к риску. Графически выбор между риском и доходностью выражается кривыми безразличия, уникальный набор которых существует для каждого индивида с точки зрения предпочтений этого лица к риску и доходности.
Рис.1 Задача выбора оптимального портфеля.
Прямая линия, идущая из точки доходности по свободному от риска активу через точку касания кривой возможных портфелей АВ, называется линией рынка капитала (Capital Market Line - CML) и отражает выбор в системе «риск-доходность». Точка С на рис. 1, таким образом, отражает риск и доходность рыночного портфеля. Наибольший уровень полезности достигается инвестором в точке касания его кривой безразличия к риску и доходности с линией рынка капитала. Если инвестор предпочитает определенность, то эта точка будет расположена слева от рыночного портфеля (слева от С); инвестор вкладывает средства и в свободные от риска, и в рискованные активы, а его портфель, вследствие этого, имеет низкий риск и низкую доходность. Если инвестор более склонен к риску, точка касания будет находиться справа от рыночного портфеля (справа от С); средства инвестируются в более рискованные активы и портфель имеет больший риск и большую доходность.
Проблема поиска оптимального портфеля, состоящего из множества активов в принципе может быть решена процедурой подбора - ищем портфель с наивысшей ожидаемой доходностью при заданном нами уровне риска. Однако на практике проблему размещения капитала целесообразно решать с помощью квадратического варианта линейного программирования.
Определим удельный вес i-го актива в портфеле по затратам:
где CF OFt max - максимально допустимый размер инвестиционной программы на период t.
Рассмотрим сводный показатель риска:
Целевая функция (20), минимизирующая риск итогового портфеля, где в качестве критерия участия в портфеле выступает бинарная переменная X i , единичное значение которой указывает на вхождение i-гo проекта в портфель, а нулевое - на отказ i-му проекту в инвестировании, выглядит следующим образом:
при ограничениях:
где NPV min - размер минимально приемлемой чистой сегодняшней ценности портфеля;
Т н - начальный период инвестиционной программы;
Т к - заключительный период инвестиционной программы;
V k - вектор конкурирующих проектов;
V - множество векторов конкурирующих проектов;
N l - количество проектов предыдущего портфеля, Т к которых превышает Т н составляющегося портфеля.
Очевидно, что при расчете целевой функции (20) используется только та часть дисперсионно-ковариационной матрицы (19), которая расположена на и ниже главной диагонали, что вызвано применением ограничительного условия во вложенном цикле но столбцам, при этом, так как существуют две ковариации для каждой возможной пары проектов, для значений вложенного цикла введен удваивающий коэффициент.
Таким образом, задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какие проекты следует принять к инвестированию так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвестора, которые определены направлением целевой функции и набором ограничений:
1. Риск, измеряющийся дисперсией (СКО) портфеля, минимизируется.
2. Доход от портфеля, равный аддитивному показателю ожидаемых чистых сегодняшних ценностей принятых проектов, не должен быть ниже требуемой суммы, задаваемой дисконтированной к начальному периоду инвестирования величиной.
3. Суммарные объемы ежегодных инвестиций не могут превышать установленные на данный период времени лимиты имеющихся (выделенных) средств отдельно по каждому году инвестиционной программы.
4. В портфель может быть включено только по одному из проектов, представляющих одну и ту же группу конкурирующих проектов.
5. Составление нового портфеля осуществляется с учетом обязательного включения в его состав тех проектов предшествующего портфеля, период завершения инвестиционной программы по которым превышает период начала инвестиционной программы нового портфеля.
6. Рассматриваемые проекты не подлежат дроблению.
Описываемая задача включает ряд ограничений в виде неравенств, в основном устанавливающих пределы для инвестирования в тех или иных направлениях. Иначе нельзя гарантировать, что полученное решение окажется на границе эффективности. При этом мы можем получить более рискованный портфель, однако нам не нужно будет использовать все свои деньги, и (или) мы сможем получить больший доход.
Расчет и выдача результирующих характеристик портфеля:
Множество отобранных проектов:
Ожидаемая чистая сегодняшняя ценность портфеля:
Ожидаемая доходность портфеля:
Риск портфеля проектов:
Экономия финансовых ресурсов:
Существуют различные определения понятия «риск», поэтому, обобщая вышеизложенное, под риском будем понимать ситуацию, когда имеются несколько возможных результатов тех или иных действий, а также существуют необходимые данные прошлых периодов, которые дают возможность рассчитать некоторые зависимости для предвидения возможных будущих результатов.
Широко применяемая для составления портфелей модель САРМ (модель ценообразования на капитальные активы), разработанная У. Шарпом, исходит из того, что важно учитывать только систематический риск каждого отдельного актива. Однако в работах Г. Марковица доказана важность учета общего риска в целом. Поэтому, предыдущие рассуждения были основаны именно на данной предпосылке.
Систематический риск вызывается такими факторами, как инфляция. экономический кризис, другие общерыночные факторы.
Наличие несистематического риска связано со случайными событиями, влияющими на конкретные активы или компании.
Библиографический список
Бард В.С. Финансово-инвестиционный комплекс:теория и практика в условиях реформирования российской экономики. - М: Финансы и статистика, 1998. - 304с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционный анализ: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.; Богатин Ю.В.,Швандар В.А.. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Оценка эффективности бизнеса и инвестиций: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 256с.
Бочаров В.В. Инвестиционный менеджмент: Учеб.пособие. - СПб.и др.: Питер, 2000. - 152с. - Краткий курс.
Бродский М.Н., Бродский Г.М. Право и экономика:инвестиционное консультирование; С.-Петерб.гос.ун-т экономики и финансов.Междунар.акад.нац.безопасности объединен.Европы. - СПб., 1999. - 488с.
Вахрин П.И. Организация и финансирование инвестиций: (Сб.практ.задач и конкрет.ситуаций):Учеб.пособие. - М.: Информ.-внедренч.центр"Маркетинг", 1999. - 149с.
Игошин Н.В. Инвестиции.Организация управления и финансирование: Учеб.для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ, 1999. - 414с.
Ковалев В.В. Финансовый анализ.Управление капиталом.Выбор инвестиций.Анализ отчетности. - 2-е изд.перераб.и доп.. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 511с.
Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 206с.
Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции.Неоклассические основы теории финансов: Учеб.для вузов: Пер.с нем.. - СПб. и др.: Питер, 2000. - 381с. - Базовый курс.
Лимитовский М.А. Основы оценки инвестиционных и финансовых решений. - 3-е изд.,доп.и перераб.. - М.: ДеКА, 1998. - 231с.
Оценка эффективности инвестиций предприятия: Метод.рекомендации для написания орг.-экон. части дипломного проекта студентами техн. спец.; Твер.гос.техн.ун-т.Каф.экономики и упр. пр-вом;Сост.В.А Никольская, А.Г.Бокичева. - Тверь, 2000. - 12с.
Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. БХВ-Петербург, 2003. – 464с.
Сергеев И.В., Веретенникова И.И. Организация и финансирование инвестиций: Учеб.пособие для студентов вузов,обучающихся по экон.спец.и направлениям; Сергеев И.В.,Веретенникова И.И.. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 271с.
Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций: [Учеб.пособие]:Пер.с англ.. - М.: Акад.нар.хоз-ва:Дело, 1994. - 118с.
Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций; Акад.нар.хоз-ва при Правительстве РФ. - М.: Дело, 1998. - 255с.
Шарп У.Ф., Александер Г.Д. Инвестиции: Пер.с англ.; Подготовлено при фин.содействии Нац.фонда подгот.фин.и управлен.кадров в рамках его программы"Банк.дело". - М.: ИНФРА-М, 1997. - 1024с.
Программно-информационное обеспечение
Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. // www . My - shop . ru .
Колемаев В.А. Математическая экономика.Учебник. // www . Hugahuga . ru .
Математическая экономика - теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.
Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.
С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство - это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.
Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.
Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены Р. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (Р *), чтобы товар был распродан и не было его излишков:
D(P *) = S(P *). (1)
Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене Р 0 спрос S 0 превышает предложение D 0 . И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене Р 1 > Р 0 . При такой цене предложение возрастает до величины S 1 ; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене Р 2 < Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S * , P * , D * .
Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P * и соответствующее значение спроса и предложения S * , D * .
Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Y t в момент времени t определяется затратами труда L t , производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием K t к затратам труда. Математическая запись этого такова:
Y t = f(K t /L t)L t . (2)
Конечная продукция распределяется на потребление С t , и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то
C t = (l - s)Y t . (3)
В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.
За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления
K t+1 - K t = sY t . (4)
При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:
Y t = (1+λ) t Y, L t = (1+λ) t L, K t = (1+λ) t K, C t = (1+λ) t C.
Если ввести величины, характеризующие потребление с = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции у = Y/L на одного работника, то система соотношений (2)-(4) перейдет в систему
y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (5)
Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой у = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т. е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что пополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роcта его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых у = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB, как следует из формулы (5), равна потреблению с. При s = 1 (точка А 0 на рис. 2) потребления совсем нет - вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление с (длина АВ) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой ОВ) остается тем же. В точке с ординатой R * , для которой касательная к кривой у = f(R) параллельна прямой у = λR потребление с * максимально. Ей соответствует кривая семейства у = s * f(R) с некоторой нормой накопления s * , называемой «золотой нормой накопления».
Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно - измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.
Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).
Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет
А.А. ГАЛКИН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭКОНОМИКА
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)»
Владимир 2006
УДК 330.45: 519.85 ББК 65 В 631
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета
В.А. Фатуев
Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой информационных систем
Тверского государственного технического университета
Б.В. Палюх
Доктор экономических наук, профессор зав. кафедрой экономики и управления на предприятиях
Владимирского государственного университета
В.Ф. Архипова
Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой алгебры и геометрии Владимирского государственного университета
Н.И. Дубровин
Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета
Галкин, А. А.
Г16 Математическая экономика: учебник / А. А. Галкин; Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2006. – 304 с. – ISBN 5-89368-624-1.
Рассматривается широкий круг типовых оптимизационных задач, возникающих в экономике, и алгоритмов, позволяющих решать эти задачи. Даны методика формализации указанных задач и их классификация. Представлены методы решения детерминированных задач статической и динамической оптимизации. По каждому типу задач и алгоритмов приведены примеры, демонстрирующие технику практического использования этих алгоритмов, а также набор задач для самостоятельного решения.
Предназначен для студентов вузов, обучающихся по специальности 080801 – прикладная информатика (в экономике), а также студентов, магистрантов и аспирантов смежных специальностей очного, заочного обучения, лиц, получающих второе высшее образование, а также специалистов-практиков.
Табл. 80. Ил. 60. Библиогр.: 39 назв.
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
Список принятых сокращений........................................................................... |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................................................. |
|
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................ |
|
ПО РАБОТЕ С УЧЕБНИКОМ......................................................................... |
|
Глава 1. ПОСТАНОВКА, ФОРМАЛИЗАЦИЯ |
|
И КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ |
|
ЗАДАЧ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ................................. |
|
и их формализация............................................................................. |
|
§ 1.2. Классификация задач оптимизации................................................. |
|
Глава 2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................. |
|
§ 2.1. Общая и каноническая задачи линейного программирования..... |
|
§ 2.2. Графическое решение задач ЛП....................................................... |
|
§ 2.3. Алгебраическое решение задач ЛП. |
|
Сущность симплекс-метода............................................................. |
|
§ 2.4. Отыскание начального опорного решения методом |
|
искусственного базиса...................................................................... |
|
§ 2.5. Двойственные задачи линейного программирования.................... |
|
§ 2.6. Целочисленные задачи линейного программирования................. |
|
§ 2.7. Замечания............................................................................................ |
|
Глава 3. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО |
|
ПРОГРАММИРОВАНИЯ .................................................................... |
|
§ 3.1. Формулировка классической транспортной задачи (ТЗ)............... |
|
§ 3.2. Решение классической транспортной задачи.................................. |
|
§ 3.3. Отыскание начального опорного плана методом |
|
северо-западного угла (МСЗУ)......................................................... |
|
§ 3.4. Улучшение плана перевозок методом потенциалов...................... |
|
§ 3.5. Неклассические транспортные задачи............................................. |
|
§ 3.6. Задачи о назначениях и распределительные задачи....................... |
|
Задачи для самостоятельного решения...................................................... |
|
Глава 4. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫЕ |
|
НА ГРАФАХ .......................................................................................... |
|
§ 4.1. Основные понятия теории графов.................................................... |
|
§ 4.2. Задача о кратчайшем пути в графе................................................... |
|
§ 4.3. Задача о критическом пути в графе................................................. |
|
§ 4.4. Задача о графе минимальной длины.............................................. |
|
§ 4.5. Задача о максимальном потоке в графе (сети).............................. |
|
§ 4.6. Задача об оптимальном распределении заданного |
|
потока в транспортной сети........................................................... |
|
Контрольные вопросы.............................................................................. |
|
Задачи для самостоятельного решения................................................... |
|
Глава 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОЙ |
|
ОПТИМИЗАЦИИ ............................................................................... |
|
§ 5.1. Аналитическое решение нелинейных задач статической |
|
оптимизации.................................................................................... |
|
§ 5.2. Численные методы решения одномерных задач |
|
статической оптимизации............................................................... |
|
§ 5.3. Численные методы многомерной безусловной оптимизации |
|
с использованием производных................................................... |
|
§ 5.4. Численные методы многомерной оптимизации |
|
без использования производных................................................... |
|
§ 5.5. Численные методы оптимизации при наличии ограничений...... |
|
Контрольные вопросы............................................................................... |
|
Задачи для самостоятельного решения.................................................... |
|
Глава 6. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО |
|
УПРАВЛЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКОГО |
|
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ................................................................ |
|
§ 6.1. Понятие об управляемых динамических системах...................... |
|
§ 6.2. Формулировка классической задачи об оптимальном |
|
динамическом управлении............................................................ |
|
§ 6.3. Формулировка классической задачи динамического |
|
программирования (ДП)................................................................. |
|
§ 6.4. Принцип оптимальности Р. Беллмана........................................... |
|
§ 6.5. Сущность метода ДП....................................................................... |
|
§ 6.6. Основное функциональное уравнение ДП................................... |
§ 6.8. Задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение
планового периода.......................................................................... |
|
§ 6.9. Задача об оптимальном плане замены оборудования.................. |
|
§ 6.10. Задача календарного планирования трудовых ресурсов........... |
|
Контрольные вопросы............................................................................... |
|
Задачи для самостоятельного решения.................................................... |
|
Глава 7. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
|
ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ .......................................... |
|
§ 7.1. Основные понятия вариационного исчисления............................ |
|
§ 7.2. Классические задачи ВИ и соотношения для их решения.......... |
|
§ 7.3. Специфика задач оптимального динамического управления |
|
и использование ВИ для их решения............................................ |
|
§ 7.4. Приближенные методы решения задач динамической |
|
оптимизации средствами ВИ......................................................... |
|
Контрольные вопросы.............................................................................. |
|
Глава 8. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ |
|
ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ |
|
В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ ................................................... |
|
§ 8.1. Формулировка принципа максимума для непрерывных |
|
систем............................................................................................... |
|
§ 8.2. Классическая задача Эйлера........................................................... |
|
§ 8.3. Задача оптимального управления с минимизацией затрат |
|
энергии на управление..................................................................... |
|
§ 8.4. Задача об оптимальном по быстродействию управлении.......... |
|
§ 8.5. Задачи об управлении линейной динамической системой |
|
со свободным правым концом........................................................ |
§ 8.6. Задача об управлении линейной динамической системой
с минимизацией обобщенного квадратичного интегрального
§ 9.2. Управление линейной дискретной системой произвольного порядка с оптимизацией суммарного обобщенного
квадратичного критерия.................................................................. |
|
§ 9.3. Отыскание оптимального управления для дискретного |
|
прототипа непрерывной динамической системы......................... |
|
§ 9.4. Задача календарного планирования производства |
|
и поставки продукции...................................................................... |
|
Контрольные вопросы.............................................................................. |
|
Задачи для самостоятельного решения к главам 7 – 9 ......................... |
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... |
|
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ................................................ |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................... |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ............................................................................................... |
|
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ............................................. |
Список принятых сокращений
ЦФ – целевая функция ОДР – область допустимых решений
ЛП – линейное программирование ЗЛП – задача ЛП КЗЛП – каноническая ЗЛП
ТЗ – транспортная задача ПО – пункты отправления, ПН – пункты назначения в ТЗ
МСЗУ – метод северо-западного угла МЗС – метод золотого сечения ДП – динамическое программирование ВИ – вариационное исчисление ПМ – принцип максимума; ДУ – дифференциальное уравнение
ПРЕДИСЛОВИЕ
В подготовке студентов различных технических и экономических специальностей и направлений значительное место занимает изучение типичных для соответствующей предметной области математических моделей и методов, позволяющих, оперируя этими моделями, объяснять поведение рассматриваемых систем, оценивать их характеристики, обоснованно принимать конструктивные, технологические, экономические, организационные и другие решения.
Освоение этих моделей и методов основывается на фундаменте, заложенном в довольно универсальной классической дисциплине, обычно называемой «Высшая математика». Математический аппарат, позволяющий решать типовые и наиболее важные для соответствующей сферы приложений задачи, изучается в специальных дисциплинах.
Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)», одной из таких дисциплин является «Математическая экономика». В соответствии с действующим государственным образовательным стандартом (ГОС) в программу этой дисциплины включен большой объем учебного материала, связанного с проведением математических расчетов в сфере экономики. Этот материал делится на две части.
В первой части изучаются задачи финансового анализа, которые в ГОС предшествующего поколения рассматривались в специальной дисциплине – «Финансовая математика».
Вторая часть программы содержит с точки зрения математики более сложные задачи и методы, связанные с отысканием наилучших, т.е. оптимальных, решений различных задач, встречающихся в области прикладной экономики. Ранее студенты осваивали этот материал при изучении дисциплины «Теория оптимального управления в экономических системах».
Учебная программа дисциплины «Математическая экономика» содержит широкий спектр довольно сложных для изучения вопросов. Поскольку объем времени, выделенного для аудиторных занятий по этой дисциплине, довольно небольшой, особое значение приобретает самостоятельная работа студентов с учебной литературой.
Следует отметить, что за последние 30 лет в нашей стране было издано много различных монографий, учебников и учебных пособий по математическим методам, применяемым в экономике. Однако при работе с ними у студентов возникают серьезные затруднения. Во-первых, многие из этих книг сейчас практически недоступны для студентов, так как либо отсутствуют в библиотеках вузов, либо имеются в единичных экземплярах. Во-вторых, для изучения всего предусмотренного программой материала одного учебника недостаточно, а в разных книгах, как правило, используются разный стиль изложения, разные обозначения. Нередко уровень изложения материала недоступен «реальному» студенту. В-третьих, при организации учебного процесса по дисциплинам математического характера принципиально важное значение имеет приобретение студентами практических навыков в использовании изучаемых методов, а для этого необходимы задачи для самостоятельного решения. Большинство учебных пособий по рассматриваемой тематике содержит примеры и задачи для иллюстрации техники применения излагаемых методов, но их недостаточно для того, чтобы выдать всем студентам обычной учебной группы индивидуальные задания.
Предлагаемый учебник предназначен для изучения второй, более сложной части дисциплины «Математическая экономика», в которой рассматриваются оптимизационные задачи, возникающие в экономике, и алгоритмы их решения. Он подготовлен с учетом изложенных выше обстоятельств.
В книге приведены формулировки типовых оптимизационных задач, возникающих в экономической сфере, осуществлена их формализация, изложена сущность методов и алгоритмов, позволяющих выполнять решение с иллюстрацией техники этих алгоритмов на конкретных примерах. Кроме того, по каждой теме представлен достаточно большой набор задач для самостоятельного решения, позволяющий каждому студенту дать свое индивидуальное задание.
Из огромного разнообразия возможных оптимизационных задач и предлагаемых современной наукой методов для включения в этот учебник выбраны детерминированные задачи и алгоритмы статической и динамической оптимизации. Из-за ограниченного объема книги задачи оптимизации с неопределенностями, в том числе вероятностно-статистические, интервальные, нечеткие и другие задачи и модели, а также задачи векторной оптимизации, не рассматриваются.
Книга включает девять глав. В первой даны примеры оптимизационных задач экономического характера, на которых продемонстрирована методика формализации, т.е. получения математической модели решаемой задачи, приведена классификация оптимизационных задач.
Главы вторая, третья и четвертая посвящены линейным задачам статической оптимизации. В второй главе изложены задачи и методы линейного программирования, отдельно в третьей – рассмотрены транспортные задачи, а в четвертой – оптимизационные задачи, которые интерпретируются на графах. Для каждой задачи представлен наиболее эффективный метод (алгоритм) решения и дан пример, демонстрирующий технику практического использования этого алгоритма. В пятой главе изложены аналитические и численные методы решения нелинейных задач статической оптимизации при отсутствии и наличии ограничений.
Динамические задачи оптимизации, обычно называемые задачами оптимального управления, рассмотрены в главах с шестой по девятую. В шестой главе дано общее представление о динамических системах непрерывного и дискретного типа, сформулирована классическая задача об оптимальном управлении и динамическом программировании (ДП), изложена сущность ДП и на различных примерах экономического характера показана техника его практического применения. В седьмой главе изложены основы вариационного исчисления, в восьмой – принцип максимума для непрерывных систем, а в девятой – для дискретных систем. В каждой из этих глав большое внимание уделено анализу различных частных задач и примеров, иллюстрирующих методику практического использования расчетных соотношений.
В конце каждой из глав с первой по шестую приведены задачи для самостоятельного решения. В конце девятой главы даны задачи для самостоятельного решения, посвященные методам оптимального динамического управления.
Особой проблемой, для решения которой автору в процессе работы над книгой потребовались значительные усилия, явилось то, что некоторые методы и алгоритмы в оригинальной литературе изложены так, что студентам нематематического, а информационно-экономического профиля разобраться в них довольно трудно. Поэтому необходимо было найти возможности для адаптации соответствующего теоретического материала к реальному уровню подготовки студентов, на которых ориентирована книга.
Кроме того, автор стремился при изложении большого количества существенно отличающихся задач и методов в максимальной степени выдержать единый стиль, характер, систему изложения материала. Хотелось бы надеяться, что это в определенной мере удалось осуществить.
При подготовке учебника был использован материал лекций и практических занятий по дисциплинам «Методы оптимизации», «Теория управления», «Теория оптимального управления в экономических системах» и «Математическая экономика», которые автор преподавал в течение 25 лет во Владимирском государственном университете (ВлГУ). На этих занятиях большая часть теоретического материала и задач для самостоятельного решения прошла апробацию. Электронная версия учебника включена в информационные ресурсы электронной библиотеки ВлГУ.
Несмотря на то что учебник подготовлен для студентов специальности «Прикладная информатика (в экономике)», несомненно, он может оказаться полезен студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам других профилей, поскольку оптимизационные задачи возникают всюду. Не случайно говорят, что «в природе нет ничего, в чем нельзя было бы усмотреть смысл какого-либо максимума или минимума».
Он будет благодарен всем тем, кто воспользуется книгой и сообщит свое мнение о ее содержании, возможно, о недостатках или неточностях. Для этого можно воспользоваться e_mail: [email protected] .
Работа над книгой с некоторыми перерывами велась около 10 лет, но она могла затянуться на неопределенный срок, если бы не оперативная и высококвалифицированная помощь в работе над рукописью, которую оказала аспирант И.В. Лагерь. За это автор выражает ей особую благодарность.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Математическая дисциплина, предметом к-рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и практич. приложениями. Особенно существенна связь с экономич. наукой и практикой.
М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодпч. исследования, к-рые.нельзя в строгом смысле отнести к математике.
Особенности экономико-математического моделирования. Особенность экономич. моделирования состоит в исключительном разнообразии и разнородности предмета моделирования. В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технич. характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики (напр., цех и народное хозяйство) требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математич. аппарата. Тонким вопросом является отражения типа социально-экономич. системы, к-рая моделируется, учет общественного строя. Нередко оказывается, что абстрактная математич. того или иного экономич. объекта или процесса с успехом применима и к капиталистической, и к социалистической экономике. Все дело в способе использования, интерпретации результатов анализа.
Производство, эффективное производство. Экономика имеет дело с благами, или продуктами, к-рые понимаются в М. э. чрезвычайно широко. Для них применяется общий термин ингредиенты. Ингредиентами являются услуги, природные ресурсы, отрицательно воздействующие на человека факторы окружающей среды, комфортности от имеющейся системы безопасности и т. д. Обычно считается, что ингредиентов конечно и продуктов есть - евклидово пространство, где l -
число ингредиентов.
Точка z из при надлежащих условиях может рассматриваться как "производственный" способ, положительные компоненты указывают объемы выпуска соответствующих ингредиентов, а отрицательные - затраты. Слово "производственный" взято в кавычки, поскольку производство понимается в самом широком смысле. Множество наличных (заданных, существующих) производственных возможностей есть Способ производства эффективен, если не существует такой, что и хотя бы для одной компоненты выполняется строгое . Задача выявления эффективных способов - одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z -
выпуклый . С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z -
выпуклый замкнутый .
Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача произведственного планирования. Задано производственных способов и вектор потребностей и ресурсных ограничений Требуется найти способ 
такой, что для всех Если Z -
выпуклый замкнутый конус, то это есть общая задача выпуклого программирования.
Если Zзадан конечным числом образующих (так наз. базисных способов), то это общая задача линейного программирования.
Решение
лежит на границе Z.
Пусть p - коэффициенты опорной гиперплоскости для Z в точке т. е. для всех и Основная выпуклого программирования находит условия, при к-рых p l
>0. Напр., достаточно условия: существует вектор 
(так наз. условие Слейтера). Коэффициенты я, характеризующие эффективный способ имеют важный экономич. смысл. Они интерпретируются как цены, соизмеряющие эффективность затрат и выпуска отдельных ингредиентов. Способ эффективен тогда и только тогда, когда стоимость выпуска, равна стоимости затрат. Данная эффективных способов производства и их характеризации с помощью p оказала революционизирующее влияние на теорию и практику планирования социалистич. экономики. Она легла в основу объективных количественных методов определения цен и общественных оценок ресурсов, дающих возможность выбора наиболее эффективных экономич. решений в условиях социалистич. хозяйства. Теория естественным образом обобщается на бесконечное число ингредиентов. Тогда пространство ингредиентов оказывается подходящим образом выбранным функциональным пространством.
Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z
, b}
, где X -
пространство ингредиентов, Z -
множество производственных возможностей, b -
задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.
Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) 
Здесь - (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной времени, где х k -
количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной из состояния х.
Будем называть
графиком отображения а. Точки ( х, у
).- допустимые производственные процессы.
Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики. В частности, потребление населения учитывается либо в самом отображении я, либо выделяется в явном виде. Напр., во втором случае допустимой траекторией является такая, что
Для всех t. Изучаются различные понятия эффективности траекторий. Траектория эффективна по потреблению, если не существует другой допустимой траектории (X, С
),
выходящей из того же начального состояния, для к-рой Траектория внутренне эффективна, если не существует другой допустимой траектории (X, С), выходящей из того же начального состояния, момента времени t 0 и числа l>1, что
Оптимальность траектории обычно определяется в зависимости от функции полезности 
и коэффициента приведения полезности во времени (о функции полезности см. ниже). Траектория наз. (и, m)-о птпмальной, если
для любой допустимой траектории (X, С
),
выходящей из того же начального состояния. Имеется довольно общих теорем существования для соответствующих траекторий.
Эффективные в различных смыслах траектории характеризуются последовательностью цен точно так же, как эффективный способ характеризовался ценами (коэффициентами опорной гиперплоскости) п.
Т. е. если для эффективного способа стоимость затрат равна стоимости выпуска в оптимальных ценах, то на эффективной траектории стоимость состояний постоянна и максимальна, а на всех других допустимых траекториях не может возрастать.
Все приведенные определения легко обобщаются на случай, когда производственное а, функция ии m зависят от времени. Само время может быть непрерывным или вообще параметр tможет пробегать множество довольно произвольного вида.
С экономич. точки зрения интерес представляют траектории, на к-рых достигается максимально возможный темп роста экономики, к-рый она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а и и такие траектории являются стационарными, т. е. имеют
где а - темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.
При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная , независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.
Модель экономич. динамики, у к-рой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин "замкнутый" используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), к-рый задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, Аи Впорядка Процесс тогда и только тогда, когда найдутся векторы v,
такие, что выполнены неравенства:
Модель межотраслевого баланса получила большое распространение из-за удобства получения исходной информации для ее построения.
Модели экономич. динамики рассматриваются также в непрерывном времени. Одними из первых стали изучать как раз модели с непрерывным временем. В частности, ряд работ был посвящен простейшей однопродуктовой модели, задаваемой уравнением
где х -
объем фондов, приходящихся на единицу трудовых ресурсов, с - потребление на душу населения, f
- производственная функция (возрастающая, вогнутая). Неотрицательные функции 
удовлетворяющие этому уравнению, характеризуют допустимую траекторию. Для заданной функции полезности ии коэффициента дисконтирования mопределяется . Оптимальные траектории (и только они) удовлетворяют аналогу уравнения Эйлера
где - максимальное число, удовлетворяющее условию f(x) -с=х.
Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений
где X -
потоки продуктов, Аи В -
матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С -
потоки конечного потребления.
Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах. Рассматриваются также модели, допустимые траектории в к-рых задаются дифференциальными включениями вида (х),
где а -
производственное отображение.
Рациональное поведение потребителей.
Вкусы и цели потребителей, к-рые определяют их рациональное поведение, даются в виде нек-рой системы предпочтений в пространстве продуктов. А именно, для каждого потребителя iопределено точечно-множественное отображение где Z -
нек-рое пространство ситуаций, в к-рых может оказаться потребитель в процессе выбора, X -
множество векторов, доступных потребителю, В частности, Zможет включать в себя в качестве подпространства Содержательно множество состоит из всех векторов к-рые (строго) предпочитаются вектору хв ситуации z. Напр., отображение Р i
может быть задано в виде функции полезности и,
где и(х).показывает полезность от потребления набора продуктов х.
Тогда
Пусть в описание ситуации z входят цены p.
на все продукты и денежный доход потребителя d.
Тогда есть множество наборов, к-рые потребитель может приобрести в ситуации z.
Это множество наз. бюджетным. Рациональность поведения потребителя заключается в том, что он выбирает такие наборы хиз B i
(z),
для к-рых Пусть D(z) - множество наборов продуктов, выбираемых истребителем г в ситуации z; D i
наз. отображен и-е м (или функцией в случае, когда D i
(z) состоит из одной точки) спроса. Имеется ряд исследований, посвященных выяснению свойств отображений Р i , В i , D
i
.
В частности, довольно подробно изучен случай, когда отображения Р i
могут быть заданы в виде функций. Определены условия, при к-рых отображения В i
и D i
являются непрерывными. Особый интерес представляет изучение свойств функции спроса D i
. Дело в том, что иногда удобнее считать в качестве первичных именно функции спроса D i
, а не предпочтения P i
, поскольку их легче построить по имеющейся информации о поведении потребителей. Напр., в экономике (торговая ) могут наблюдаться величины, приближенно оценивающие частные производные
где Яр - цена на продукт р, d -
доход.
К теории рационального поведения потребителей примыкает теория группового выбора, имеющая дело, как правило, с дискретными вариантами. Обычно предполагается, что имеется конечное число участников группы и конечное число, напр., альтернативных вариантов. Задача состоит в выборе группового решения о выборе одного из вариантов при заданных отношениях предпочтения между вариантами для каждого участника. Групповой выбор обеспечивает различные схемы голосования, рассматриваются также аксиоматический и теоретико-игровой подходы.
Согласование интересов.
Носителями интересов являются отдельные части экономич. системы, а также общество в целом. В качестве таких частей выступают потребители (группы потребителей): предприятия, министерства, территориальные органы управления, плановые и финансовые органы и т. п. Различают два взаимно переплетающихся подхода к проблеме согласования интересов - аналитический, или конструктивный, и синтетический, или дескриптивный. Согласно первому подходу в качестве исходного принимается глобальный критерий оптимальности (формализация интересов всего общества в целом). Задача состоит в том, чтобы вывести локальные (частные) критерии из общего, учитывая при этом частные интересы. При втором подходе исходными являются как раз частные интересы и задача заключается в объединении их в единую непротиворечивую систему, функционирование к-рой приводит к результатам, удовлетворительным с точки зрения всего общества в целом.
К первому подходу впрямую относятся декомпозиционные методы математич. программирования. Пусть, напр., в экономике имеется тпроизводителен и каждый производитель j задается множеством производственных возможностей Y j ,
где и является выпуклым компактом. Задана Vвсего общества в целом, где 
- вогнутая функция. Экономика должна быть организована таким образом, чтобы решалась задача выпуклого программирования: найти из условий
По теореме о характеристике эффективных способов производства существуют цены 
такие, что
для всех j, 
Величина y (j) pинтерпретируется как прибыль j-го производителя при ценах р.
Отсюда следует, что критерий максимизации прибыли у каждого из производителей не противоречит общей цели, если действующие цены определены соответствующим образом. Схемы, относящиеся ко второму подходу, получили большое развитие в рамках моделей экономич. равновесия.
Экономическое равновесие.
Предполагается, что экономика состоит из отдельных частей, являющихся носителями собственных интересов: производителей, занумерованных индексами j = 1, ..., т,
и потребителей, занумерованных индексами i=1, ..., п.
Производитель j описывается множеством производственных возможностей и отображением 
задающим его систему предпочтений. Здесь Z -
множество возможных состояний экономики, конкретизируемое ниже. Потребитель г описывается множеством возможных наборов продуктов, доступных для потребления, начальным запасом продуктов предпочтением 
и, наконец, функцией распределения доходов, где a i
(z) показывает количество денег, поступающих потребителю i в состоянии z. Множество возможных цен в экономике есть Q.
Тогда множество возможных состояний есть 
Бюджетное отображение B i
определяется здесь так:
Состояние равновесия описанной экономики есть удовлетворяющее условиям
По существу состояние равновесия экономики совпадает с определением решения бескоалиционной игры
многих лиц в смысле Неймана - Нэша с дополнительным условием, чтобы выполнялся баланс по всем продуктам. Существование состояния равновесия доказано при весьма общих условиях для исходной экономики. Гораздо более жесткие условия необходимо накладывать для того, чтобы состояние равновесия было оптимальным, т. е. доставляло нек-рой глобальной оптимизационной задаче с целевой функцией, зависящей от интересов потребителей. Напр., пусть Р i
задано вогнутой непрерывной функцией 
a F j
задано функцией
где Y j , Х i -
выпуклые компакты,
Любое подмножество S={i
1 , ..., i r }
индексов потребителей образует подэкономику исходной экономики, в к-рой каждому потребителю i s
из S соответствует (один и только один) производитель, множество производственных возможностей к-рого есть
Функции распределения доходов при этом имеют вид
Состояние наз. сбалансированным, если
Говорят, что сбалансированное состояние z
исходной экономики блокируется коалицией потребителей S,
если в подэкономике, определяемой коалицией S,
существует такое сбалансированное состояние что 
для s=
1, ..., r
и хотя бы для одного индекса имеет место строгое неравенство. Ядром экономики наз. множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются никакой коалицией потребителей. Для экономики с описанными свойствами имеет место теорема: всякое состояние равновесия принадлежит ядру. Обратное неверно, однако найден ряд достаточных условий, при к-рых множество состояний равновесия и близки друг к другу или вообще совпадают. В частности, если число потребителей стремится к бесконечности и влияние каждого потребителя на состояние экономики становится все более малым, то множество состояний равновесия стремится к ядру. Совпадение ядра и множества состояний равновесия имеет место в экономике с бесконечным (континуальным) числом потребителей (теорема Аумана).
Пусть экономика является моделью рынка (т. е. отсутствуют производители), множество участников (потребителей) к-рой является замкнутым единичным отрезком ,
обозначаемым далее Т.
Состояние экономики есть z=
(x, p
),
где хесть функция, отображающая Тв R + l
, каждая компонента к-рой интегрируема по Лебегу на отрезке Т.
Начальное продуктов между участниками задано функцией w,
.
таким образом сбалансированное состояние z таково, что Коалиция участников - это измеримое по Лебегу подмножество множества Т.
Если подмножество имеет меру 0, то соответствующая наз. нулевой. Ядро - это множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются ни одной ненулевой коалицией. Состояние является равновесием, если для почти каждого участника i
Теорема Аумана утверждает, что в описанной экономике и множество состояний равновесия совпадают. Интерес представляет вопрос о структуре множества состояний равновесия, в частности когда это множество конечно или состоит из одной точки. Здесь имеет место теорема Дебре. Пусть множество моделей рынка 
где суть начальные запасы продуктов у участника i, вектор является параметром, определяющим конкретную модель из множества 
Отображение представляет собой функцию спроса для i-гo участника. Функции D 1 , ..., D n
заданы (не меняются) для всего множества экономик W.
Пусть W 0 ,
-совокупность экономик, у к-рых множество состояний равновесия бесконечно. Теорема Дебре утверждает, что если функции D 1 , ... , D n
непрерывно дифференцируемы и отсутствуют точки насыщения хотя бы для одного из участников, то W 0 имеет (лебегову) меру в пространстве W.
О численных методах.
М. э. имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное , линейные экономич. модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.
Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономич. равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений
где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:
Функция избыточного спроса Fзадается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия. С. Смейлом изучена существенно более общая динамич. система, чем (*), применительно к модели рынка; наряду с изменением во времени цен р
рассмотрено изменение состояния х;при этом допустимая траектория 
удовлетворяет нек-рым дифференциальным включениям вида где К(р).и С(р) -
множества возможных направлений изменения ри х,
определенные через модель рынка.
Экономич. равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, к-рый является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.
Смежные вопросы.
М. э. тесно связана со многими математич. дисциплинами. Иногда трудно определить, где границы между М. э. и математич. статистикой или выпуклым анализом, функциональным анализом, топологией и т. д. Можно указать, напр., на развитие теории положительных матриц, положительных линейных (и однородных) операторов, спектральных свойств суперлинейных точечно-множественных отображений под влиянием потребностей М. э.
Лит.
:Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; К а н т о р о в и ч Л. В., Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., 1959; Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая экономика, пер. с англ., М., 1972; М а к а р о в В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической динамики и равновесия, М., 1973; М и р к и н Б. Г., Проблема группового выбора [информации], М., 1974; Scarf H., The Computation of Economic Equilibria, L., 1973; Данциг Д ж., Линейное программирование, его применения и обобщения, пер. с англ., М., 1966; Smale S., "J. math. Economics", 1976, №2, p. 107-20. Л. В. Канторович, В. Л. Макаров.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
- Экономический словарь