Банки предлагают своим потенциальным вкладчикам разные виды депозитных вкладов, но их все можно поделить на две группы по способам расчета прибыли. Это начисление процентов по депозиту без капитализации, и начисление с использованием сложного процента. Чтобы посчитать прибыль во втором случае, вам пригодится формула сложного процента для банковских вкладов.
Мы расскажем, как посчитать сложный процент самостоятельно, и использовать эту формулу для грамотного инвестирования капитала. Вы поймете, по какому принципу банки начисляют вам проценты. Это поможет легко ориентироваться среди массы разных предложений по депозитам.
Как рассчитать сложный процент: формула и примеры
Начнем от простого к сложному. Типичный банковский депозит с простым процентом не предусматривает возможность капитализации прибыли. Вы получаете выплаты по процентам ежемесячно, ежеквартально или в конце вместе с основной суммой, в зависимости от условий банка. Деньги вы можете снимать и использовать по собственному усмотрению.
Вот пример классического простого депозита. Вы положили в банк 100 000 под 12% годовых. Проценты вам банк выплачивает каждый месяц. Ваша общая прибыль составит:
100 000 * 0,12 = 12 000 рублей
В конце каждого периода вы будете получать примерно 1000 рублей. Формула расчета в банке сложнее, она учитывает количество дней в каждом месяце и количество дней в году. Поэтому в феврале вы получите меньше, чем в апреле, а в апреле – меньше, чем в мае. Но в сумме прибыль составит 12 000 рублей*.
* Для тех, кто любит точность во всем. На самом деле, вы не получите даже 12 000 рублей, поскольку банки используют более сложную формулу для начислений по вкладам. Сумма прибыли рассчитываются так: % = р/(Днпер. / Днгод.). Банки, как правило, не учитывают день оформления вклада, поэтому реально вы получите за год 100 000 * 0,12/(364/365) = 100 000 * 0,119671232 = 11 967, 1232 рублей.
Сложный процент по вкладу предусматривает начисление процентов на период, обозначенный в договоре (месяц, год, квартал), и последующее добавление этой суммы к общей сумме депозита. Проценты за следующий период будут начисляться уже не на первоначальную сумму, а на сумму + проценты. Поэтому доход за новый период будет выше.
Финансовый термин»сложный процент» обозначает общую прибыль, полученную за депозитный вклад, при условии прибавления прибыли за каждый период. Добавление процентов к первоначальной сумме называется капитализацией.
С прибыль = С нач * (1 + %) w — С нач
Пояснения к формуле начисления сложного процента:
- С прибыль – сумма, которую вы получите после окончания договора, не включая начальный вклад;
- С нач – сумма, на которую оформлен депозит (первоначальная сумма);
- % – обозначение процентной ставки. Указывается она в виде десятичной дроби p (10% годовых – это 0,1;
- 14,5% годовых – 0,145, и рассчитывается на каждый период по формуле: % = р * (Nдн.пер. / Nгод.);
- w – количество периодов капитализации. Если прибавление к основной сумме вклада осуществляется каждый месяц, тогда w = 12. Упрощенная формула % для примерного подсчета прибыли будет такой: % = р / 12.
Пользуясь такой простой версией, сложный процент посчитать можно очень быстро без дополнительных программ и калькуляторов.
Пример. Вы положили те же 100 000 рублей под 12% годовых, но с капитализацией каждый месяц. Ваша прибыль составит: 100 000 * (1+0,12/12) 12 — 100 000 = 100 000 * (1 + 0,01) 12 – 100 000 = 112 682,503 – 100 000 = 12 682 рублей.
На деле сумма будет отличаться, поскольку точная формула % для каждого месяца будет разной, из-за разного количества дней. Так же не учитывается первый день первого зачетного периода (как и в случае с расчетом простого процента).
Большинство депозитных продуктов банков предлагают сложный процент с капитализацией ежемесячно или ежеквартально. Чем больше периодов капитализации, тем выше будет прибыль. Это легко проверить на первом примере, изменив количество периодов с 12 на 4: 100 000 * (1 + 0,12/4) 4 – 100 000 = 100 000 * (1,03) 4 – 100 000 = 100 000 * 1,1255088 – 100 000 = 12 550, 88 рублей.
Почему у клиентов банков часто возникают трудности со сложным банковским процентом? Чаще всего, потому, что они используют упрощенную формулу для расчета, и не учитывают разную ставку для каждого периода. Но тогда и общую формулу применять нельзя: ведь если в одном квартале у нас получится % = р * (90/365) = р * 0,2466, то уже во втором % = р * (91/365) = р * 0,2493.
Чем такой вклад отличается от стандартного депозита с капитализацией процентов? В данном случае по окончанию первого периода (месяца) к начальной сумме добавляются не проценты за этот период, а определенная фиксированная сумма. Для того чтобы посчитать сложный процент с ежемесячным пополнением, будем использовать другую формулу.
Для расчета сложного процента с пополнением формула выглядит так:
С прибыль = С нач * (1 + %) w + (С доп * (1 +%) w+1 – С доп * (1 + %)) / % — С нач
Пример: вы положили на счет 100 000 рублей под 12% годовых, и каждый месяц добавляете к этому вкладу еще 5 000. При этом проценты мы не учитываем: считаем, что их вы получаете на отдельный счет и используете по-другому.
Вы получите: 100 000 * (1 +0,01) 12 – 100 000 + (5 000 * (1 + 0,01) 13 – 5 000 * 1,01) / 0,01 = 12 682 + 1904 = 14 586 рублей.
Формула для расчета по первому периоду: С1 = С нач * (1 + %). С1 – это не только проценты, но и плюс начальная сумма взноса. Расчет по второму периоду: С2 = С1 * (1 + %). Помните, что значение % в каждом случае будет разным.
Рассчитаем сложный банковский процент для вклада в 100 000 рублей под 12% годовых, с капитализацией каждый квартал. Днем, когда оформлен договор, будем считать 1 января.
С1 = С нач * (1 + %) = 100 000 * (1 + 0,12 * (30 + 28 + 31)/365) = 100 000 * (1 +0,12 * 0,2438356) = 100 000 * (1 + 0,0292603) = 102 926, 03 рублей;
С2 = 102 926,03 * (1 + 0,12 * (30 + 31 + 30)/365) = 102 926,03 * (1 + 0,0299178) = 106 005,35 рублей и т.д. Продолжая эти подсчеты, мы получим 112514,93 рублей. То есть, прибыль составит 12 514, 93 рублей (при подсчете по упрощенной формуле в итоге получалось 12 550 рублей).
Пользоваться такими сложными формулами не обязательно, разве что вы любите точные цифры и хотите проверить свой банк – правильно ли осуществляются начисления по вашим депозитам.
Как выгодно использовать сложный банковский процент
При равных процентных ставках, депозитный вклад с капитализацией принесет больший доход. Но зачастую банк предлагает выбор: депозит со ставкой ниже, но с капитализацией, или обычный депозит с высокой ставкой без капитализации. Чтобы найти лучший вариант, придется использовать приведенную выше формулу для расчета сложных процентов по вкладам.
Пользоваться формулой можно и от обратного. Например, рассчитать процентную ставку, при которой вы получите желаемую прибыль за определенное время. Формула будет выглядеть так: % = (Сжелаемая / Сначальная) 1/n – 1. Например, вы хотите рассчитать, при какой процентной ставке, вложив 10 000 рублей на год с ежеквартальной капитализацией, вы получите в итоге 15 000 рублей. Рассчитываем ставку: % = (15 000 / 10 000) ¼ – 1 = 0,10668. Ставка должна быть 10,668 %.
Большая часть кредитов сегодня погашается с помощью аннуитентных платежей, одинаковых ежемесячных сумм. Аналогично и на вклады осуществляется стабильное начисление процента. Одна и та же сумма каждый месяц. В банковской практике такое начисление процентов называется простым. Таким образом, в случае с кредитом ежемесячно его владелец должен будет погашать не только часть основной суммы, но и насчитанный процент за ее пользование. Такой формат партнерства является законным. Совсем другое дело, если с заемщика снимается сложный процент. Формула его расчета будет рассмотрена ниже.
Против закона, или Как банки наживаются за счет неопытных заемщиков?
Многим будет интересно узнать, но начисление сложного процента на кредит - это незаконно. Такой формат сотрудничества делает банковский продукт весьма прибыльным для финансовых институтов и полностью убыточным для клиента. Незаконный формат начисления процента осуществляется тогда, когда процентная ставка на протяжении всего срока кредитования систематически меняется. Заметить неправомерные действия банка возможно только при формировании просрочки, которой по факту быть не должно. В ходе судебных разбирательств можно доказать, что банк начислял не совсем правильный процент.
Так что же это - сложные проценты по кредиту и вкладу?
Формула сложных процентов для кредита позволит понять, что начисление осуществляется не только на основную сумму долга, но и на сумму средств, которая была образована после начисления банковского процента. Говоря проще, сложные проценты представляют собой проценты, которые начисляются сами на себя. В банковской практике их еще называют двойными процентами.
Люди часто сталкиваются с ситуациями, когда их небольшой долг превращается в кругленькую сумму средств. Суть проблемы в том, что после того как финансовый институт зафиксирует просрочку, он присоединит к сумме долга процент. Следующее начисление будет осуществлено на основную сумму долга плюс насчитанный ранее на нее процент. Долг перед банком увеличивается в геометрической прогрессии. Невыгодные сложные проценты для заемщика становятся настоящим преимуществом для вкладчиков, так как аналогично увеличению долга они обеспечивают быстрый прирост прибыли.
Сложный процент: формула для заемщиков
В финансовой практике весьма распространена схема расчета сложных процентов. Она актуальна в том случае, если процентные средства не выплачиваются каждый месяц, а прибавляются к размеру основной задолженности, которая становится новой базой для начислений банка. Если ссуда имеет продолжительность от года и более, заемщик может столкнуться со своей неплатежеспособностью.
FV = PV + % = PV + PV * % = PV * (1 + %)
Для подсчета переплаты за два периода начисления можно использовать следующую формулу:
FV = (PV + %) * (% + 1) = PV * (1 + %) * (1 + %) = PV * (1 + %) 2
FV = PV * (1 + %) N = PV * Кн, где:
- FV - наращенная сумма долга.
- PV - первичная сумма долга.
- % - ставка за период начисления.
- N - количество периодов начисления.
- Кн - коэффициент наращения сложных процентов.
Наращивание простых и сложных процентов
Формулы простых и сложных процентов позволяют определить объемы переплаты и предварительно оценить выгоды банковского продукта. При краткосрочных займах простые проценты оказываются более выгодными для банков. Однако если срок кредитования имеет среднесрочные или долгосрочные тенденции, разница может быть весьма ощутима для клиента. Отсюда выплывают следующие закономерности:
Независимо от процентной ставки при:
- 0 < N < 1 , то (1 + N * %) > (1 + %) N .
- N > 1, то (1 + N * %) < (1 + %) N .
- N = 1, то (1 + N * %) = (1 + %) N .
Как видим, финансовые институты, выдающие кредиты, получают больше выгоды от простых процентов при начислении всего дохода один раз к окончанию всего срока кредитования. Сложный процент приносит выгоды только если кредитование осуществляется не менее года. Оба типа процентов дают идентичную прибыль банку, если кредит оформлен на срок в один год, а проценты начисляются один раз по окончании партнерства.
Формула сложных процентов по вкладам
Сложные проценты используются банками не только для получения выгоды от кредитования. Формат начислений применяется и при оформлении вкладов, тем самым определяя выгоды для инвесторов. Итоговую сумму вклада можно рассчитать используя следующую формулу:
S = D * (1 + % * i / Y / 100) * N
Для расчета прибыли по вкладу эффективно использовать другие формулы:
Sp = S - D = D * (1 + % * i / Y / 100) * N - D
Sp = D * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1)
Для сравнения прибыльности по вкладам, которые оформлены на разный период и для каждого из которых свойственна своя ставка сложных процентов, формула будет выглядеть иначе. Она позволит определить процент, который получит инвестор после капитализации.
P1 = 100 * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1), где:
- D - размер первичного вклада.
- S - общая сумма вклада с начисленными процентами.
- % - процентная ставка.
- Sp - доход.
- N - количество начислений.
- i - количество дней по начислению процентов.
- Y - дни в году.
Итоговая ставка банка, рассчитанная с учетом капитализации процента, называется эффективной. Финансовые институты не учитывают день окончания партнерства, если используют сложную схему начисления прибыли.
Пример расчета сложных начислений по вкладу
Формула начисления сложных процентов помогает каждому вкладчику предварительно оценить объем своего дохода. Попробуем рассчитать общий объем вклада и отдельно полученную по нему прибыль, если размер первичной инвестиции составлял 100 000 рублей на период 90 дней со ставкой 16 %.
S = 100000 + (100000 * 16 % * 90 / 365)
Sp = 100000 * 16 % * 90 / 365
На что обращать внимание?
Для каждого формата партнерства с банком нужно использовать индивидуальный вариант расчета. В зависимости от продолжительности вклада и периодичности выплат будет формироваться итоговый сложный процент. Формула его расчета будет изменяться от случая к случаю. Чтобы не допустить ошибок и выбрать максимально выгодную программу депозитов, нужно обратиться к экспертам. Помочь в данном вопросе могут представители финансового института. Они хоть и не имеют права рекомендовать вклады, но обязаны предоставить по просьбе полную схему расчета процентов по ним.
Капитализация при инвестировании в валютные рынки
Капитализация процентов встречается не только в банке, но и на валютном рынке «Форекс». Инвесторы, отдающие свои капиталы в доверительное управление, получают возможность следить за увеличением своих депозитов в геометрической прогрессии. Специфика данного вида инвестирования в том, что при получении прибыли она не снимается сразу, а распределяется по окончании торгового периода. На протяжении торгового периода, который может составлять неделю, месяц и даже несколько месяцев, будет автоматически проводиться начисление сложных процентов в силу специфики торговли. Для точного расчета дохода не подойдет формула сложных процентов по вкладам. Причина в отсутствии стабильной ставки. Прибыль определяется качеством торговли управляющего, его стратегией и политикой мани-менеджмента, прочими параметрами торговой системы.
Инвестору на заметку
Для расчета дохода при капитализации используется не одна формула сложных процентов для кредита и депозита, а несколько. Это обусловлено разными условиями партнерства с банком. Начисление процента на процент может проводиться каждый день, что является большой редкостью, каждую неделю, каждый месяц и даже каждый год (при долгосрочных инвестициях).
Оптимальным вариантом можно считать депозит с ежемесячной капитализацией, найти его несложно, а выгоды он принесет достаточно большие. Начисление процента на процент является тем выгодней для инвестора, чем чаще осуществляется начисление. Несмотря на более низкие процентные ставки по продуктам банка с капитализацией, прибыль в конечном счете получается на порядок больше, нежели при простой схеме начисления.
Еще один интересный момент заключается в том, что чем дольше вклад будет находиться в банке, тем быстрее он будет расти. Увеличение дохода будет происходить благодаря присоединению начислений к базовому объему средств. Если в течение года преимущества капитализации будут не так ощутимы, спустя десяток лет сомнения в преимуществах этого банковского предложения отпадут. Таким образом, выбирая меньшую процентную ставку, но останавливаясь на капитализации, можно получить более высокую прибыль по вкладу.
В дополнение к вышеизложенной статье, хотела бы добавить еще несколько полезных формул расчета разного вида процентов.
Начну с простого, но не менее полезного:
1). Формула расчета доли в процентном отношении.
Задано два числа: X1 и X2. Необходимо определить, какую долю в процентном отношении составляет число Х1 от Х2.
У = X1 / X2 * 100.
2). Формула расчета процента от числа.
Задано число X2. Необходимо вычислить число X1, составляющее заданный процент Y от Х2.
Х1 = Х2 * Y / 100.
3). Формула увеличения числа на заданный процент (сумма с НДС).
Задано число X1. Надо вычислить число X2, которое больше числа X1 на заданный процент Y. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
X2= X1 * (1 + Y / 100).
4). Формула вычисления исходной суммы (сумма без НДС).
Задано число X1, равное некому исходному числу X2 с прибавленным процентом Y. Надо вычислить число X2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС. Обозначим y = Y / 100, тогда:
X1= X2 + y * X2.
или
X1= X2 * (1 + y).
тогда
X2= X1 / (1 +y).
5). Формула уменьшения числа на заданный процент.
Задано число X1. Необходимо вычислить число X2, которое меньше числа X1 на заданный процент Y. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
X2= X1 - X1 * Y / 100.
либо же
X2= X1 * (1 - Y / 100).
6). Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.
Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.
Y = S + (S*Z*d/D)/100
Yp = (S*Z*d/D)/100
Где:
Y - сумма банковского депозита с процентами,
Yp - сумма процентов (доход),
S - первоначальная сумма (капитал),
Z - годовая процентная ставка,
d - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D - количество дней в календарном году (365 или 366).
7). Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.
Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.
X = S * (1 + P*d/D/100)N
Где:
Y - годовая процентная ставка,
При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):
Sp = X - S = S * (1 + Y*d/D/100)N - S
или
Sp = S * ((1 + Y*d/D/100)N - 1)
8). Еще одна формула сложных процентов.
Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так.
X = S * (1 + Y/100)N
Где:
X - сумма депозита с процентами,
S - сумма депозита (капитал),
Y - процентная ставка,
N - число периодов начисления процентов.
В этой статье мы расскажем, как рассчитать проценты по вкладам с капитализацией и без, а также как посчитать сумму ежемесячного платежа по взятому Вами кредиту. Как можно применить эти знания? Во-первых, Вы сможете оценить доходность банковского вклада. Во-вторых, так можно проверить, насколько честно финансовое учреждение считает проценты. То же самое можно сказать и о кредитах.
Как рассчитать проценты по вкладу без капитализации
Если банк начисляет проценты только на основное тело вклада, рассчитать сумму выплат можно по формуле:
- Sп в этой формуле означает сумму процентов по вкладу;
- Sв – это первоначальная сумма вклада;
- q – годовая процентная ставка, представленная в виде десятичной дроби. Например, если банк дает 12% годовых по вкладам, то q = 0,12.
- Nд – количество дней, за которые банк начислит проценты;
- Nг – число дней в году. Как известно, Nг = 365 или 366.
Первая дата может учитываться, а может и нет. Вторая, как правило, не учитывается.
Рассмотрим теперь пример расчета по этой формуле. Человек вносит в банк депозит в сумме 12 000 рублей на 120 дней. Банковская процентная ставка – 20% годовых. Сколько вкладчик получит за весь период? Воспользуемся формулой (1). Sп = (12000*0,2*119)/365 = 782,46 руб. При расчете мы берем 119, а не 120, так как день, в который банк возвращает депозит, не учитывается.
Вот еще пример. Клиент оформляет депозит 75 000 рублей на год под 17% годовых. Каждый месяц банк выплачивает причитающиеся проценты. Сколько денег человек будет получать ежемесячно? Опять же таки используем формулу (1).
Посчитаем сумму выплаты для 3 случаев:
- В месяце 30 дней.
- В месяце 31 день.
- В месяце 28 дней (февраль).
- В первом случае имеем: Sп = (75000*0,17*30)/365 = 1047,94 руб.
- Во втором случае: Sп = (75000*0,17*31)/365 = 1082,87 руб.
- В третьем случае: Sп = (75000*0,17*28)/365 = 978,08 руб.
Еще пример. Вкладчик разместил деньги на депозите с возможностью пополнения и снятия, под 12% годовых. По состоянию на 1 января на депозите было 45 000 рублей. 15 января счет был пополнен на 7000 рублей, 20 января со счета было снято 18 000 рублей. Вопрос: сколько клиент банка получит за январь?
Сначала нужно посчитать, сколько каждая из сумм была на счете:
- 45000 рублей – 14 дней (с 1 по 14-е);
- 52 000 рублей – 5 дней (с 15-го по 19-е);
- 34 000 рублей – 12 дней (с 20-го по 31-е).
Теперь можно применить формулу (1) для расчета суммы процентов: Sп = (45000*0,12*14)/365 + (52000*0,12*5)/365+ (34000*0,12*12)/365 = 207,12 + 85,47 + 134,13 = 346,72 руб. Именно столько вкладчик банка получит за январь месяц.
Как рассчитать сложные проценты по вкладу
Формула для расчета сложных процентов по банковскому депозиту несколько сложнее. Сложные проценты применяются для случая капитализации процентов – когда проценты начисляются на проценты. Вот эта формула:
- где q – процентная ставка;
- p – годовая процентная ставка, представленная в формате десятичной дроби;
- Nд – период капитализации процентов в месяцах (или в днях);
- Nг – количество дней или месяцев в году;
- n – количество периодов капитализации.
q в формуле (2) считается так:
И сразу пример. Человек делает вклад 60 000 рублей на год под 17% годовых. Капитализация процентов ежемесячная. Спрашивается: сколько всего процентов вкладчик получит за год? Рассчитаем месячную процентную ставку по формуле (3):
q = 0,17*1/12 = 0,0142
Сколько получается за год? Давайте посчитаем:
Как рассчитать сумму процентов в программе MS Excel
Если Вы умеете пользоваться программой Microsoft Excel, сумму выплат процентов с капитализацией можно посчитать с помощью функции БС (будущая стоимость).
Нажмите на любую ячейку в таблице и вызовите вставку функций (fx). Перейдите в категорию «финансовые», выберите БС. В поле «ставка» укажите процентную ставку месячной капитализации. Можно взять из примера выше – 0,0142. Кпер – число периодов капитализации, в нашем случае 12.
Плт – не вводите ничего. Это поле необходимо, если банк ежемесячно выплачивает фиксированную сумму. Пс – это нынешняя сумма вклада, то есть те деньги, которые Вы кладете на депозит. Программа покажет, что по окончании года на счете будет 71 061 руб. вместе с начисленными процентами.
Можно ли рассчитывать доходность по депозитному калькулятору
Еще одна возможность для расчета доходности депозита – это калькулятор, размещенный на сайте финансового учреждения. Пользоваться им, в принципе, можно, если помнить о «подводных камнях».
Калькулятор ничего не скажет о том, какую формулу использует банк для подсчета.
Возможно, такой подсчет будет выгоден только банку. Поэтому рекомендуем все перепроверять, пользуясь формулами выше или программой Excel.
Как посчитать ежемесячный платеж по кредиту
Перейдем теперь от депозитов к кредитам. Займы у банков берет практически каждый человек. Долг перед финансовым учреждением – это обязательство, которое необходимо исполнить в течение определенного времени. Чтобы клиенту было понятно, что и когда платить, банковский работник составляет график погашения. Самый распространенный вариант – платежи одинаковыми суммами на протяжении всего периода (аннуитетные платежи).
A = K*S (4);
- где А – величина ежемесячного платежа;
- K – коэффициент аннуитета;
- S – сумма кредита, который получил человек.
Коэффициент аннуитета рассчитывается так:
- где i – месячная ставка процента, чтобы ее рассчитать, поделите годовую ставку на 12;
- n – число месяцев для погашения всего кредита.
Посчитать свой ежемесячный платеж можно и в программе MS Excel. Для этого мы используем функцию ПЛТ. К примеру, пусть сумма выданного кредита – 30 000 рублей, ставка – 18% годовых, срок кредитования – 36 месяцев. Выберите категорию «Финансовые». В поле «ставка» введите месячную ставку: 0,18/12 = 0,015; Кпер – количество периодов выплаты, в нашем случае 36. ПС – сумма кредита. Все остальное можете не указывать. Программа выдаст 1084,57 руб.
Две схемы платежей: аннуитетные и дифференцированные
Аннуитетная схема погашения кредита наиболее проста для клиента банка: человек на протяжении всего договора с финансовым учреждением вносит одинаковую сумму. Есть еще один способ погашения кредита – дифференцированные платежи. В отличие от аннуитета, сумма выплаты уменьшается от месяца к месяцу, так как уменьшается сумма процентов.
Произведем расчеты выплат по дифференцированной системе платежа:
b = S/n (6);
- где b – это сумма, которая идет на погашение тела кредита;
- S – сумма, которую человек взял в долг;
- n – количество месяцев, в течение которых человек будет платить кредит.
- где p – сумма, которая идет на погашение процентов;
- Sn – долг, который еще нужно оплатить;
- P – банковская процентная ставка.
Sn = S – (b*t) (8);
- где t – количество платежей, которые вы уже внесли.
Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.
Немного теории
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.
Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».
В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.
В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .
Начисление процентов 1 раз в год
Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.
В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).
В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.
Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.
Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера
это реализовано на листе Постоянная ставка
.
За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12)
, т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.
Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)
Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС()
позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)
Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)
Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .
Определяем сумму начисленных процентов
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера
).
Определяем Срок долга
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.
В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.
Вычисляем ставку сложных процентов
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?
В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.
Примечание . Об эффективной ставке процентов .
Учет (дисконтирование) по сложным процентам
Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.
Математический учет
. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Пример
. Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .
Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня
вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.
Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС()
возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .
Банковский учет
. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .