Моделирование и прогнозирование в экономике. Методы моделирования и экономико-математические методы. Модель развития региональной экономики в рамках инвестиционного процесса

Повышение оперативности контроля, анализа и процесса принятия решений следует считать важным средством повышения эффективности функционирования любой социально-экономической системы. Именно здесь остро ощущается дефицит информации: несвоевременно поступающая информация стареет, теряет свою ценность. Обеспечение своевременной и достоверной информацией управляющих органов является функцией системы оперативного контроля, которая реализуется благодаря, системе прогнозирующих моделей, лежащей в ее основе. При этом важнейшим является решение следующих задач: определение текущих и прогнозируемых значений показателей, характеризующих деятельность системы, выявление и формализация объективно существующих взаимосвязей между различными показателями, контроль и прогноз на их основе.

Актуальность исследований. Основные задачи, возникающие в процессе решения задач прогнозирования в социально-экономических системах, можно разделить на следующие: анализ структуры системы и выявление наиболее существенных факторов, влияющих на ее функционирование; моделирование поведения системы; анализ динамики функционирования системы и выявление тенденций ее развития; выявление основных закономерностей развития системы на основе характеристик этих тенденций; прогнозирование конкретных и обобщенных показателей и др.

В связи с этим возникла необходимость разработки методики организации процесса моделирования и прогнозирования, предназначенного для решения указанных задач.

Целью работы является разработка методики построения комплекса прогнозирующих математических моделей показателей функционирования социально-экономических систем, что дает возможность обеспечить высокую точность и достоверность анализа состояния и тенденций их развития.

Математический аппарат прогнозирования должен отвечать следующим требованиям: универсальность в применении; содействие успешной реализации принципа системного подхода к прогнозируемым показателям; включение методов и достижений эконометрики, математической статистики, адаптивных и интеллектуальных систем и т.д.

При этом прогнозирование системных показателей должно осуществляться в несколько этапов.

Первый этап - разработка методики выбора формы связи в регрессионных и корреляционных моделях прогноза. Так как здесь в большинстве своем используется стохастический математический аппарат, этот этап приобретает большую значимость.

Второй этап - разработка методов оценки параметров уравнений связи. Эти методы должны оцениваться с точки зрения состоятельности, несмещенности и эффективности оценок, полученных при их помощи.

Третий этап - разработка прогнозирующего аппарата функций тренда и некоторых способов модификаций их траектории. Характерной особенностью временных рядов рассматриваемых показателей является наличие в них трендов или основных тенденций, сложившихся под влиянием наиболее типичных воздействий. Такой временной ряд можно описать некоторой дискретной функцией времени, которую целесообразно представить в виде суммы некоторой детерминированной функции и случайной составляющей:

N = 1, 2, 3, ... ,

где детерминированная функция является трендом, а случайная функция отражает воздействие на формирование данного явления множества неучтенных факторов.

С теоретической точки зрения тренд процесса является результатом воздействия на его формирование основных закономерностей причинно-следственного характера, регулирующих данный аспект динамики изменения прогнозируемых показателей. Воздействие же прочих факторов самой разнообразной природы носит в основном стохастический характер и отражается случайной функцией. Однако следует помнить, что, посту­пая так, мы фактически постулируем модель. Возможно, целесообразно предположить, что тренд обусловлен наличием постоянных факторов, однообразно действующих приблизительно в одном и том же направле­нии, но то, что это так, и что эф­фекты от различных воздействующих факторов аддитивны, является предположением и имеет характер гипотезы, от которой мы всегда должны быть готовы отка­заться, если наша модель плохо соответствует данным.

Существенным в понятии тренда является гладкость, что на практике означает желательность его представления непрерывной и дифференцируемой функцией времени. Это позволяет описать тренд полиномом с довольно высокой степенью точности. При таком описании, на первый план выходит анализ влияния предыстории на формирование конкретного значения изучаемого показателя.

Функция тренда является простейшим математическим выражением развития социально-экономических процессов. Однако ее использование в практике прогнозирования вполне оправдано в тех случаях, когда невозможно обосновать употребление более сложных конструкций прогнозирования или нецелесообразно использовать более сложные методы. Поскольку функция тренда не всегда гибко описывает реальный процесс, возникает необходимость в модификации траектории теоретической функции. Здесь можно отметить два способа модификаций:

Метод "последнего значения" (адаптивная модификация), который наиболее хорошо приближает теоретическую функцию к реальному состоянию развития прогнозируемого процесса;

Метод сдвига экстраполяционной кривой в любой точке ее траектории; этот метод модификации применяется в том случае, когда имеет место скачкообразная тенденция прогнозируемого процесса и использование более сложных методов ее оценки нецелесообразно.

Четвертый этап - разработка прогнозирующей множественной регрессионной модели. Достоверность прогноза, полученного при помощи эконометрических моделей прогнозирования, в большой степени зависит от устойчивости параметров регрессионного уравнения. Поэтому при прогнозировании социально-экономических процессов необходимо провести предварительное их исследование. При неустойчивости эмпирических параметров требуется установить характер их мутации и после соответствующей корректировки определить совокупность новых параметров регрессионного уравнения, используемого уже непосредственно для прогнозирования. Это обуславливает необходимость разработки аппарата и алгоритмов выявления мутации эмпирических параметров эконометрических уравнений (диагностика и обнаружение разработок), установление вида мутации и перехода от статистической эконометрической функции к "скользящим" функциям. Математический аппарат "скользящих" функций может быть использован не только для функций множественной регрессии, но и для функций тренда, его употребление в практике прогнозирования в какой-то мере "удлиняет" горизонт обоснованного прогнозирования при помощи эконометрических уравнений.

Пятый этап - создание системы моделей для долгосрочного прогнозирования показателей, образующих взаимосвязанную систему. Методологической основой построения системы моделей является список показателей и установление прямых и обратных связей между ними при построении системы прогнозируемых показателей.

Шестой этап - разработка специальных методов прогнозирования. К специальным методам прогнозирования будем относить:

Методы структурного прогнозирования;

Метод прогнозирования при помощи "огибающих" кривых;

Метод прогнозирования при помощи системы рекуррентных эконометрических уравнений;

Адаптивные и интеллектуальные методы прогнозирования.

Для определения альтернативных возможностей изменения структуры социально-экономических процессов в прогнозируемом периоде применяются методы структурного прогнозирования, которые включают:

Анализ совокупности существующих структурных единиц исследуемого объекта и определение новых, пока еще не существующих;

Анализ взаимосвязей между структурными единицами и определение возможностей совершенствования и роста исследуемого объекта при существующей его структуре;

Анализ возможных изменений во взаимосвязанных структурных единицах и выявление этих изменений на развитие исследуемого явления;

Прогнозирование тенденций развития существующих и возможных в прогнозируемом периоде структурных единиц, взаимосвязей и пропорций между ними (с использованием методов экстраполяции).

Простейший способ решения задачи окончательной балансировки -нормирование количественных величин структурных единиц. Однако при этом коэффициенты модели в какой-то мере теряют содержательный смысл. Разработаны более точные методы балансировки структурного прогнозирования, например, модели математического прогнозирования, целевой функцией которых является минимум величины дисбаланса.

Метод экстраполяции при помощи огибающей кривой выражает агрегативный подход к прогнозированию явлений. Применение функциональных характеристик широких классов явлений позволяет избежать погрешностей, присущих обычным методам экстраполяции: получение краткосрочной тенденции вместо долгосрочной, консерватизм дезагрегативного подхода (чем больше степень дезагрегации анализа, тем больше вероятность того, что оценки окажутся консервативными, так как такой прогноз дает возможность установить верхний предел развития процесса в данной известной системе ограничений, а это в действительности очень часто оказывается нижним пределом истинного процесса развития при изменившейся системе ограничений) и т.п. Суть данного метода состоит в том, что найденная на основе графоаналитического анализа общая тенденция в виде огибающей кривой продлевается на будущее.

Метод огибающей кривой - специфический метод прогнозирования. Область его применения - некоторые аспекты научно-технического прогресса, потребление некоторых специфических товаров и средств или другие весьма специфические процессы, которые отвечают предпосылкам и условиям использования метода. "Огибающая" - это такая кривая, которая приближенно отражает общую тенденцию развития и имеет во всех своих точках общую касательную с каждой из кривых, характеризующих изменения значений каждого конкретного процесса. Расчет точек касания и самих параметров огибающей кривой - достаточно сложная математическая задача, особенно если конкретные процессы описываются кривыми, принадлежащими к различным семействам.

Метод огибающих кривых следует применять в том случае, когда прогнозируется широкий класс систем. Он дает большую стабильность результатов, в то время как прогнозы по отдельно взятым компонентам системы подвержены сильным возмущениям. При этом развитие прогнозируемой системы происходит следующим образом: переход от роста к насыщению, перемена системы ограничений и характера их действий (что придает процессу новые характеристики), снова рост с последующим насыщением и т.д.

Эффективным методом описания связей является прогнозирование при помощи систем рекуррентных эконометрических уравнений. Большое преимущество этого метода состоит в том, что каждое уравнение системы может рассматриваться отдельно, а это значительно облегчает нахождение их эмпирических параметров. Используя такие системы уравнений, мы гарантируем комплексность и детальность прогнозных расчетов, потому что в этом случае объект прогноза представляет собой не отдельный показатель, а целую их систему. В рекуррентных эконометрических моделях эндогенные величины своим влияниям друг на друга составляют цепь, поэтому их можно пронумеровать так, что показатель, который сам не влияет ни на одну величину и на который действует набор эндогенных и экзогенных величин, будет последним.

Авторегрессионные эконометрические модели чаще всего употребляются для прогнозирования новых социально-экономических процессов, т.е. там, где внешний механизм формирования процесса четко не определен и причинно-следственные связи не исследованы. Применение этого метода прогнозирования целесообразно для сильно коррелированных динамических рядов.

Седьмой этап - разработка аппарата производственных функций. Производственные функции устанавливают закономерную, относительно устойчивую количественную связь между входами и выходами сложной социально-экономической системы. Отличительной чертой этих функций является сложность математического аппарата, а также существенные трудности, возникающие при оценке параметров и расчете некоторых их характеристик.

Восьмой этап создания математического обеспечения системы прогнозирования - разработка специальных методов комбинирования и сопоставления результатов, полученных разными методами прогнозирования.

Значимость этих методов определяется тем, что существует большое число методов прогнозирования, которые можно использовать для прогнозирования того же явления. Кроме того, варианты прогноза, полученные при помощи различных методов прогнозирования, отличаются друг от друга и всегда есть необходимость в получении такого прогноза, который был бы в некотором смысле оптимальным. Различие между методами краткосрочного и долгосрочного прогнозирования существенны. Это обуславливает необходимость их комбинированного применения.

Использование методов сопоставления особенно актуально для комбинирования результатов, полученных при помощи опроса экспертов и при помощи формальных методов прогнозирования.

Девятый этап - разработка аппарата определения доверительных интервалов прогноза и методов оценки качества прогноза.

Так как прогнозирование в большинстве случаев производится с помощью стохастического аппарата, то и прогноз имеет стохастический характер. Это и требует определение интервала, в котором с некоторой вероятностью будет находиться прогнозируемая величина. Если эта величина в дальнейшем употребляется как входная переменная, то полагают, что она находится в центре доверительного интервала.

Существующие в настоящее время методы проверки качества прогноза достаточно формальны и могут употребляться только тогда, когда ныне прогнозируемый период становиться отчетным. Поэтому желательно использовать методы, которые определяют качество прогноза в теперешних условиях или хотя бы сопоставляют качество отдельных прогнозов.

• ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
• МОДЕЛЬ
• ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
• МОДЕЛИРОВАНИЕ
• САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
• ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

В рамках данной статьи мы рассмотрим вопрос об управлении самостоятельной работой студентов бакалавриата в рамках образовательной области «Методы моделирования и прогнозирования экономики», имеющей существенное значение для формирования ключевых и предметных компетенций будущих бакалавров экономики и менеджмента. Представленные материалы для организации самостоятельной работой студентов бакалавриата могут быть использованы в различных формах обучения, а том числе в системе дистанционного обучения.

• Методическая система прикладной математической подготовки будущего экономиста
• Анализ категории «интерпретация» для совершенствования методической системы обучения математике
• Ключевые тенденции в сфере математической подготовки бакалавра экономики и менеджмента
• Методические и организационные особенности практик в образовательных программах по подготовке бакалавров педагогического образования
• Методические особенности проектирования системы прикладной математической подготовки будущего бакалавра экономики и менеджмента

Современная экономическая наука представляет собой многочисленную систему направлений, объединенных центральной проблемой – проблемой рационального выбора , принятия оптимального решения из множества возможных решений . Отметим, что эта проблема не имеет точного решения, т.к. фундаментальным свойством реальной рыночной системы является неопределенность ее выходных характеристик. Действительно, отсутствие достоверной однозначной информации о динамике экономических параметров приводит к многовариантности поведения экономических субъектов, при этом каждый из принципиально возможных вариантов реализуется с определенной вероятностью.

Мы считаем, что при проектировании содержания прикладной математической подготовки бакалавра необходимо уделять особое внимание вероятностным и статистическим моделям. Несомненно, экономическое развитие характеризуется факторами случайности и неопределенности, учет которых необходим при построении исследования математических моделей современных социально-экономических проблем и ситуаций, например .

Таким образом, рыночные процессы принципиально носят вероятностный характер. Неопределенность при этом рождает риск, вознаграждение за который выступает одним из важнейших источников получения прибыли. Как правило, увеличение прибыли сопровождается увеличением рисковых компонентов, сопровождается актуализацией рисков различной природы. С другой стороны, ограничение риска ограничивает и прибыль , что наглядно демонстрируют, в частности, биржевые операции.

Вероятностный характер экономики доказывает необходимость широкого применения методов прикладной математики при расчете экономических показателей, моделировании и прогнозирования экономики. Указанный подход имеет ряд особенностей . Отметим две из них.

С одной стороны, построение математических моделей экономических ситуаций требует предельной конкретизации как исходных данных, так и сделанных допущений, что не всегда представляется возможным.

С другой стороны, математическая формализация может излишне усложнить модель экономической проблемы и ситуации и степень ее реализации. Негативное влияние последнего обстоятельства удается ослабить сравнением выходных параметров модели с опытными данными и их последующей корректировкой.

Спектр используемых в настоящее время математических моделей в экономике достаточно широк и нашел отражение в учебном пособии . Многие из них используются, в частности, при прогнозировании развития социально-экономических систем. В настоящее время активно развиваются экономико-математические модели, допускающие как единственный вариант решения, так и несколько оптимальных решений. Под моделью традиционно понимается специально созданный объект, заменяющий реальный объект в процессе его исследования . Особо актуальным является применение математических методов для решения класса экономических задач, связанных с расчетом и управлением рисками различной природы . С целью управления самостоятельной работой студентов бакалавриата в контексте анализа рисковых ситуаций нами реализован модульный подход к проектированию содержания учебной дисциплины «Теория риска» .

Рисунок 1. Перечень возможностей методов моделирования и прогнозирования экономики, о которых формируются представления в рамках учебной дисциплины.

Различные модели и методы легли в основу разработки содержания учебной дисциплины «Методы моделирования и прогнозирования экономики» для студентов факультета дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. На рис. 1 представим перечень основных возможностей методов моделирования и прогнозирования экономики, о которых формируются представления в рамках обозначенной выше учебной дисциплины. С учетом требований бально-рейтинговой системы оценки результатов обучения бакалавров содержание самостоятельной работы представляет собой последовательность трех блоков, представленных на рис. 2.

Рисунок 2. Последовательность блоков организации самостоятельной работы студентов по учебной дисциплине «Методы моделирования и прогнозирования экономики».

Перейдем к последовательному описанию содержания каждого из блоков.

Блок 1. «Введение в методы моделирования и прогнозирования экономики»

1. В чем состоит центральная проблема современной социально-экономической науки? Каковы пути и перспективы ее решения? Какова роль количественных методов при исследовании этой проблемы.
2. Сформулируйте уровни прикладного использования вычислительных алгоритмов WolframAlpha в исследовании социально-экономических проблем и ситуаций .
3. Сформулируйте определение понятия «Прикладная математика» (математические методы и модели).
4. Назовите типы задач, решаемых методами прикладной математики.
5. Чем обусловлена востребованность применения математических методов в экономике?
6. Охарактеризуйте понятия «Социально-экономическая система», «Метод моделирования», «Метод прогнозирования».
7. Приведите примеры профильных эконометрических исследований, охарактеризуйте возможности базы знаний и набора вычислительных алгоритмов WolframAlpha .
8. Объясните принципы классификации переменных модели на экзогенные, эндогенные, предопределенные.
9. Перечислите и охарактеризуйте этапы исторического развития прикладной математики (математических моделей и методов).
10. Сформулируйте различные определения понятий «Модель» и «Моделирование».
11. Какие этапы включает в себя процесс моделирования? В чем причины широкого распространения метода моделирования экономических систем ?
12. Что означает построить математическую модель социально-экономической проблемы и ситуации ?
13. Охарактеризуйте место моделирования в структуре общего процесса познания.
14. Приведите примеры экономико-математических моделей и обоснуйте их неуниверсальность.
15. Перечислите элементы процесса моделирования и установите роль каждого элемента.
16. В чем проявляется цикличность процесса моделирования при исследовании социально-экономической проблемы и ситуации?

Представленное содержание первого блока адекватно созданной системе технологического целеполагания . Специальные методы моделирования и прогнозирования рассматриваются в рамках специального раздела экономической кибернетики «Исследование операций» . Отметим, что в качестве операции рассматривается некоторое множество действий лица, ответственного за принятие решения, которое направленно на достижение поставленной цели (совокупность целенаправленных действий лица, принимающего решение). Наличие цели в операции подразумевает существование активных участников, которые преследуют эту цель.

С целью выявления таких участников в специальную совокупность рассматривается понятие оперирующей стороны. Другими словами, под оперирующей стороной понимается группа субъектов процесса принятия решений, стремящихся в процессе операции к поставленной социально-экономической цели (например, повышение доходности при фиксированном уровне риска или понижение риска при фиксированном уровне доходности и др.). Перечисленные аспекты могут быть использованы при реализации прикладного усиления математической подготовки будущего учителя математики и информатики .

Кроме того, в операции могут присутствовать и другие действующие лица, которые оказывают влияние на ход операции, но не преследуют цель оперирующей стороны, в частности, они могут стремиться к собственным целям. При изучении операции рассмотрение ведется с позиции оперирующей стороны, а основная задача исследования рассматриваемой социально-экономической проблемы и ситуации заключается в реализации процесса целенаправленного поиска и последовательного сравнения характеристик разнообразных путей достижения цели (например, максимизации дохода от производства, минимизации издержек при транспортировки однородного груза и др.).

Блок 2. «Методы моделирования и прогнозирования экономики»

1. Каковы особенности и сфера применения операционного исследования?
2. Сформулируйте различные определения категорий «Система», «Системный анализ».
3. Перечислите условия эффективного применения количественных методов в экономике?
4. Назовите актуальные проблемы совершенствования экономических измерителей .
5. Охарактеризуйте понятия «Операция», «Оперирующая сторона», «Исследователь операции».
6. В чем заключаются трудности применения математического аппарата в социально-экономической науке?
7. Приведите экономические примеры, иллюстрирующие феномен эмерджентности.
8. Каковы причины неопределенности в финансово-экономической сфере?
9. Назовите основные проблемы моделирования в финансово-экономической сфере.
10. В чем состоит суть математической модели социально-экономической проблемы и ситуации?
11. Приведите примеры дескриптивных и нормативных экономико-математических моделей .
12. Охарактеризуйте основные приемы верификации экономико-математической модели.
13. Раскройте сущность основных проблем эконометрического моделирования.
14. Опишите возможности базы знаний и набора вычислительных алгоритмов WolframAlpha при исследовании проблем и ситуаций, не располагающих к детерминированной трактовке.
15. Приведите примеры экономических ситуаций, приводящих к задачам линейного программирования.
16. Перечислите ограничения линейной производственной модели. Можно ли формализовать эту ситуацию, уменьшив количество ограничений?
17. Что объединяет построенные экономико-математические модели в одну группу?
18. Укажите вид решения каждой задачи, полученных в результате формализации рассмотренных экономических ситуаций.

Блок 3. «Специальные методы моделирования и прогнозирования экономики»

1. Назовите основные типы классификации моделей и причины существования различных классификаций.
2. Как охарактеризовать постановку и решение экономической задачи?
3. В чем состоит специфика экономико-математического моделирования в менеджменте?
4. Сформулируйте определения целевой функции и экстремальной задачи.
5. Какой математический аппарат используется при моделировании и визуализации проблем и ситуаций финансовой сферы ?
6. Дайте характеристику процессу принятия решения в условиях неполноты информации и риска (игре с природой) .
7. Прокомментируйте принципиальную схему для субъективного оценивания при нескольких независимых источниках информации и нескольких экспертах.
8. Перечислите причины возможных ошибок при субъективной оценке экономической ситуации?
9. Перечислите процедуры подготовки экспертизы и обоснуйте их последовательность.
10. Что составляет основу для операционного исследования социально-экономической проблемы и ситуации?
11. Назовите и охарактеризуйте основные этапы поведения эконометрического исследования социально-экономической проблемы и ситуации.
12. Каковы основные этапы применения математических и статистических методов в исследовании социально-экономических проблем и ситуаций?
13. Сформулируйте определения следующих понятий:
    • · «Булевское программирование»;
    • «Выпуклое программирование»;
    • «Динамическое программирование»;
    • «Дискретное программирование» ;
    • «Квадратичное программирование»;
    • «Математическое программирование»;
    • «Целевая функция»;
    • «Симплекс-метод»;
    • «Линия уровня»;
    • «Стохастическое линейное программирование»;
    • «Целочисленное линейное программирование».
14. Что представляет собой предмет теории массового обслуживания?
15. Сформулируйте определение системы и назовите основные ее элементы.
16. Сформулируйте основную теорему теории матричных антагонистических игр.
17. На какие типы подразделяются теоретико-игровые модели?
18. Назовите основные аспекты применения математических методов в решении практических задач.
19. Что ограничивает сферу практического применения метода моделирования?
20. Сформулируйте определение понятия «Прогнозирование».
21. Выделите различные признаки классификации прогнозов и охарактеризуйте их.
22. Как подразделяются методы прогнозирования?

Отметим, что приведенное новое содержание самостоятельной работы студентов бакалавриата в рамках образовательной области «Методы моделирования и прогнозирования экономики» позволяет по новому подойти к информатизации учебного процесса и реализовать идеи, связанные с применением новых информационных технологий и педагогических технологий в системе математической подготовки выпускников, выйти на уровень выделения типовых задач , в полной мере учитывать методические особенности содержания математической подготовки .

Список литературы

1. Асланов Р. М., Муханова А. А., Муханов С. А. Проектирование интерактивных образовательных ресурсов на основе технологий Wolfram CDF // Преподаватель XXI век. – 2016. – Т. 1. – № 1. – С. 96-103.
2. Власов Д. А. Математические модели и методы внутримодельных исследований / Д. А. Власов, Н. В. Монахов, В. М. Монахов; под ред. А. И. Нижникова. Москва, 2007. – 345 с.
3. Власов Д. А. Методологические аспекты принятия решений //Молодой ученый. – 2016. – № 4. – С. 760-763.
4. Власов Д. А. Методологические аспекты реализации технологии Wolframalpha в современных экономических исследованиях // Инновационная наука. – 2016. – № 10-1. – С. 19-21.
5. Власов Д. А. Модель Шарпа как инстументальная основа опмитизации активов // Инновационная наука. – 2016. – № 3-1. – С. 43-45.
6. Власов Д. А. Модульный подход к проектированию содержания учебной дисциплины «Теория риска» // Успехи современной науки и образования. – 2016. – Т. 1. – № 9. – С. 122-124.
7. Власов Д. А. Особенности и математические основы современной экономической кибернетики // Техника. Технологии. Инженерия. – 2016. – № 2 (2). – С. 4-7.
8. Власов Д. А. Особенности реализации доходного подхода к оценке стоимости малого предприятия // Вопросы экономики и управления. 2016. – № 3 (5). – С. 78-81.
9. Власов Д. А. Ретроспективный анализ развития методов и моделей теории игр // Инновационная наука. – 2016. – № 8-1. – С. 42-43.
10. Власов Д. А. Теоретико-игровая модель конкурентной борьбы за рынки сбыта продукции // Вопросы экономики и управления. – 2016. – № 5 (7). – С. 27-29.
11. Власов Д. А. Технология визуализации проблем и ситуаций финансовой сферы // Педагогика высшей школы. – 2016. – № 2 (5). – С. 35-38.
12. Власов Д. А. Формализация конкурентного взаимодействия фирм на рынке сбыта продукции // Инновационная наука. – 2016. – № 10-1. – С. 18-19.
13. Власов Д. А. Целеполагание в системе математической подготовки бакалавра // Социосфера. – 2014. – № 2. – С. 165-169.
14. Власов Д. А. Экономические риски: содержательный и методический аспекты // Инновационная наука. – 2016. – № 8-1. – С. 40-42.
15. Власов Д. А., Синчуков А. В. Технологии Wolframalpha в преподавании учебной дисциплины «эконометрика: базовый уровень» для студентов экономического бакалавриата // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. – 2016. – № 4. – С. 37-47.
16. Власов Д. А., Синчуков А. В. Технологии Wolframalpha в системе подготовки бакалавра экономики (на примере задачи о вероятности попадания случайной величины в заданный интервал) // Молодой ученый. –2015. – № 11. – С. 1298-1301.
17. Власов Д. А., Синчуков А.В. Новое содержание прикладной математической подготовки бакалавра // Преподаватель XXI век. – 2013. – Т. 1. – № 1. – С. 71-79.
18. Данилов, Н.Н. Курс математической экономики / Н.Н.Данилов. – М.: Высшая школа, 2006. – 407 с.
19. Замков О. О. Математические методы в экономике: учебник / О. О. Замков, Ю. А. Черемных, А. В. Толстопятенко. – 2-е изд. – М.: Дело и Сервис, 1999, – 368 с.
20. Исследование операций в экономике / Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 407 с.
21. Количественные методы в экономических исследованиях: Учебник для вузов / М.В. Грачева, Л.Н. Фадеева, Ю.Н. Черемных (ред.). – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 791 с.
22. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций / П. В. Конюховский. – СПб.: Питер, 2001. – 192 с.
23. Коробов П.Н. Математическое программирование и моделирование экономических процессов / П.Н.Коробов. – СПб.: Издательство ДНК, 2006. – 376 с.
24. Красс М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2005, – 464 с.
25. Красс М. С. Математика для экономического бакалаврата: учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М.: Дело, 2005, – 576 с.
26. Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование: Учебник / Е.С.Кундышева. – М.: Дашков и К, 2008. – 424 с.
27. Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие / Ю.П. Маркин. – М.: Высшая школа, 2007. – 422 с.
28. Моделирование экономических процессов: Учебник. / М.В. Грачева, Л.Н. Фадеева, Ю.Н. Черемных (ред.). – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 351 с.
29. Монахов В. М. Введение в теорию педагогических технологий. – Волгоград: Перемена, 2006. – 318 с.
30. Монахов В. М., Ярыгин А. Н., Коростелев А. А. Педагогические объекты. Педагогическое проектирование. Know How технологии. – Тольятти: Волжский университет имени В.Н. Татищева. – 38 с.
31. Муханов С. А. Применение информационных технологий при преподавании математики студентам гуманитарных специальностей // Педагогическая информатика. – 2006. – № 1. – С. 60-62.
32. Муханов С. А. Проектирование общедоступных интерактивных образовательных ресурсов с использованием технологий Wolfram CDF // Приволжский научный вестник. - 2015. - № 11 (51). - С. 112-115.
33. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. / И.В. Орлова, В.А. Половников. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.
34. Пантина И. В., Синчуков А. В. Вычислительная математика – Московский финансово- промышленный университет «Синергия». - 2012. - 176 с.
35. Решение экономических задач на компьютере / А.В.Каплан, В.Е.Каплан, М.В.Мащенко, Е.В.Овечкина. – СПб.: Питер, 2004. – 600 с.
36. Синчуков А. В. Анализ перспективных направлений модернизации математической подготовки бакалавра // Инновационная наука. – 2016. – № 10-1. – С. 118-119.
37. Синчуков А. В. Дидактическая роль коммерческих и финансовых рисков в совершенствовании уровня прикладной математической подготовки бакалавра // Инновационная наука. – 2016. – № 8-2. – С. 182-184.
38. Синчуков А. В. Математическая подготовка современного учителя математики и информатики // Инновационная наука. – 2016. – № 11-1. – С. 173-175.
39. Синчуков А. В. Методические особенности учебного модуля «Дифференциальные уравнения» в системе математической подготовки бакалавра экономики // Инновационная наука. – 2016. – № 8-2. – С. 181-182.
40. Синчуков А. В. О необходимости построения и исследования математических моделей в системе подготовки бакалавра менеджмента / В сборнике: WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS. – Сборник статей победителей V международной научно-практической конференции. – 2016. – С. 402-404.
41. Синчуков А. В. Особенности применения имитационного моделирования в системе подготовки бакалавров экономики // Инновационная наука. – 2016. –№ 11-1. – С. 175-176.
42. Синчуков А. В. Проблемы реализации прикладной направленности обучения математике с использованием информационных технологий // Инновационная наука. – 2016. – № 10-1. – С. 116-118.
43. Синчуков А. В. Роль учебной темы «Игры с природой» в прикладной математической подготовке бакалавра экономики / В сборнике: WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS. – Сборник статей IV Международной научно-практической конференции. МЦНС «Наука и Просвещение». 2016. С. 194-196.
44. Синчуков А. В. Современнная классификация математических моделей // Инновационная наука. – 2016. – № 3-1. – С. 214-215.
45. Синчуков А. В.. – 2016. – Т. 2. – № 54. – С. 290-293.
46. Синчуков А. В. Технологическое проектирование содержания математической подготовки бакалавра менеджмента // Молодой ученый. – 2016. – № 20 (124). – С. 730-732.
47. Синчуков А. В. Типовые задачи учебной дисциплины «Математический анализ»: технологический подход / В сборнике: Психология и педагогика: актуальные вопросы, достижения и инновации. – Cборник статей II Международной научно-практической конференции. под общей редакцией Г.Ю. Гуляева. – 2016. – С. 143-145.
48. Тихомиров Н. П., Тихомирова Т. М. Риск-анализ в экономике. – М.: Экономика, 2010. - 317 с.
49. Хачатрян, Н.К. Математическое моделирование экономических систем / Н.К. Хачатрян. – М.: Экзамен, 2008. – 158 с.
50. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / С.И.Макаров (ред.). – М.: Кнорус, 2009. – 240 с.

Объём учебной дисциплины Лекции 40 час. Практические занятия 40 час. Рубежный контроль 3 модуля Выходной контроль экзамен

Учебная литература (основная) 1. 2. 3. 4. Попов А. М. , Экономико математические методы и модели: учебник для бакалавров/А. М. Попов, В. Н. Сотников; под ред. проф. А. М. Попова. – М. : Юрайт, 2011. – 479 с. Власов М. П. , Шимко П. Д. Моделирование экономических систем и процессов: учеб. Пособие. – М. : ИНФРА М, 2013. – 336 с. Экономико математические методы и прикладные модели: учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И. В. Орлова и др. ; под ред. В. В. Федосеева. – 2 еизд. , перераб и доп. – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2005. – 304 с. Васильева Л. Н. , Деева Е. А. Моделирование микроэкономических процессов и систем: учебник. – М. : Кно. Рус, 2012. – 392 с.

Дополнительная учебная литература 1. 2. 3. 4. Орлова И. В. , Половников В. А. экономико математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие, 3 е изд. , перераб. и доп. – М. : НИЦИНФРА М, 2013. – 389 с. Моделирование систем: учебник для бакалавров /Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. – М. : Юрайт, 2012. – 343 с. Моделирование экономических процессов: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / М. Г. Грачёва, Л. Н. Фадеева, Ю. Н. Черемных. – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2005. – 351 с. Колемаев В. А. Экономико математическое моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник. – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2005. – 295 с.

Лекция 1 Предмет и задачи курса «Методы математического моделирования и прогнозирования экономики» 1. 2. 3. 4. 5. Значение моделирования и прогнозирования в решении производственно-экономических проблем Понятие о модели и математическом моделировании Классификация экономико-математических моделей Этапы моделирования Приёмы математического моделирования производственно-экономических процессов

1. Значение моделирования и прогнозирования в решении производственно-экономических проблем Математическое моделирование – это прикладная наука о методах формализации экономических процессов и явлений. Предметом курса является количественная характеристика экономических процессов и явлений, изучение их взаимосвязей при развитии экономической системы.

1. Значение моделирования и прогнозирования в решении производственно-экономических проблем Основными направлениями моделирования являются: Оценка состояния экономического объекта; Прогнозирование состояния экономического объекта и внешней среды, в которой он находится; Планирование состояния экономического объекта. Прогнозирование – это определение предполагаемой деятельности экономического объекта в будущем. Экономический прогноз опирается на информацию о состоянии объекта и внешней среды и предполагаемом их изменении. Таким образом, прогноз – это предсказание, опирающееся на научную основу, на анализ имеющихся данных.

1. Значение моделирования и прогнозирования в решении производственно-экономических проблем Основным содержанием техники разработки прогнозов является составление сценариев. Сценарий представляет собой совокупность предположений и гипотез, на основе которых формируются варианты прогноза. Гипотеза – это предположение, требующее научного доказательства. Проверка гипотез осуществляется тремя способами: –Статистическое наблюдение и изучение процессов, происходящих в экономике. –Проверка с помощью специально поставленного экономического эксперимента. –Проигрывание модели на компьютере, т. е. машинная имитация.

2. Понятие о модели и математическом моделировании Под моделированием в широком смысле подразумевается воспроизведение, имитация реально существующей системы на специально построенном аналоге или модели. Модель - это упрощенное подобие исследуемой системы. Она может быть материальной физической или абстрактной математической. Материальная модель воспроизводит реальный объект с сохранением геометрического сходства и физической природы. Это модель самолёта, корабля, моста, здания.

2. Понятие о модели и математическом моделировании Математическая модель представляет собой систему математических выражений, описывающих характеристики объектов моделирования и взаимосвязи между ними. По акад. B. C. Немчинову «Экономико математическая модель представляет собой концентрированное выражение в математической форме общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления» .

2. Понятие о модели и математическом моделировании Особую роль в экономико математическом моделировании играет вычислительная техника. Компьютер позволяет ускорить процесс решения экономико математических задач. Однако надо помнить, что принимает решение не компьютер, а человек. Менеджер должен анализировать полученные на компьютере результаты решения, вносить изменения в модель, чтобы получить не только оптимальные с математической точки зрения результаты, но и приемлемые в экономическом отношении.

3. Классификация экономико-математических моделей В экономике широко используются разнообразные типы моделей, выделяющиеся по разным признакам. По общему целевому назначению экономико математические модели делятся на теоретико аналитические и прикладные. Теоретикоаналитические используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов. Прикладные модели применяются для решения конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.

3. Классификация экономико-математических моделей По степени агрегирования объектов моделирования модели подразделяются на макроэкономические и микроэкономические. К макроэкономическим относятся модели, отражающие функционирование экономики как единого целого. Микроэкономические модели разрабатываются для отдельных звеньев экономики, таких как предприятии, фирмы.

3. Классификация экономико-математических моделей По конкретному предназначению выделяют балансовые модели, трендовые, оптимизационные и имитационные. Балансовые отражают требование соответствия наличия ресурсов и их использования. В трендовых моделях развитие моделируемой экономической системы анализируется с помощью тренда её основных показателей. Оптимизационные модели предназначены для выбора наилучшего варианта развития явления. Имитационные модели используют машинную имитацию изучаемых систем или процессов.

3. Классификация экономико-математических моделей По учёту фактора времени модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту временит. Динамические описывают экономические системы в развитии.

3. Классификация экономико-математических моделей По учёту фактора неопределённости выделяют детерминированные и стохастические модели. В детерминированных моделях результаты однозначно определяются управляющими воздействиями. В стохастических (вероятностных) моделях результат зависит от действия случайного фактора.

3. Классификация экономико-математических моделей По типу математического аппарата различают матричные модели линейного и нелинейного программирования, эконометрические (корреляционно регрессионные)модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр.

4. Этапы моделирования При построении экономико математической модели вначале конструируется модель с помощью символов. Она называется математической или структурной. Когда математическая модель заполняется конкретным содержанием и записывается в виде таблицы, она называется развернутой или числовой экономико математической моделью.

4. Этапы моделирования Разработка экономико математической модели включает в себя следующие этапы: 1. Постановка задачи, выбор критерия оптимальности, перечня переменных и ограничений 2. Построение структурной (математической) модели 3. Подготовка входной информации 4. Построение числовой (развернутой) экономико математической модели и запись ее в виде матрицы 5. Решение задачи на ЭВМ, корректировка модели и решение задачи по скорректированной модели 6. Анализ окончательных результатов решения и выбор проекта развития экономического явления

4. Этапы моделирования Постановка задачи осуществляется вербальным (словесным) способом. Здесь даётся описание моделируемого объекта, ставится цель, выбирается критерий оптимальности, состав переменных и ограничений. Цель решения задачи выражается конкретным показателем, называемым критерием оптимальности. Поскольку задача имеет множество решений, критерий оптимальности позволяет выбрать наилучший вариант. Выбор наилучшего (оптимального) варианта обеспечивается экстремальным значением критерия оптимальности (крайнее максимальное и минимальное). В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны максимум прибыли, чистого дохода, валовой или товарной продукции, минимум трудовых или материально денежных затрат, минимум пашни на производство продукции и др. Иногда задача последовательно решается на несколько критериев оптимальности.

4. Этапы моделирования Определение перечня переменных и ограничений Базовая экономико математическая модель включает в себя следующие элементы: Переменные (неизвестные); Ограничения (условия); технико экономические коэффициенты при переменных и ограничениях; оценки целевой функции при переменных; объемы ограничений (константы).

4. Этапы моделирования Переменные это неизвестные величины, которые должны быть найдены в процессе решения задачи. Перечень переменных должен отражать основное содержание моделируемого экономического процесса. Например, при моделировании производственной структуры сельскохозяйственных предприятий в качестве переменных выступают неизвестные размеры отраслей посевные площади сельскохозяйственных культур, поголовье скота по видам и половозрастным группам и т. д.

4. Этапы моделирования По экономической роли в моделируемом процессе переменные делятся на основные и вспомогательные. Основные переменные определяют основное содержание моделируемого процесса, виды или способы деятельности, размеры которых требуется определить. Вспомогательные переменные применяются для облегчения математической формулировки условий, определения расчетных величин (объемов производства, показателей эффективности и т. д.). При математической реализации задач для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные. Вспомогательные и дополнительные переменные всегда имеют единичные коэффициенты (+1 или 1).

4. Этапы моделирования Ограничения модели характеризуют условия реализации задачи. Они представляются в виде линейных уравнений и неравенств и отражают организационно экономические и технологические условия и требования, характеризующие данное производство. От их состава и содержания в значительной степени зависит приемлемость результатов решения. Ограничения записываются тремя типами линейных соотношений: меньше или равно = и равно =.

4. Этапы моделирования По своей роли в модели ограничения подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные. Основные ограничения выражают главные, наиболее существенные условия задачи. К основным относятся ограничения по использованию производственных ресурсов. Они накладываются на все или большинство переменных модели. Дополнительные ограничения накладываются на часть переменных или на одну переменную. Они вводятся в тех случаях, когда необходимо ограничить сверху или снизу размеры отдельных переменных. Вспомогательные ограничения вводятся в модель для формализации отдельных условий. К ним относят ограничения, устанавливающие пропорциональную связь между переменными и их группами.

4. Этапы моделирования Технико-экономические коэффициенты при переменных в системе ограничений выражают нормы затрат производственных ресурсов или выхода продукции в расчете на единицу измерения переменной величины. В отдельных случаях в качестве технико экономических коэффициентов выступают коэффициенты пропорциональности, например, доля сельскохозяйственных культур в севообороте, доля какого либо корма в кормовом рационе и т. д.

4. Этапы моделирования Оценки переменных в целевой функции определяются характером критерия оптимальности. Они выражают величину критерия оптимальности в расчете на единицу измерения переменных. Чаще всего они представляются в стоимостной форме прибыль, чистый доход, материально денежные затраты и др. на 1 га посева, 1 голову скота, I кг или 1 ц корма и т. д.

4. Этапы моделирования В правой части ограничений записываются объемы ограничений. Эти объемные показатели ограничений могут быть представлены по верхней или нижней границе, а иногда на фиксированном уровне. Например: х1+х2+х3+. . . +х18=7500 18 х1+10 х2+12 х3>30000 х1+х2

4. Этапы моделирования 2. Построение структурной (математической) модели Экономико математическую модель можно записать в виде системы уравнений и неравенств. Однако при большом количестве переменных и неравенств такая запись окажется громоздкой, что ухудшает ее обозримость и затрудняет чтение. Поэтому для более компактной записи используют систему условных обозначений.

4. Этапы моделирования Для обозначения переменных величин чаще всего употребляется строчная или прописная латинская буква х, X. Переменные нумеруются, номер записывается в виде подстрочного индекса переменной: х1, х2, xj. . . хn. Общее обозначение номеров переменных j, т. е. xj означает, что в модели несколько переменных с номерами j= 1, 2, 3, . . . , n. Символ n это порядковый номер последней переменной (и одновременно общее их число в модели); общий вид записи хj Є А, где А множество переменных.

4. Этапы моделирования Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D, E, I, J, M, N и др. , которые могут иметь цифровые индексы. Для обозначения правых частей, т. е. объемов ограничений, чаще всего используют латинскую букву b, В. Порядковые номера ограничений обозначаются индексом i, а количество ограничений буквой m (i=l, 2, 3. . . m). В общем виде константа записывается так: bi Є M), где М множество, включающее номера ограничений от 1 до m.

4. Этапы моделирования Технико-экономические коэффициенты удельных затрат ресурсов чаще всего обозначаются строчной латинской буквой аij, где i номер ограничения, j номер переменной. Коэффициенты, означающие выход продукции, имеют символ vjj. Коэффициенты пропорциональности, с помощью которых записывают соотношения между переменными, обозначаются символом Wij, . Коэффициенты-связки, отражающие связь между значением переменной величины и константой, обозначаются греческой буквой λij. Коэффициенты при переменных в целевой функции обозначаются латинской строчной буквой сj, . Индекс при коэффициенте показывает его принадлежность к j й переменной.

4. Этапы моделирования Для записи ограничений модели применяются знаки арифметических действий +, знаки отношений =, а также знак суммирования Σ. Например, ограничение по использованию производственных ресурсов a 11 х1+a 12 х2+a 13 х3+. . . +a 18 х8

4. Этапы моделирования Структурная запись модели должна сопровождаться пояснениями условных обозначений. Так, пояснения к предыдущей записи ограничения по использованию производственных ресурсов могут быть следующие: где j индекс переменной; Аj множество переменных; i индекс (номер) ограничения; I множество ограничений по использованию производственных ресурсов; xj искомый размер j й переменной; bi константы, обозначающие заданный объем i ro производственного ресурса; аij технико экономический коэффициент, отражающий удельные затраты i го производственного ресурса в расчете на единицу j й переменной.

4. Этапы моделирования Условия по соотношениям между переменными, в которых используются коэффициенты пропорциональности, записываются так (например, удельный вес озимых в общей площади сельскохозяйственных. культур): где Аj множество переменных, обозначающих площади посева сельскохозяйственных. культур; 14 множество ограничений по соотношению посевных площадей сельскохозяйственных. культур; Wj коэффициенты пропорциональности, отражающие удельный вес ограничиваемых культур в общей посевной площади.

4. Этапы моделирования Переменные могут быть связаны с объемом ограничений (констант) с помощью коэффициента связки: λij коэффициент связка. Например, условие: площадь озимой пшеницы не должна превышать 1000 га запишется так: х1

4. Этапы моделирования Целевую функцию можно записать так: где cj коэффициент целевой функции, выражающий критерий оптимальности на единицу j й переменной.

4. Этапы моделирования 3. Подготовка входной информации Чтобы построить числовую экономико математическую модель, необходимо подготовить входную информацию: обосновать технико экономические коэффициенты, оценки целевой функции, объемы ограничений. Характер входной информации определяется поставленной задачей. Если она дается на перспективу, то применяется прогнозная и нормативная информация, если на текущий период, то отчетная и нормативная.

4. Этапы моделирования Для прогнозирования входной информации чаще всего используются методы: экстраполяции; экономико статистическое моделирование; экспертных оценок. Основным содержанием этого этапа является расчёт технико экономических коэффициентов.

4. Этапы моделирования 4 -й этап – построение числовой (развёрнутой) экономикоматематической модели и запись её в виде матрицы После того как рассчитаны ТЭК, оценки целевой функции и обоснованы константы (объёмы ограничений), приступают к построению развёрнутой (числовой) модели. При этом вначале записывают все ограничения в виде линейных уравнений и неравенств, а затем составляют матрицу. Ограничения в виде линейных неравенств и уравнений могут быть записаны тремя типами соотношений: 1)сверху, 2)снизу и 3)жёсткое равенство

4. Этапы моделирования 1. Сумма произведений переменных величин на технико экономические коэффициенты может быть равной константе или меньше её: a 11 х1+а 12 х2+a 13 х3+. . . +a 1 nхn=b 2 Это ограничение снизу. 3. Сумма произведений переменных на ТЭК равна константе. Пример: а 31 x 1+а 32 x 2+а 33 x 3=b 3 Это ограничение - жесткое равенство.

4. Этапы моделирования Например, система линейных уравнений и неравенств может быть записана так: х1+х2+х3+х4+х5 +х6+х7 = 0 х1 + х2 + х3 + х4 + х5 –х6 = 0 f(x) = c 1 x 2 + с2 х2 +. . . + cnxn

4. Этапы моделирования Для удобства решения числовая экономико математическая модель записывается в виде матрицы – таблицы, строками которой являются ограничения, столбцами – переменные. На пересечении строк и столбцов фиксируются технико экономические коэффициенты. Отводятся столбцы для типа и объёма ограничений.

Таблица 1 Схема матричной записи экономико математической модели Ограничения Единица измерения Тип ограни чений Переменные Объем ограни чений х1 х2 х3 … xn 1. a 11 a 12 a 13 … a 1 n = b 2 a 31 a 32 a 33 … a 3 n = b 3 … … … … m am 1 am 2 am 3 … amn

4. Этапы моделирования 5. Решение задачи на ЭВМ, корректировка модели и решение задачи по скорректированной модели Подготовленная в виде матрицы экономико математическая задача вводится в компьютер и решается на ЭВМ. Для решения задач линейного программирования разработано ряд прикладных программ, например, программа Simple. Задачу можно решить также с помощью электронных таблиц Excel.

4. Этапы моделирования Компьютер распечатывает результаты решения с вычисленными в процессе решения значениями переменных, а также с объективно обусловленными оценками (двойственными оценками). Результаты решения должны быть оценены на предмет их приемлемости. ЭВМ выдаёт оптимальный вариант решения задачи с математической точки зрения, т. е. при достижении максимального или минимального значения критерия оптимальности и выполнения всех условий. Однако с экономической точки зрения решение может быть неприемлемым. Поэтому оно должно подвергнуться тщательному анализу. При обнаружении значений переменных, которые неприемлемы, экономико математическая модель корректируется: изменяются ТЭК, заменяются ограничения или вводятся новые.

4. Этапы моделирования 6. Анализ окончательных результатов решения и выбор проекта развития экономического явления Скорректированная модель вновь решается на компьютере. Результаты решения по скорректированной модели анализируются. Составляются таблицы с основными значениями переменных. Возможно решение по нескольким вариантам, в этом случае анализ позволяет выбрать лучший вариант.

Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков. Прогнозирование экономических и социальных процессов с использованием моделей включает разработку модели, ее экспери ментальный анализ, сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса, корректировку и уточнение модели.

В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы).

По аспектам развития экономики выделяют модели прогнозирования воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, цен и др. Существует ряд других признаков классификации моделей: временной, факторный, транспортный, производственный.

В современных условиях в республике развитию моделирования и практическому применению моделей стала придаваться особая значимость в связи с усилением роли прогнозирования и переходом к индикативному планированию.

Рассмотрим некоторые из наиболее разработанных экономико-математических моделей, получивших широкое применение в практике прогнозирования экономики за рубежом (особенно в США) и используемых (эпизодически) в странах СНГ.

Матричные модели. К ним относятся модели межотраслевого баланса (МОБ): статические и динамические. Первые предназначены для проведения прогнозных макроэкономических расчетов на краткосрочный период (год, квартал, месяц), вторые - для расчетов развития экономики страны на перспективу. Они отражают процесс воспроизводства в динамике и обеспечивают увязку прогноза производства продукции (услуг) с инвестициями.

Статическая модель МОБ в системе баланса народного хозяйства имеет

X aijXj + Yi = Xi, (i =1,n), (4.2)

где aij - коэффициенты прямых затрат (среднеотраслевые нормативы расхода продукции отрасли i, используемой в качестве средств производства для выпуска единицы продукции отрасли j); Xj - объем производства продукции j-й отрасли-потребителя (j = 1,n); Xi - валовое производство продукции (услуг) і-й отрасли-производителя (i = 1,n); Yi - объем конечного продукта і-й отрасли- производителя.

Выражение X aijxj характеризует межотраслевые потоки и в целом про- j=1

межуточный продукт; X Yi - конечный продукт; X Xi - валовой обществен-

ный продукт.

Упрощенная динамическая модель имеет вид

X" = ?a;‘x‘ + Y* +1ij (i = 1,n),

где t - индекс года; і" - продукция отрасли i, направляемая в качестве производственных инвестиций в t-м году для расширения производства в отрасль j; Y" - объем конечного продукта i-й отрасли в t-м году за исключением продукции, направляемой на расширение производства.

При переходе к системе национальных счетов (СНС) модели межотрасле-

вого баланса претерпевают некоторые изменения. Выражение X aijxj характе-

ризует промежуточное потребление в сферах материального производства и нематериальных услуг; Yi - конечное использование валового национального продукта (ВНП) по i-й отрасли, включающее конечное потребление (потребление домашних хозяйств и государственные расходы), валовое накопление и экспорт; ХІ - валовой выпуск i-й отрасли.

Сформированный на основе моделей межотраслевой баланс может использоваться для решения многих задач: прогнозирования макроэкономических показателей, межотраслевых связей и потоков (поставок), структуры экономики, отраслевых издержек, динамики цен, показателей эффективности производства (материалоемкости, энергоемкости, металлоемкости, химикоемкости, фондоемкости).

Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев. Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание экономического процесса. Модель состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом - значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности. Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств. На макроуровне критерием оптимальности является максимум валового национального продукта. На микроуровне в качестве критерия оптимальности могут быть использованы экстремумы показателей: максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции (услуг) и др.

Общий вид модели но расчету оптимального варианта производства продукции:

Целевая функция f(x) = Е jijxj ® ext, (i =1,m)

Система ограничений ЕagjXj ? Ag,(g = 1,G), (4.5)

tkixj ?фк,(к = 1,KX (4.6)

Qj ? xj ? Qj, (4.7)

где фу - значение /-го показателя па единицу j-го вида продукции а% - норма расхода g-го вида сырья на производство единицы j-го вида продукции; х} - искомое количество j-го вида продукции; Ag - имеющийся фонд g-го вида сырья;

tkj - затраты времени па k-м виде оборудования для производства единицы j-го вида продукции; Фк - действительный фонд времени работы k-го вида оборудования.

Qj,Q j - нижний и верхний пределы выпуска j-го вида продукции. Ниж

ний предел устанавливается с учетом заданий на поставку продукции для государственных нужд, верхний - с учетом спроса на продукцию.

На макроуровне расчеты производятся в агрегированном виде. Система ограничений претерпевает некоторые изменения. В частности, вместо ограничения по фонду времени работы оборудования вводятся ограничения по фондоемкости или производственной мощности (на отраслевом уровне), развернутый ассортимент (конкретные виды продукции) заменяется на групповой.

Следует отметить, что, несмотря на многообразие разработанных моделей и наличие пакетов программ для проведения многовариантных расчетов, оптимизационные задачи в республике носят, как правило, экспериментальный характер. Главные причины, сдерживающие их внедрение в практику прогнозных и плановых расчетов как на макро-, так и на микроуровне: а) неадекватность разрабатываемых моделей реальным экономическим процессам; б) отсутствие специалистов-практиков, хорошо владеющих моделированием экономических и социальных процессов и методами оптимизации; г) проблема информационного обеспечения.

Экономико-статистические модели. Они используются для установления количественной характеристики связи, зависимости и взаимообусловленности экономических показателей. Система такого рода моделей включает: однофакторные, многофакторные и эконометрические модели. Примеры однофакторных моделей:

у = а + Ьх; у = а + b/х; у = а + b lg x и др.,

где у - значение прогнозируемого показателя; а - свободный член, определяющий положение начальной точки линии регрессии в системе координат; х - значение фактора; параметр b характеризует норму изменения у на единицу х.

Многофакторные модели позволяют одновременно учитывать воздействие нескольких факторов на уровень прогнозируемого показателя. При этом последний выступает как функция от факторов:

у = f(X1, Х2, Х3..., Xn)

где Xi, X2, X3..., Xn - факторы.

При линейной зависимости многофакторные модели могут быть представлены следующим уравнением:

у = а0 + а1 X1 + а2 X2 +. + ... + апхп,

где ао - свободный член; аі, а2, ..., а„ - коэффициенты регрессии показывающие степень влияния соответствующего фактора на прогнозируемый показатель при фиксированном значении остальных факторов.

При нелинейной зависимости многофакторная модель может иметь вид

y = a x^ X22 *... * Xnn.

Многофакторные модели используются при прогнозировании макроэкономических показателей, спроса па продукцию, себестоимости, цен, прибыли и других показателей.

Эконометрической моделью называют систему регрессионных уравнений и тождеств, описывающих взаимосвязи и зависимости основных показателей развития экономики.

Система экономико-математических моделей эконометрического типа служит для описания сложных социально-экономических процессов. Факторы (переменные) эконометрической модели подразделяются на экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние). Экзогенные переменные выбираются так, чтобы они оказывали влияние на моделируемую систему, а сами ее влиянию не подвергались. Они могут вводиться в модель на основе экспертных оценок. Э н д о г е н и ы е переменные определяются путем решения стохастических и тождественных уравнений. Для каждой эндогенной переменной методом наименьших квадратов оценивается несколько вариантов регрессионных уравнений и выбирается лучший для включения в модель. Например, инвестиции производственного назначения зависят от суммы прибыли (эндогенный фактор), индекса цен на инвестиционные товары (экзогенный фактор). Органичной частью эконометрической модели может быть и межотраслевой баланс. Обычно количество уравнений модели равно количеству эндогенных переменных.

Эконометрические модели позволяют прогнозировать широкий круг показателей (ВНП, доходы населения, потребление товаров и услуг и др.). В условиях автоматизации расчетов создается возможность разработки альтернативных вариантов развития экономики с учетом изменений внешних и внутренних условий (факторов). Следует отметить, что использование эконометрических моделей требует создание банков данных и высококвалифицированных специалистов по разработке и реализации этих моделей.

Имитационные модели. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе Результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами. Имитационные модели позволяют воспроизвести реальные процессы и предвидеть результаты различных действий. Например, имитационную модель оптимизационного процесса можно представить как систематическое изменение значений управляемых переменных с последующим получением результатов прогноза и их анализа.

Модели принятия решений основываются на теории игр. Они применяются в условиях неопределенности или ситуациях, когда интересы сторон не совпадают. Каждая из сторон принимает такие решения, т.е. выбирает такую стратегию действий, которая с их точки зрения обеспечивает наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Причем каждой из сторон ясно, что результат зависит не только от своих действий, но и от действий партнеров. Например, противоборство конкурентов в процессе борьбы за рынок сбыта конкретного вида продукции.

Модели сетевого планирования применяются с целью сокращения сроков выполнения сложных проектов и других работ и оптимального использования предназначенных для этого ресурсов.

Термин "сетевое планирование" приобретает в последнее время большую популярность. С помощью сетевых методов основные идеи наглядно иллюстрируются графически.

Основой сетевого планирования служит изображение комплекса взаимосвязанных работ в виде графа, обычно именуемого сетевым графиком, стрелочной диаграммой, логической сетью или сетевой моделью. В сетевом графике отражается последовательность этапов, необходимых для достижения заранее поставленной цели.

Примером сетевых методов планирования является метод ПЕРТ-время, ПЕРТ-затраты.

Экономико-математические модели могут быть реализованы с помощью экономико-математических методов (ЭММ). ЭММ представляют собой способы (приемы) расчетов экономических показателей с применением методов прикладной математики и математической статистики. С помощью ЭММ создается возможность всестороннего обоснования изменения экономических показателей. Они позволяют повысить качество прогнозов, осуществлять многовариантные оптимизационные расчеты.

Среди важнейших экономико-математических методов, используемых в прогнозировании и планировании экономических и социальных процессов как в нашей стране, так и за рубежом, следует выделить: метод межотраслевого баланса, методы оптимизации (симплекс-метод и др.), корреляционно-регрессионный метод.

Метод межотраслевого баланса базируется на принципах разработки межотраслевого баланса, которые были обоснованы специалистами бывшего СССР и развиты за рубежом (В. Леонтьевым в США). Использование метода на основе модели межотраслевого баланса позволяет осуществлять прогнозирование развития экономики и ее отраслевой структуры, исходя из конечных потребностей (конечного использования ВНП).

Процесс разработки межотраслевого баланса подразделяется па ряд последовательных этапов: 1) определение объема и отраслевой структуры конечного продукта (конечного использования ВНП) в прогнозируемом периоде; 2) разработка коэффициентов прямых материальных затрат но каждой отрасли па прогнозируемый период; 3) расчет коэффициентов полных затрат па производство единицы конечного продукта (конечного использования ВНП); 4) определение прогнозируемых объемов производства продукции по каждой отрасли, исходя из коэффициентов полных затрат и намечаемых объемов конечного продукта (конечного использования ВНП); 5) формирование структуры выпуска продукции с выделением промежуточного потребления и конечного использования по каждой отрасли. В математической форме межотраслевой баланс представляет собой

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + Y1 = Xb a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + Y2 = X2=>

an1X1 + an2X2 + ... + annxn + Yn Xn1,

Для решения системы уравнений составляется матрица коэффициентов прямых затрат. Путем математических преобразований формируется матрица коэффициентов полных затрат. Расчет производится на ЭВМ с помощью специальной программы обращения матрицы. Путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат на матрицу (вектор) Y конечного продукта (конечного использования ВНП) рассчитывается объем производства продукции (услуг) по каждой отрасли.

Затем на основе представленной выше системы уравнений производится расчет межотраслевых поставок, в целом промежуточного продукта и формируется таблица межотраслевого баланса, адекватная модели МОБ.

В настоящее время проводятся исследования по совершенствованию методики разработки прогнозного межотраслевого баланса в системе национальных счетов.

К методам оптимизации относятся линейное программирование (симплекс-метод) и целочисленное программирование. С помощью методов опти мизации создается возможность выбора оптимального варианта использования ресурсов и удовлетворения потребностей в продукции, размещения производительных сил, рационального прикрепления поставщиков к потребителям и решать другие задачи.

Оптимизационные расчеты осуществляются на основе разработанных экономико-математических моделей и исходной информации с использованием специальных пакетов программ и ЭВМ. Программно формируется матрица, в которой отражаются коэффициенты затрат, тип ограничений и вектор ограничений, а также коэффициенты целевой функции. С помощью методов оптимизации производится расчет, в процессе которого осуществляется выбор оптимального варианта в соответствии с целевой функцией в рамках Установленных ограничений.

Результаты оптимизационных расчетов носят рекомендательный характер. Можно проводить множество расчетов, изменяя ограничения по ресурсам, спросу на продукцию в связи с изменяющимися условиями. Желаемых результатов можно достичь путем работы с ПЭВМ в диалоговом режиме.

Сущность корреляционно-регрессионного метода заключается в определении зависимости показателя от различных факторов. Этот метод предполагает установление наличия корреляционной связи между прогнозируемым показателем и влияющими па него факторами, определение формы связи, формирование уравнения и осуществление прогноза на его основе. Форма связи характеризует изменение значений одного признака от изменения другого. Она может быть линейной и нелинейной, соответственно выражается уравнениями, рассмотренными в предшествующих параграфах главы. Одновременно с установлением формы связи определяется теснота связи, которую характеризует коэффициент корреляции (R). 4.5.

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование: учебное пособие

Представляем книгу эксперта по банковским рискам Ю.Н. Полянского "Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование". Книга написана в виде учебного пособия в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта, в ней рассмотрены типовые практические задачи, подкрепленные примерами решений в MS Excel. Книга публикуется впервые и только на данном сайте.
Ввиду обилия математических формул книга публикуется в PDF-формате.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов и слушателей, обучающихся на экономических специальностях по всем формам обучения. В пособии рассмотрены общие теоретические основы дисциплины «Эконометрика» согласно требованиям Государственного образовательного стандарта. Для более успешного освоения и закрепления материала в пособии подробно рассмотрен процесс решения типовых практических задач. Для подготовки к экзамену (зачету) приведены тестовые вопросы с возможными вариантами ответов.

ВВЕДЕНИЕ	6
ГЛАВА 1. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
1.1. Теоретические сведения	13
1.2. Практические задания
ГЛАВА 2. ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
2.1. Теоретические сведения	43
2.2. Практические задания	49
ГЛАВА 3. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
3.1. Теоретические сведения	60
3.2. Практические задания	65
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
4.1. Теоретические сведения	78
4.2. Практические задания	85
ГЛАВА 5. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
5.1. Теоретические сведения	105
5.2. Практические задания	113
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
6.1. Теоретические сведения	130
6.2. Практические задания	137
МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ	148
ТЕСТЫ ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»	156
ЛИТЕРАТУРА	188

Предисловие

Эконометрика (или иначе – эконометрия ) как самостоятельная наука развивается сравнительно недавно - с начала XX века. Ее зарождение и интенсивное развитие связано, прежде всего с необходимостью количественного измерения общих качественных зависимостей, выявленных и обоснованных экономической теорией. Не случайно само ее название состоит из слов "экономика" и "метрика".

Эконометрика возникла на стыке трех наук: математики, экономической теории и статистики. Первоначальные попытки количественных исследований в экономике предпринимались учеными-экономистами разных стран, начиная с XVII века (В. Петти, Г. Кинг, Ч. Давенант, Дж.Э. Юл, Г. Хукер и др.). Сам термин "эконометрика" (вернее "эконометрия") ввел П. Цьемпа (Австро-Венгрия) в 1910 году. Более серьезную научную проработку эконометрика получила в 1930-50-е годы в работах Р. Фриша, Ч. Руса, Й. Шумпетера, Я. Тинберга, О. Андерсона и др. Свидетельствами общего признания эконометрики стали присуждения Нобелевской премии в 1969 году эконометристам Р. Фришу и Я. Тинбергу, в 1980 году – Л. Клейну, в 1989 году – Т. Хаавельмо, в 2000 году – Дж. Хекману и Д. Макфаддену.

Ее развитие как самостоятельной науки неразрывно связано с научными и практическими успехами в других науках. Конечно, грани между экономической теорией, математической экономикой, математической статистикой, экономической статистикой и эконометрикой не очень четкие.

Экономическая теория , опираясь на знание основных экономических тенденций и законов, дает качественные, обобщенные результаты, которые эконометрика уточняет, сводит к конкретным практическим количественным показателям, критериям.
Математическая экономика выражает известные экономические законы в виде формул и соотношений, которые эконометрика экспериментально проверяет, уточняет и дает рекомендации по их практическому применению.
Математическая статистика дает общий математический аппарат для изучения случайных явлений и процессов, который эконометрика уточняет применительно к экономике, рассматривает с практической точки зрения.
Экономическая статистика , дает рекомендации по сбору и обработке экономических данных, между которыми эконометрика количественно изучает взаимосвязь.

Так как эконометрические исследования основываются на обработке больших объемов статистических данных, то особенно бурное развитие эконометрики, как и многих других наук, началось с успехами вычислительной математики и информатики , широкого распространения вычислительной техники, особенно персональных компьютеров. В настоящее время эта наука продолжает формироваться. Она находится на этапе бурного распространения и развития, в частности в России.

До 1990-х годов в социалистических странах для планового развития централизованной экономики в основном использовались балансовые и оптимизационные методы исследований. Эконометрические эксперименты в таких условиях были мало востребованы. И лишь с началом рыночных отношений существенно возросла необходимость применения и развития эконометрических методов в управлении экономикой.

В 2000 году эконометрика впервые включена в Государственный образовательный стандарт Российской Федерации на правах самостоятельной учебной дисциплины естественнонаучного цикла. Практически все экономические вузы и факультеты страны начали преподавание этой важной науки. По мнению известного российского экономиста академика РАН В.Л. Макарова "Современное экономическое образование держится на 3-х китах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике".

Ведущие ученые-экономисты и экономические научно-исследовательские организации России активно включились в процесс исследований по этому направлению.

Важным является еще и то, что получившие в эконометрике мощное практическое развитие методы регрессионного анализа, корреляционного анализа, компонентного анализа могут применяться не только в экономике. Конечно, экономические данные и законы идеально подходят для эконометрических исследований. Но разработанные в рамках эконометрики методы и подходы могут с успехом использоваться для решения многих социальных, технических, технологических, организационных, военных, правоохранительных, юридических и иных задач.

Для успешного овладения этой дисциплиной необходимо предварительное изучение в рамках учебного плана математики (математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики), экономической статистики, экономической теории, информатики. Эконометрика вбирает в себя многие их положения. Она подводит слушателей к реальным, практическим научным исследованиям, обучает их творческому, осознанному подходу к выявленным экономическим закономерностям. Простое механическое применение формул, полученных в экономической теории, статистике, математике могут зачастую дать численно правильный, но далекий от жизненных реальностей результат.

Аудиторные занятия по эконометрике заключаются не только в теоретической подготовке на лекциях и разборе типовых задач на семинарах. Задачи должны практически реализовываться на ЭВМ с использованием общего и специального программного обеспечения. Наиболее полный пакет функций реализован в многочисленных специализированных прикладных статистических программах и системах (например, Statistica, Econometric Views, Statgraphics, STATA, SAS, SYSTAT, SPSS, TSP, GAUSS, Microfit и др.), предназначенных для работы в различных операционных системах. Вместе с тем очень многие необходимые возможности реализованы в широко распространённой офисной программе Microsoft Excel из пакета Microsoft Office.

Конечно, наиболее эффективными инструментами являются специальные эконометрические и статистические пакеты. Однако, на взгляд автора, прежде чем пользоваться ими, надо овладеть навыками эконометрического моделирования, получить практику расчетов по основным формулам, чтобы более глубоко понимать суть анализируемых явлений и процессов. Поэтому обучение эконометрике обязательно надо начинать с непосредственных расчетов на Microsoft Excel по теоретическим формулам. А уже потом переходить на более совершенные пакеты и программы, облегчающие и ускоряющие процесс исследований.

В эконометрике, сравнительно новой и быстро развивающейся науке, еще не до конца сложились единые системы обозначений и терминологии. Это во многом определяется тем, что она находится на стыке нескольких наук, каждая со своей историей и традициями, а также тем, что эконометрика зародилась и развивалась до недавнего времени в основном за рубежом, где символика и терминология несколько отличаются от российских. Это, конечно, вызывает дополнительные трудности при изучении дисциплины. Условимся в данной работе придерживаться сложившейся в российской науке системы обозначений.

Предлагаемое пособие не претендует на полноту изложения теоретического материала, особенно в современных условиях, когда эконометрика как самостоятельная наука еще не до конца сформировалась. Предлагаю слушателям дополнительно прочитать монографии, учебники, учебные пособия, приведенные в списке литературы. Автор ставил своей целью ознакомить читателя с главными положениями современной эконометрической науки и подкрепить их практическими примерами и задачами.

С пожеланием успехов,
Ю.Н. Полянский

Введение

Используемая система обозначений

В современных теории вероятностей, математической статистике и эконометрике, к сожалению, окончательно не утвердилась единая система обозначений и названий случайных величин (СВ), их компонентов (в случае многомерности СВ), наблюдаемых и оценочных значений этих СВ. Кроме того, эконометрика лежит на стыке многих наук и зачастую использует их системы обозначений. В настоящей работе принята система, использующаяся чаще в эконометрике...

Глава 1. Парная линейная регрессия

1.1. Теоретические сведения

Парная линейная регрессионная модель с пространственной выборкой – наиболее простой вид эконометрической модели, в которой рассматривается зависимость объясняемой переменной Y только от одной объясняющей переменной X (поэтому модель называется парной), причем эта зависимость линейная...

Глава 2. Парная нелинейная регрессия

2.1. Теоретические сведения

На практике между экономическими показателями часто наблюдаются более сложные – нелинейные – регрессионные зависимости...

Глава 3. Множественная линейная регрессия

3.1. Теоретические сведения

Модель множественной линейной регрессии в общем виде...

Глава 4. Некоторые особенности практического применения регрессионных моделей

4.1. Теоретические сведения

Нарушения тех или иных допущений классического МНК (см. введение) приводит к тому, что получается недостаточно адекватная модель...

Глава 5. Временные ряды

5.1. Теоретические сведения

Временной ряд (ряд, динамический ряд, ряд динамики) – это совокупность значений некоторого признака (случайной величины) Yt в последовательные моменты времени t=1,2,...,n .
Что именно понимать под "моментом времени", решает исследователь, исходя из условий конкретной задачи. Временные шаги могут быть также различными, от очень маленьких (минуты, часы, дни,...) до больших (века, тысячелетия, ...)...

Глава 6. Системы эконометрических уравнений

6.1. Теоретические сведения

Очень часто экономические модели описываются не одним уравнением, а системами эконометрических уравнений ...

сайт 2013-10-03 15:35:00Z Последнее изменение: 2017-10-14 14:35:50Z Возрастная аудитория: 14-70