M.: Дело, 2004. - 280 c.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать
(прямая ссылка):
invest-analiz.djvu Предыдущая 1 .. 31 > .. >> Следующая
Текущая доходность - отношение купонного дохода к цене приобретения.
Полная доходность (yield to maturity) учитывает купонный доход и доход от погашения (иногда называется ставкой помещения).
Доходность по видам облигаций. /. Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. Если с - купонная ставка, rt - текущая доходность, то
г, = Мс/Р= с 100/К. (9.1)
2. Облигации без выплаты процентов. Доходность образуется как разность между номиналом и ценой приобретения. Курс данной облигации меньше 100.
Баланс операции запишется следующим образом: P = M(I + г)~", где п - срок до погашения облигации, г - полная доходность облигации, (1 + г)~п = А/100;
г « 1 / 4JK /100 - 1. (9 2)
ПРИМЕР. Выпущена облигация с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. Курс облигации - 60. Найти полную доходность на дату погашения.
Решение, г = 1 / (^60/100) -1 - 0,052, или 5,2%.
3. Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока (реинвестирование купонного дохода). Баланс операции: M (1 + с)п (1 + r)~n = P или [(1 + с)/(1 + г)]" = /Г/100;
г«(1+с)/^АГ/100-1. (9 3)
ПРИМЕР. Облигации с доходом 15% годовых от номинала, курсом 80, сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока.
Решение, г = (1 +0,15)/^/80/100 -1=0,202, или 20,2%.
4. Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Баланс операции:
сМ сМ сМ M
1 + г (1 + г)2 (1 + г)" (1 + г)п "
P= M(I + г)"п + сМ ^j(I + г)"", где / - период от покупки облигаций до выплаты купонного дохода.
Определение неизвестной величины полной доходности может быть произведено тремя методами: так называемым приблизительным методом, методом линейной экстраполяции и методом проб и ошибок.
Для приблизительного метода используется формула
СМ + (M - P)In
(M + P)? КУ "
с + (1 -Ю/п Г--(1-Л)/2 (96)
Для использования метода линейной интерполяции (описание метода приведено в п. 3.6) разделим обе части формулы (9.4) на М:
А/100 = (1 +r)-"+cV, (9.7)
где апг- коэффициент приведения ренты по ставке г за период п.
Полная доходность г может быть найдена методом линейной интерполяции:
где гн и гв - нижняя и верхняя границы полной доходности; Кн и K3 - нижняя и верхняя границы курса, рассчитанного для гн и гъ по формуле (9.7); Кв < К < Кн.
Необходимо отметить, что с ростом доходности курс облигации снижается.
ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет с процентной ставкой 10% куплена по курсу 95. Найти полную доходность.
Решение. Для определения коэффициентов приведения ренты апг воспользуемся уже известной формулой (3.20).
Положим гИ = 10%, /"в = 15%. Тогда:
KJlOO = 1,10"6 + 0,1 <76;IO = 0,564 + 0,1 4,355 = 0, 99;
Кjm = 1,15"6 + 0,1 я6:15 = 0,432 + 0,1 3,784 = 0,81;
/*= 0,10 + [(0,99 - 0,95)/(0,99 - 0,81)] (0,15 - 0,10) = 0,11.
Проверка: 1,11"6 + 0,1 аь.и = 0,535 + 0,1 4,23 = 0,958.
Метод проб и ошибок заключается в подборе величины г таким образом, чтобы равенство (9.4) (или (9.7)) оказалось верным.
Одним из показателей изменчивости облигации является дюрация. Данный термин является калькой с английского duration, что переводится "продолжительность". Впервые данный показатель исследован Фредериком Макалеем в 1938 г. Он определил этот показатель как средневзвешенный срок к погашению денежного потока ценной бумаги1. Дюрация Макалея рассчитывается по формуле:
где t - срок платежа или элемента денежного потока по облигации; CF1-величина элемента денежного потока по облигации в году /; г - доходность к погашению (полная доходность).
Показатель дюрации Макалея, рассчитанный по формуле (9.9), измеряется в годах.
Следует обратить особое внимание на то, что дисконтирование производится по ставке доходности к погашению, которую первоначально необходимо определить, для чего могут быть использованы рассмотренные выше методы. Кроме того, отметим, что в знаменателе формулы расчета дюрации находится цена облигации, так как
Для облигаций, по которым купонный доход выплачивается т раз в году, формула расчета принимает вид:
9.4. Дюрация
(средняя продолжительность платежей)
2 CF1(I + гГ<
¦2 CZ)(I + г/тГ
The Handbook of Fixed Income Securities. P. 85.
ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет, купонная ставка - 10%, номинал - 100 долл. Доходность к погашению - 11%.
Таблица 9.2
1
(1 + г)""
CF1
CF1(X + г)""
tCFt(\ + г)-"
I
0,9009
10
9,009
9,009
2
0,8116
10
8,П6
16,232
3
0,7312
10
7,312
21,936
4
0,6587
10
6,587
26,348
5
0,5935
10
5,935
29,675
6
0,5346
по
58,806
352,836
95,765
451,4272
Получаем:
D = 451,4272/95,765 = 4,7 года.
Дюрация может быть рассмотрена также как эластичность цены облигации по изменению процентной ставки (а точнее, величины 1 + г). В общем рассмотрении коэффициент эластичности - это отношение относительного прироста одного показателя к относительному приросту другого показателя. В данном случае этими показателями являются цена облигации и процентная ставка.
При определении доходности портфеля облигаций исходят из суммы приведенных к некоторому моменту времени t o потоков доходов от каждой входящей в портфель облигации. Предположим, что в портфель входит "М " облигаций различных видов при числе облигаций каждого вида, равном Облигации каждого вида имеют номинальную стоимость срок до погашения облигаций N m и купонные ставки с m . При такой постановке задачи суммарную рыночную стоимость портфеля облигаций можно определить по формуле:
(5.27)
где - рыночная стоимость облигации m -го вида, рассчитываемая по формуле:
(5.28)
С другой стороны, портфель облигаций создает поток доходов, который можно характеризовать следующими параметрами: S i – суммарный доход от облигаций всех видов, поступающий в момент времени t = t i , и - доходность портфеля облигаций. Приведенную стоимость данного потока платежей можно определить по формуле, аналогичной формуле (2.2):
(5.29)
где N max – максимальный срок выплаты дохода по всем облигациям портфеля.
Доходность портфеля облигаций можно определить при условии т. е. из решения уравнения:
(5.30)
Значение доходности портфеля облигаций может быть найдено решением уравнения (5.30) итерационными методами или на основе метода линейной интерполяции между минимальным и максимальным значениями доходности портфеля, ограничивающими интервал, в пределах которого находится искомое значение доходности портфеля облигаций . При использовании метода линейной интерполяции доходность портфеля может быть определена по формуле:
где - рыночная стоимость портфеля облигаций, определяемая по формулам (5.27) и (5.28);
И - приведенные стоимости потока платежей, определяемые по формуле (5.29) при применении в расчетах ставок доходности и соответственно.
Рассмотрим методику вычисления доходности на примере портфеля, состоящего из двух видов облигаций.
Пример 5.2. Портфель облигаций состоит из двух видов облигаций со следующими характеристиками:
Первая облигация руб.; С 1 = 0,08, года;
Вторая облигация руб.; С 2 = 0,05, года.
Определить доходность портфеля облигаций, если число облигаций первого и второго вида одинаково
Решение : Определим рыночную стоимость облигации первого вида по формуле (5.28):
руб.
Аналогично определяем рыночную стоимость облигации второго вида:
руб.
Суммарная рыночная стоимость портфеля облигаций в соответствии с формулой (5.27) составит:
Вычислим суммарный поток платежей S i по облигациям первого и второго вида. В табл. 5.2 приведены размеры платежей по облигациям первого и второго вида и суммарный поток S i .
Таблица 5.2
Вычисление суммарного потока платежей
По двум облигациям, руб.
Так как количество облигаций первого и второго вида одинаково, то уравнение (5.30) можно записать в виде:
(5.32)
Вычислим приведенную стоимость суммарного потока платежей при различных значениях :
Результаты расчетов приведены в табл. 5.3.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Контрольная работа
по дисциплине «Теоретические основы финансового менеджмента»
Вариант № 73
Выполнила студентка
Гуманитарного факультета
Заочного отделения
Профиль: Финансы и кредит
группа ФК-12Б
Маховик Ксения Витальевна
Проверила преподаватель:
Агеева Валерия Николаевна
Дата сдачи____________________
Пермь - 2014
Задача №1
Задача № 2
Задача №3
Задача №4
Задача № 5
Задача №6
Задача №7
Задача №8
Задача №9
Задача №10
Список литературы
Срок исполнения опциона - t = 3 мес.
Текущая цена базисного актива - S = 35 руб.
Цена исполнения опциона-К = 80 руб.
Безрисковая ставка доходности - r = 3 %
Риск базисного актива - х = 20 %
S = (V)(N(d1)) - {(D)(е-rt)}(N(d2)),
где N(d1) и N(d2) -- функции накопленного нормального распределения,
е -- основание логарифма (е = 2,71828);
V=S+K=35+80=115 руб.
у 2 = (0,2)2 = 0,04
d1 = (ln(V/K) +{r + у 2/2} t)/(у)(t 1/2)
d1 = (ln(115/80) + {0,03 + 0,04/2} 0,25)/(0,2)(0,251/2) = 3,75405
N (3,75405) = N (3,75) + 0,99 (N (3,8) - N (3,75)) = 0,9999 + 0,00 = 0,9999
d2 = d1 - (у)(t 1/2) = 3,75405-0,2*0,251/2 = 3,65405
N(3,65405)=N(3,65)+0,99(N(3,7)-N(3,65))=0,9999+0,00=0,9999
S = 115* 0,9999 - {(80)(2,71828 -0,03*0,25)}
(0,9999) = 114,99-79,39 = 35,6 руб.
Вывод: цена опциона-колл составила 35,36 руб.
Задача № 2
Текущий курс акции компании «АВС» равен S = 80 руб. Через год акция будет стоить или Su = 90 руб. или Sd = 50 руб. Рассчитать действительную стоимость опциона-колл с помощью биноминальной модели, если цена исполнения опциона-коллК = 80 руб., срок t = 1 год, безрисковая ставка r = 3%
В соответствии с биномиальной моделью, цена опциона call на момент исполнения опциона может принять строго два значения: она либо возрастает до значения Su , либо падает до значения Sd . Тогда в соответствии с биномиальной моделью теоретическая цена опциона call будет равна:
S - сегодняшняя цена базового актива, на который заключен опцион;
К - цена исполнения опциона
r - безрисковая процентная ставка на финансовом рынке (% годовых);
t - время в годах до момента исполнения опциона
Из этой формулы видно, что цена опциона это всегда некоторая доля (процент) от сегодняшней цены базового актива, определяемый в биномиальной модели множителем
0,098*80 = 7,86 руб.
Вывод: стоимость опциона-колл составила 7,86 руб.
r ср. = (35+33+27+14+20)/5 = 26 %
Дисперсия
(у2) = ((35-26)2+(33-26)2+(27-26)2+(14-26)2+(20-26)2)/5 = 62
Риск актива есть стандартное отклонение доходности
(у) = v62 = 8 %
Вывод: риск актива составил 8%
Задача № 4
Определить внутреннюю доходность купонной облигации.
Цена = 2350 руб.
Купонная ставка - 14%
Срок погашения =2 года
Количество купонных периодов в году - 4 пер.
Номинальная стоимость облигации - 2500 руб.
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые купонными, и выплата номинала при погашении облигации. Последний купонный платеж производится в день погашения облигации.
Будем использовать следующие обозначения:
A- номинал облигации;
f- годовая купонная ставка;
m- число купонных платежей в году;
q- сумма отдельного купонного платежа;
t = 0 - момент покупки облигации или момент, когда предполагается инвестирование в облигацию;
T(в годах) - срок до погашения облигации от момента t = 0;
Время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации (до момента t = 0).
Период времени, измеряемый в годах, называется купонным периодом. В конце каждого купонного периода производится купонный платеж. Так как облигация может быть куплена в любой момент между купонными выплатами, то ф изменяется в пределах от 0 до.Если облигация куплена сразу после купонной выплаты, то
означает покупку облигации непосредственно перед купонным платежом. Так как покупка облигации производится только после оплаты очередного купона, то ф не принимает значение. Таким образом,
Если облигация продается через время после купонной выплаты, а до погашения остается n купонных платежей, то срок до погашения облигации равен
Размещено на http://www.allbest.ru/
где n- целое неотрицательное число. Следовательно,
если Tm- целое, то
если Tm- не целое, то
Пусть P - рыночная стоимость облигации в момент t = 0, купоны по которой выплачиваются m раз в год. Предположим, облигация продается через время после купонной выплаты, когда до погашения остается n купонных выплат. Формула (1) для купонной облигации имеет вид:
Годовая внутренняя доходность r купонной облигации может быть определена из равенства (1). Так как обычно величина r мала, то
Тогда последнее равенство можно переписать в виде:
Вычислив сумму n членов геометрической прогрессии и учитывая, что
получим еще одну формулу для расчета внутренней доходности купонной облигации:
Для приблизительной оценки внутренней доходности купонной облигации пользуются «купеческой» формулой:
В нашем примере:
Здесь значения параметров облигации следующие: A = 2500 руб., f = 0,14, m = 4,
T = 2 года, P = 2350 руб. Найдем число купонных платежей n, оставшихся до погашения облигации, а также время ф, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации.
Так как произведение
n =T*m = 2*4 = 8
Является целым, то
Для расчета внутренней доходности облигации по формуле (2) необходимо решить уравнение
Методом линейной интерполяции находим r 17.4 %.
Вывод: внутренняя доходность купонной облигации составила 17,4 %
Задача № 5
Определить форвардные ставки одногодичные через 1 год, через 2 года и двухгодичную через 1 год.
rф (n-1),n = [(1+r n) n /(1+r n-1) n-1] -1
rф (n-1),n-- одногодичная форвардная ставка для периода n -- (n -1);
r n -- ставка спот для периода n;
r n-1 -- ставка спот для периода (n -1)
Форвардная ставка через 1 год
rф1,1 = [(1+r 2) 2 /(1+r 2-1) 2-1] -1 = [(1+r 2) 2 /(1+r 1) 1] -1 = [(1+0,05) 2 /(1+0,035) 1] -1 = = - 1 = 6,5 %
Форвардная ставка через 2 года
rф1,2 = [(1+r 3) 3 /(1+r 3-1) 3-1] -1 = [(1+r 3) 3 /(1+r 2) 2] -1 =
= [(1+0,09) 3 /(1+0,05) 2] -1 = - 1 = 17,5 %
Двухгодичная форвардная ставка через 1 год
rф2,1 = v (1,05)2 / (1,035)1 - 1 = 3,2 %
Задача №6
Определить оптимальную структуру портфеля, если:
covAB = сAB*уA*уB= 0,50 * 35 * 30= 525
WA = (уB2-covAB) / (у2A+у2B-2covAB)
WA = (302-525) / (352 + 302- 2*525) = 0,349 = 34,9%
Вывод: для минимизации риска следует разместить 34,9 % денежных средств в актив А и 65,1 % в актив В.
Задача №7
Определить риск портфеля, если он состоит и двух бумаг А и В.
WB = 100%-35% = 65%
у2АВ = W2A*у2A+W2B*у2B+2WA*WB*сAB*QA*QB
у2АВ = 0,352*502+0,652*182+2*0,35*0,65*0,50*50*18
у2АВ = 647,89
Вывод: риск портфеля составил 25,5 %
Задача №8
Определить внутреннюю стоимость акции, если:
Количество периодов роста дивидендов с темпом gT-(T) = 5
Темп роста дивидендов в первой фазе жизни общества (gT-) = 5,0%
Темп роста дивидендов во второй фазе жизни общества (gT+) = 3,0 %
Дивиденд в периоде предшествующем началу роста доходов (D0) = 18 руб.
Требуемая доходность (r) = 10%
Определить внутреннюю стоимость акции по формуле:
PV = 17,18+16,4+240,47 = 274,05
Вывод: внутренняя стоимость акции составила 274,05 рубля.
Задача №9
Определить внутреннюю стоимость облигации.
Стоимость заемного капитала (ri) = 3,5%
Купонный платеж (CF) = 90 руб.
Срок до погашения облигации (n) = 2 лет
Количество купонных выплат в году (m) = 12
Номинальная стоимость облигации (N) = 1000 руб.
Задача №10
Определить требуемую доходность портфеля из двух акций А и В, если:
Доходность по безрисковым бумагам (rf) = 6%
Доходность рыночного портфеля (rm) = 35%
Коэффициент вета бумаги А (А) = 0,65
Коэффициент вета бумаги В (В) = 1,50
Доля бумаги А в портфеле (wА) = 48%
ri = rf + вi(rm-rf);
в = 0,90*(-0,5)+0,10*1,18 = -0,332
ri = 3,5 + (-0,332)(50-3,5) = -11,9%
Список литературы
опцион облигация стоимость
1. Четыркин Е.М. Финансовая математика: учебник для вузов.-- 7-е изд., испр.-- М. : Дело, 2007 .-- 397 с.
2. Грязнова А. Г. [и др.] Оценка бизнеса: учебник для вузов; Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации; Институт профессиональной оценки; Под ред. А. Г. Грязновой.-- 2-е изд., перераб. и доп.-- М. : Финансы и статистика, 2008 .-- 734 с.
3. Бригхэм Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: учебное пособие для вузов: пер. с англ. в 2-х т. - СПб: Экономическая школа,. 2-668 с.
4. Ковалева, А. М. [и др.]Финансовый менеджмент: учебник для вузов; Государственный университет управления; Под ред. А. М. Ковалевой.-- М. : Инфра-М, 2007 .-- 283 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Стоимостная оценка акции. Методы оценки акций. Определение курсовой стоимости акции. Стоимостная оценка облигации. Ценообразование бескупонной облигации. Облигации с постоянным купонным доходом. Понятие доходность к погашению (доходность до погашения).
контрольная работа , добавлен 16.06.2010
контрольная работа , добавлен 18.06.2011
Понятие девелоперской деятельности и инвестиционных проектов в строительстве. Основные фазы развития девелоперского проекта. Применение на реальном кейсе биноминальной модели реального опциона и модели Блэка-Шоулза для управления стоимостью проекта.
дипломная работа , добавлен 30.11.2016
Методика определения абсолютной и сравнительной эффективности капитальных вложений, ее преимущества и недостатки. Оценка эффективности инвестиций на основе системы показателей: чистая дисконтированная стоимость, индекс и внутренняя норма доходности.
контрольная работа , добавлен 29.01.2014
Сущность биномиального распределения. Понятие, виды и типы опционов; факторы, влияющие на их цену. Дискретный и непрерывный подход к реализации биномиальной модели оценки стоимости опциона. Разработка программы для автоматизации расчета его цены.
курсовая работа , добавлен 30.05.2013
Хеджирование на рынках реальных товаров. Продажа фьючерсного контракта, покупка опциона типа "пут" или продажа опциона типа "колл". Определение, цель, смысл, механизм и результат хеджирования. Виды рисков, которые могут быть защищены хеджированием.
презентация , добавлен 29.08.2015
Расчет фактической, ожидаемой и безрисковой доходности и риска по акциям. Определение привлекательности акций для инвестирования. Определение коэффициента Шарпа. Сравнение выбранного портфеля акций с индексным портфелем. Доходность акции на единицу риска.
курсовая работа , добавлен 24.05.2012
Основные достижения финансового менеджмента как науки. Цены акций и индекс рынка. Среднеквадратическое (нормированное и стандартизированное) отклонение цены акции от своего среднего. Доходность рынка. Расчет коэффициентов по портфелю ценных бумаг.
курсовая работа , добавлен 26.01.2009
Анализ деятельности инвестиционных управляющих Уоррена Баффетта и компании Berkhire Hathaway. Факторный анализ доходности Баффетта на основе моделей ценообразования капитальных активов. Моделирование наличности в составе портфеля в качестве колл-опциона.
дипломная работа , добавлен 26.10.2016
Понятие, сущность и цели модели оценки доходности финансовых активов CAPM, взаимосвязь риска с доходностью. Двухфакторная модель CAPM в версии Блэка. Сущность модели D-CAPM. Эмпирические исследования концепции "риск-доходность" на развивающихся рынках.
В соответствии с алгоритмом определения стоимости облигации, представленном в задаче 2.1, формула расчета цены облигации имеет вид:
где Р - цена облигации; С - купон в рублях; N - номинал;
n - число лет до погашения облигации; r - доходность до погашения облигации. Согласно формуле (2.1) цена облигации равна:
Задача 2.3.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9%.
Р = 1025,31 руб.
Задача 2.4.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%.
Р = 1000руб.
Задача 2.5.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11%.
Р = 975,56 руб.
Вопрос 2.6.
Доходность до погашения облигации меньше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?
Цена облигации должна быть выше номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.2 и 2.3.
Вопрос 2.7.
Доходность до погашения облигации больше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?
Цена облигации должна быть ниже номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.5.
Вопрос 2.8.
Доходность до погашения облигации равна ее купону. Сколько стоит облигация?
Цена облигации равна номиналу. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.4.
Задача 2.9.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.
Когда купон выплачивается m раз в год, формула (2.1) принимает вид:
Согласно (2.2) цена облигации равна:
Примечание.
Данную задачу можно решить, используя формулу (2.1), только в этом случае периоды времени выплаты купонов следует учитывать не в купонных периодах, а, как и раньше, в годах. Первый купон выплачивается через полгода, поэтому для него время выплаты равно 0,5 года, второй купон выплачивается через год, для него время выплаты равно 1 год и т. д. Ставка дисконтирования учитывается в этом случае как эффективный процент на основе заданной доходности до погашения, т. е. она равна:
(1+0,08/2)^2 – 1 = 0,0816.
Согласно формуле (2.1) цена облигации составляет:
Задача 2.10.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9%.
Согласно (2.2) цена облигации равна 1017,94 руб.
Задача 2.11.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%.
Р = 1000 руб.
Задача 2.12.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11%.
Р = 982,47 руб.
Задача 2.13.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 7%.
Р = 973,36 руб.
Задача 2.14.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 250 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.
Цена облигации определяется по формуле (2.1). Если до погашения облигации остается не целое число лет, то учитывается фактическое время выплаты каждого купона. Так, выплата первого купона произойдет в момент времени 250/365, второго купона в момент 1*250/365 и т. д.
Цена облигации равна:
Задача 2.15.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается одни раз в год. До погашения облигации 2 года 120 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%. База 365 дней.
Цена облигации равна:
Задача 2.16.
Номинал облигации 1000 руб., кунон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%. База 365 дней.
Р = 1091,47руб.
Задача 2.17.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 15 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11,5%.
Когда до погашения облигации много лет, непосредственно использовать формулу (2.1) довольно громоздко. Ее можно преобразовать к более удобному виду. Сумма дисконтированных стоимостей купонов облигации представляет собой не что иное как приведенную стоимость аннуитета . С учетом этого замечания формулу (2.1) можно записать как (Формулу (2.1) можно также преобразовать к виду:):
Задача 2.18.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 20 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9,7%.
Согласно (2.3) цена облигации равна:
Задача 2.19.
Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 30 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,5%.
Р = 918,56 руб.
Задача 2.20.
Номинал облигации 1000 руб., купон 3%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 25 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,3%.
Р = 803,20руб.
Задача 2.21.
Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации 18 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%.
P = 1023,75 руб.
Задача 2.22.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год.
До погашения облигации 6 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8,4% годовых.
Если купон по облигации выплачивается m раз в год, формулу (2.2) можно преобразовать к виду (Формулу (2.4) можно также преобразовать к виду:) :
Согласно формуле (2.4) цена облигации равна:
Задача 2.23.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,5% годовых.
Согласно (2.4) цена облигации равна:
Задача 2.24.
Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 10 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,75% годовых.
Р = 940,57 руб.
Задача 2.25.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 11 лет и 45 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.
Если до погашения облигации остается не целое число лет, то формулу (2.3) можно преобразовать к виду:
где t - количество дней до выплаты ближайшего купона;
n - количество полных лет до погашения облигации, т. е без учета не полного купонного периода.
Согласно (2.5) цена облигации равна:
Задача 2.26.
Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 14 лет и 77 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%. База 365 дней.
Р = 1059,52 руб.
Задача 2.27.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых.
По бескупонной облигации осуществляется только один платеж - в конце периода ее обращения инвестору выплачивается номинал. Поэтому ее цена определяется по формуле:
Согласно (2.6) цена облигации равна: 1000/1,12^5 = 567,43руб.
Задача 2.28.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых.
Р = 793,83 руб.
Задача 2.29.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 8 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6% годовых.
Р = 627,41 руб.
Задача 2.30.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет и 20 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых. База 365 дней.
Согласно (2.6) цена облигации равна:
Задача 2.31.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года и 54 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,4% годовых. База 365 дней.
Р = 875,25руб.
Задача 2.32.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 7 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых. По купонным облигациям купоны выплачиваются два раза в год.
Если по купонным облигациям купоны выплачиваются m раз в год, то это означает, что частота начисления сложного процента по инвестициям в облигации составляет m раз в год. Чтобы получить аналогичную частоту начисления процента по бескупонной облигации ее цену следует определять по формуле:
Согласно (2.7) цена облигации равна:
Задача 2.33.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 5% годовых. По купонной облигации купоны выплачиваются четыре раза в год.
P = 819,75 руб.
Задача 2.34.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4% годовых. База 365 дней.
Цена бескупонной краткосрочной облигации определяется по формуле:
где t - время до погашения облигации.
Согласно (2.8) цена облигации равна:
Задача 2.35.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 65 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 3,5% годовых. База 365 дней.
Р = 993,81 руб.
Задача 2.36.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 2% годовых. База 365 дней.
Р = 999,78 руб.
Задача 2.37.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. Облигация стоит 953 руб. Определить текущую доходность облигации.
Текушая доходность облигации определяется по формуле:
где rT - текущая доходность; С - купон облигации; Р - цена облигации.
Согласно (2.9) текущая доходность облигации равна:
Задача 2.38.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%. Облигация стоит 1014 руб. Определить текущую доходность облигации.
Задача 2.39.
Номинал облигации 1000 руб., купон 3,5%. Облигация стоит 1005 руб. Определить текущую доходность облигации.
Задача 2.40.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Облигация стоит 850 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Доходность до погашения бескупонной облигации определяется по формуле (выводится из формулы 2.6):
Согласно (2.10) доходность облигации составляет:
Задача 2.41.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Облигация стоит 734 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Задача 2.42.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года. Облигация стоит 857,52 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Задача 2.43.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года и 120 дней. Облигация стоит 640 руб. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Задача 2.44.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 1 год 64 дня по 910 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год. База 365 дней.
Задача 2.45.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 120 дней по 873 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.
Задача 2.46.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через четыре года. Инвестор купил облигацию по 887,52 руб. и продал через 41 день по 893,15 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.
2) rэф = 5,79%.
Задача 2.47.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Облигация стоит 890 руб. Определить ориентировочно доходность до погашения облигации.
Доходность до погашения купонной облигации можно ориентировочно определить из формулы:
где r - доходность до погашения; N - номинал облигации; С - купон; Р - цена облигации; n - число лет до погашения.
Согласно (2.11) доходность равна:
Задача 2.48.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 6 лет. Облигация стоит 1053 руб. Определить ее доходность до погашения.
Задача 2.49.
Номинал облигации 1000 руб., купон 9%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 4 года. Облигация стоит 1040 руб. Определить ее доходность до погашения.
Замечание.
Для облигации, по которой купон выплачивается m раз в год, формула ориентировочной доходности примет следующий вид:
Однако в этом случае r является доходностью в расчете на один купонный период. Так, если m = 2, то получится доходность за полгода. Чтобы перевести полученную доходность в расчете на год, ее следует умножить на величину m. Таким образом, для расчета ориентировочной доходности по облигациям с выплатой купонов m раз в год, можно сразу пользоваться формулой (2.11).
Задача 2.50.
Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.48 методом линейной интерполяции.
Формула для определения доходности облигации методом линейной интерполяции имеет вид:
Техника вычисления доходности по формуле (2.13) сводится к следующему. Определив ориентировочную доходность облигации по формуле (2.11), инвестор выбирает значение r1, которое ниже полученного значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него соответствующую цену облигации Р1 по формуле (2.1) или (2.3). Далее берет значение r2, которое
выше значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него цену Р2. Полученные значения подставляются в формулу (2.13).
В задаче 2.48 ориентировочная доходность составила 6,93% годовых. Возьмем r1 = 6% . Тогда по формуле (2.3):
Возьмем r2 = 7% . По формуле (2.3):
Задача 2.51.
Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.47 методом линейной интерполяции.
В задаче 2.47 ориентировочная доходность составила 9,74% годовых. Возьмем r1 = 9% . По формуле (2.3):
Возьмем r2 = 10% . По формуле (2.3):
Согласно (2.13) точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.52.
Определить точную доходность до погашения облигации к задаче 2.49 методом линейной интерполяции.
В задаче 2.49 ориентировочная доходность составила 7,84% годовых. Возьмем r1 = 7% . По формуле (2.4):
Возьмем r2 = 8%. По формуле (2.4):
Точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.53.
Номинал краткосрочной бескупонной облигации 1000 руб., цена 950 руб. Облигация погашается через 200 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Доходность до погашения краткосрочной бескупонной облигации определяется по формуле:
Задача 2.54.
Номинал облигации 1000 руб., цена 994 руб. Облигация погашается через 32 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Согласно (2.14) доходность облигации равна:
Задача 2.55.
Номинал облигации 1000 руб., цена 981 руб. Облигация погашается через 52 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
r = 13,6% годовых.
Задача 2.56.
Номинал облигации 1000 руб., цена 987,24 руб. Облигация погашается через 45 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней. Ответ. r = 10,48% годовых.
Задача 2.57.
Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.54.
Задача 2.58.
Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.56.
Ответ. rэф = 10,97%.
Задача 2.59.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 859 руб. За период владения облигацией купон по бумаге не выплачивался. Определить доходность операции инвестора: 1) в расчете на 57 дней; 2) в расчете на год на основе простого процента; 3) эффективный процент по операции. База 365 дней.
Задача 2.60.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 800 руб. В конце периода владения облигацией по бумаге был выплачен купон. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе простого процента. База 365 дней.
2.3. Реализованный процент (доходность)
Задача 2.61.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Через пять лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования представляет собой будущую стоимость аннуитета. Поэтому она составит:
Общая сумма средств, которые получит инвестор за пять лет, равна:
1000 + 635,29 = 1635,29 руб.
Задача 2.62.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 6% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования за четыре года равна:
С учетом выплаты номинала общая сумма средств по облигации через четыре года составит:
1000 + 349,97 = 1349,97 руб.
Задача 2.63.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%. выплачивается один paз в год. До погашения облигации шесть лет. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух дет он сможет реинвестировать купоны под 10%, а в оставшиеся четыре года под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Сумма купонов и процентов от их реинвестирования за первые два года (по первым двум купонам) составит:
(То есть через год инвестор получит первый купон и реинвестирует его на год под 10%, еще через год получит следующий купон. В сумме это даст 168 руб.) Полученная сумма инвестируется под 12% на оставшиеся четыре года:
168*1,12^4 = 264,35 руб.
Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:
1000 + 264,35 + 382,35 = 1646,7 руб.
Задача 2.64.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 6%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 7%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Инвестор имеет возможность реинвестировать первый и второй купоны под 7%. Третий купон будет выплачен при погашении облигации. Поэтому сумма купонов и процентов от их реинвестирования есть не что иное как трехлетний аннуитет. Fro будущая стоимость равна:
Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:
1000 + 192,89 = 1192,89 руб.
Задача 2.65.
Определить реализованный процент для условий задачи 2.64.
Реализованный процент - это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цене. Он определяется по формуле:
Задача 2.66.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Инвестор покупает облигацию за 950 руб. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что он сможет реинвестировать купоны под 8%. Определить реализованный процент по облигации, если вкладчик продержит ее до погашения.
Общая сумма средств на момент погашения облигации составит:
Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:
Задача 2.67.
Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при ее погашении, равна P(1+r)n, где n - время, остающееся до погашения бумаги.
Цена облигации равна:
Умножим левую и правую части равенства (2.16) на (1+r)n:
Равенство (2.17) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при горизонтальной структуре кривой доходности, равна P(1+r)n. Это следует из правой части равенства (2.17). В правой части первый купон, который инвестор получает через год, реинвестируется на период (n – 1), второй купон
на период (n – 2) и т. д. При погашении облигации выплачивается последний купон и номинал. Формула (2.17) показывает, что общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов равна инвестированию суммы равной цене облигации под существующий процент до момента погашения бумаги.
Задача 2.68.
Инвестор купил облигацию и продаст ее за t лет до момента погашения сразу после выплаты очередного купона. Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t), где n – t - время, которое инвестор будет владеть облигацией.
Цена облигации равна:
Инвестор планирует продать бумагу за t лет до ее погашения сразу после выплаты очередного купона, т. е. он продержит ее в течение n – t лет. Умножим левую и правую часть равенства (2.18) на (1+r)^(n – t):
В равенстве (2.19) последние слагаемые представляют собой не что иное как цену облигации, когда до ее погашения останется t лет, обозначим ее через Рt:
Поэтому запишем (2.19) как:
Равенство (2.20) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t).
Задача 2.69.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 887 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов (реализованную доходность), если процентная ставка останется на уровне 11%, и он продаст бумагу через три года.
Согласно формуле (2.20) общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией и продажи ее в момент t, равна P(1+r)^(n – t). Общая сумма дохода, полученная инвестором по облигации через три года равна:
Инвестор купил бумагу за 887 руб. Реализованная доходность равна:
Примечание.
В задаче 2.69 формулу определения реализованной доходности можно представить в одно действие:
где rr - реализованная доходность;
Pн - новая цена облигации после изменения процентной ставки на рынке;
Р - цена, по которой облигация была куплена;
r - процентная ставка, соответствующая новой цене облигации.
Задача 2.70.
Для условий задачи 2.69 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.
Согласно формуле (2.21) реализованная доходность по облигации за девять лет равна:
Задача 2.71.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 1064,18 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 8%, и цена ее выросла до 1134,20 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получт по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 8%, и он продаст бумагу через три года.
Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за три года равна:
Задача 2.72.
Для условий задачи 2.71 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.
Задача 2.73.
В задаче 2.71 инвестор после трех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10,32%. В задаче 2.72 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 9 лет получил реализованную доходность равную 8,77%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией снизилась.
В задачах 2.71 и 2.72 после покупки облигации ее доходность до погашения упала, следовательно, выросла цена. От падения ставки выиграл краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В то же время краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более низкий процент (8%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность долгосрочного инвестора будет ниже, чем у краткосрочного.
Задача 2.74.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось пятнадцать лет, за 928,09 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 12%, и цена ее упала до 863,78 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 12%, и он продаст бумагу через четыре года.
Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за четыре года равна:
Задача 2.75.
Для условий задачи 2.74 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через десять лет.
Задача 2.76.
В задаче 2.74 инвестор после четырех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10%. В задаче 2.75 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 10 лет получил реализованную доходность 11,2%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией выросла.
В задачах 2.74 и 2.75 после покупки облигации ее доходность до погашения выросла, следовательно, снизилась цена. От роста ставки теряет краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В дополнение к этому краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более высокий процент (12%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность для долгосрочного инвестора будет выше, чем у краткосрочного.
Задача 2.77.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Доходность до погашения облигации 12%. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 11%.
Реализованная доходность равна:
где Т - время, которое держит облигацию инвестор.
Найдем из (2.22) значение Т. Для этого преобразуем (2.22) следующим образом:
Возьмем от обеих частей (2.23) натуральный логарифм и вынесем показатель степени за знак логарифма:
Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:
Задача 2.78.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. Доходность до погашения облигации 12%. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 13%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.
При росте доходности до погашения до 13% цена облигации упала до 837,21 руб. Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:
Задача 2.79.
Для условий задачи 2.78 определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12,3%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.
Задача 2.80.
Инвестор купил купонную облигацию с доходность до погашения 8%. Номинал облигации 1000 руб., купон 8,5%, выплачивается одни paз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 8,2%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 8%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 8,2%. До погашения облигации 5 лет.
Инвестор купил облигацию по цене 1019,96 руб. После роста доходности до погашения цена облигации упала до 1011,92 руб. Инвестор должен продать облигацию через:
2.4. Дюрация
Задача 2.81.
Выведите формулу дюрации Маколея на основе определения дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке.
Согласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать:
где D - дюрации Маколея; Р - цена облигации; dP - небольшое изменение цены облигации; r - доходность до погашения облигации; dr - небольшое изменение доходности до погашения.
В формуле (2.25) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях.
В уравнении (2.25) отношение dP/dr это производная цены облигации по процентной ставке. На основе формулы цены облигации с выплатой купонов один раз в год (2.1) она равна:
Подставим в равенство (2.25) значение dP/dr из равенства (2.26):
Задача 2.82.
Поминал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Цена облигации равна:
Дюрация составляет:
Задача 2.83.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Согласно (2.27) дюрация равна:
Задача 2.84.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Цена облигации равна:
Дюрация составляет:
Задача 2.85.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 13%. Определить дюрацию Маколея облигации.
D = 3,46 года.
Вопрос 2.86.
Как зависит дюрация Маколея от величины доходности до погашения облигации?
Чем больше доходность до погашения, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.82 – 2.85.
Задача 2.87.
Номинал облигации 1000 руб. купон 6%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
D = 6,632 года.
Задача 2.88.
Номинал облигации 1000 руб. купон 6,5%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
D = 6,562 года.
Задача 2.89.
Номинал облигации 1000 руб. купон 7%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
D = 6,495 года.
Вопрос 2.90.
Как зависит дюрация Маколея от величины купона облигации?
Чем больше купон, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2
Задача 2.91.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Чего бы вы хотели достичь, инвестируя в облигации ? Сохранить деньги и получить дополнительный доход? Сделать накопления для важной цели? А, может, мечтаете о том, как с помощью этих инвестиций получить финансовую свободу? Какой бы ни была цель, стоит понимать, какой доход приносят ваши облигации, и уметь отличить хорошую инвестицию от плохой. Есть несколько принципов для оценки дохода, знание которых в этом поможет.
Какие виды дохода есть у облигаций?
Доходность облигации - это величина дохода в процентах, полученного инвестором от вложений в долговую бумагу. Процентный доход по ним формируется за счет двух источников. С одной стороны, у облигаций с фиксированным купоном , как у депозитов, есть процентная ставка , которая начисляется на номинал. С другой стороны, у облигаций, как у акций, есть цена , которая может меняться в зависимости от рыночных факторов и ситуации в компании. Правда, изменения в цене у облигаций менее значимые, чем у акций.
Полная доходность облигации включает купонную доходность и учитывает цену ее приобретения . На практике для разных целей используют разные оценки доходности. Одни из них показывают только доходность от купона , другие дополнительно учитывают цену купли-продажи , третьи показывают рентабельность инвестиций в зависимости от срока владения - до продажи на рынке или до выкупа эмитентом , выпустившем облигацию.
Для принятия правильных инвестиционных решений, необходимо разобраться: какие виды доходности по облигациям бывают и что они показывают. Всего есть три вида доходности, управление которыми превращает обычного вкладчика в успешного рантье. Это текущая доходность от процентов по купонам, доходность при продаже и доходность бумаг к погашению.
Что показывает ставка купона?
Ставка купона - базовый процент к номиналу облигации, который также называют купонной доходностью . Эту ставку эмитент объявляет заранее и периодически выплачивает в установленный срок. Купонный период большинства российских облигаций - полгода или квартал. Важный нюанс заключается в том, что купонная доходность по облигации начисляется ежедневно, и инвестор не потеряет ее, даже если продаст бумагу досрочно.
Если сделка купли-продажи облигации происходит внутри купонного периода, то покупатель уплачивает продавцу сумму процентов, накопленных с даты последней выплаты купона . Сумма этих процентов называется накопленный купонный доход (НКД ) и прибавляется к текущей рыночной цене облигации . По окончании купонного периода покупатель получит купон целиком и таким образом компенсирует свои расходы, связанные с возмещением НКД предыдущему владельцу облигации.
Биржевые котировки облигаций у многих брокеров показывают так называемую чистую цену облигации , без учета НКД. Однако когда инвестор даст поручение на покупку, к чистой цене прибавится НКД, и стоимость облигации внезапно может оказаться больше ожидаемой.
При сравнении котировок облигаций в торговых системах, интернет-магазинах и приложениях разных брокеров выясните, какую цену они указывают: чистую или с НКД. После этого оцените конечные затраты на покупку в той или иной брокерской компании, с учетом всех издержек, и узнайте, сколько денег у вас спишут со счета в случае покупки бумаг.
Купонная доходность
По мере роста накопленной купонной доходности (НКД) стоимость облигации растет. После выплаты купона стоимость уменьшается на сумму НКД.
НКД
- накопленный купонный доход
С
(coupon) - сумма купонных выплат за год, в рублях
t
(time) - количество дней с начала купонного периода
Пример: инвестор купил облигацию номиналом 1000 ₽ со ставкой полугодового купона 8% в год, что означает выплату 80 ₽ в год, сделка прошла в 90-й день купонного периода. Его доплата предыдущему владельцу: НКД = 80 * 90 / 365 = 19,7 ₽
Купонная доходность - это проценты инвестора?
Не совсем. Каждый купонный период инвестор получает сумму определенных процентов по отношению к номиналу облигации на тот счет, который он указал при заключении договора с брокером. Однако реальный процент, который при этом получает инвестор на вложенные средства, зависит от цены приобретения облигации .
Если цена покупки была выше или ниже номинала, то доходность будет отличаться от базовой ставки купона, установленной эмитентом по отношению к номинальной стоимости облигации. Самый простой способ оценить реальный доход от вложения - соотнести ставку купона с ценой приобретения облигации по формуле текущей доходности.
Из представленных расчетов по этой формуле видно, что доходность и цена связаны между собой обратной пропорциональностью. Инвестор получает более низкую доходность к погашению, чем была установлена по купону, когда покупает облигацию по цене дороже номинала.
CY
C
г (coupon) - купонные выплаты за год, в рублях
P
(price) - цена приобретения облигации
Пример: инвестор купил облигацию с номиналом 1000 ₽ по цене чистой 1050 ₽ или 105% от номинала и ставкой купона 8%, то есть 80 ₽ в год. Текущая доходность: CY = (80 / 1050) * 100% = 7,6% годовых.
Доходность упала - цена выросла. Это не шутка?
Так и есть. Однако, для начинающих инвесторов, которые не очень четко понимают различие между доходностью к продаже и доходностью к погашению , это зачастую трудный момент. Если рассматривать облигации как портфель инвестиционных активов, то его доходность к продаже в случае роста цены, как и у акций, конечно же, вырастет. А вот доходность облигаций к погашению будет меняться иначе.
Все дело в том, что облигация – это долговое обязательство , сравнить которое можно с депозитом. В обоих случаях, при покупке облигации или размещении денег на депозит, инвестор фактически приобретает право на поток платежей с определенной доходностью к погашению.
Как известно, процентные ставки по вкладам растут для новых вкладчиков, когда деньги обесцениваются из-за инфляции. Так же доходность к погашению облигации всегда растет, когда ее цена падает. Верно и обратное: доходность к погашению падает, когда цена растет.
Новички, которые оценивают выгоду в облигациях на основе сравнения с акциями, могут прийти к еще одному ошибочному выводу. Например: когда цена облигации выросла, допустим, до 105% и стала больше номинала, то покупать ее не выгодно, ведь при погашении по основному долгу вернут только 100%.
На самом деле, важна не цена, а доходность облигации - ключевой параметр для оценки ее привлекательности. Участники рынка, когда торгуются за облигацию, договариваются только о ее доходности. Цена облигации - это производный параметр от доходности. Фактически он корректирует фиксированную ставку купона до уровня той ставки доходности, о которой договорились покупатель и продавец.
Как связаны доходность и цена облигации, смотрите в видеоролике Академии Хана - образовательном проекте, созданном на деньги Google и фонда Билла и Мелинды Гейтс.
Какая доходность будет при продаже облигации?
Текущая доходность показывает отношение купонных выплат к рыночной цене облигации. Этот показатель не учитывает доход инвестора от изменения ее цены при погашении или продаже. Чтобы оценить финансовый результат, нужно рассчитать простую доходность, которая включает дисконт или премию к номинальной стоимости при покупке:
Y
(yield) - простая доходность к погашению / оферте
CY
(current yield) - текущая доходность, от купона
N
P
(price) - цена покупки
t
(time) - время от покупки до погашения/продажи
365/t
- множитель для перевода изменения цены в проценты годовых.
Пример 1 : инвестор приобрел двухлетнюю облигацию номиналом 1000 ₽ по цене 1050 ₽ со ставкой купона 8% годовых и текущей доходностью от купона 7,6%. Простая доходность к погашению: Y 1 = 7,6% + ((1000-1050)/1050) * 365/730 *100% = 5,2% годовых
Пример 2: эмитенту повысили рейтинг спустя 90 дней после покупки облигации, после чего цена бумаги выросла до 1070 ₽, поэтому инвестор решил ее продать. Заменим в формуле номинал облигации на цену ее продажи, а срок до погашения - на срок владения. Получим простую доходность к продаже : Y 2 7,6% + ((1070-1050)/1050) * 365/90 *100% = 15,3% годовых
Пример 3: Покупатель облигации, проданной предыдущим инвестором, заплатил за нее 1070 ₽ - больше, чем она стоила 90 дней назад. Так как цена облигации выросла, простая доходность к погашению для нового инвестора будет уже не 5,2%, а меньше: Y 3 = 7,5% + ((1000-1070)/1070) * 365/640 *100% = 3,7% годовых
В нашем примере цена облигации за 90 дней выросла на 1,9%. В пересчете на годовую доходность это составило уже серьезную прибавку к процентным выплатам по купону - 7,72% годовых. При относительно небольшом изменении цены, облигации на небольшом промежутке времени могут показывать резкий скачок прибыли для инвестора.
После продажи облигации инвестор в течение года, возможно, уже не получит такую же доходность в размере 1,9% за каждые три месяца. Тем не менее, доходность, пересчитанная в годовые проценты , - это важный показатель, характеризующий текущий денежный поток инвестора. C его помощью можно принимать решение о досрочной продаже облигации.
Рассмотрим обратную ситуацию: при росте доходности цена облигации немного снизилась. В этом случае инвестор при досрочной продаже может получить убыток. Однако текущая доходность от выплат по купону, как видно в приведенной формуле, с большой долей вероятности перекроет этот убыток, и тогда инвестор все равно будет в плюсе.
Наименьший риск потери вложенных средств при досрочной продаже имеют облигации надежных компаний с коротким сроком до погашения или выкупа по оферте . Сильные колебания по ним могут наблюдаться, как правило, только в периоды экономического кризиса. Однако, их курсовая стоимость достаточно быстро восстанавливается по мере улучшения ситуации в экономике или приближения даты погашения.
Сделки с более надежными облигациями означают меньшие риски для инвестора , но и доходность к погашению или оферте по ним будет ниже. Это общее правило соотношения риска и доходности, которое действует в том числе при купле-продаже облигаций.
Как получить максимальную выгоду от продажи?
Итак, при росте цены доходность облигации падает. Следовательно, чтобы получить максимальную выгоду от роста цены при досрочной продаже, нужно выбирать облигации, доходность по которым может снизиться больше всего. Такую динамику, как правило, показывают бумаги эмитентов, имеющих потенциал для улучшения своего финансового положения и повышения кредитных рейтингов.
Большие изменения в доходности и цене могут показывать также облигации с большим сроком до погашения . Иными словами, длинные облигации более волатильны. Все дело в том, что длинные облигации формируют для инвесторов денежный поток большего объема, который сильнее влияет на изменение цены. Как это происходит, проще всего проиллюстрировать на примере тех же вкладов.
Предположим, вкладчик год назад разместил деньги на депозит по ставке 10% годовых на три года. А сейчас банк принимает деньги на новые депозиты уже по 8%. Если бы наш вкладчик мог переуступить вклад, как облигацию, другому инвестору, то покупателю пришлось бы доплатить разницу в 2% за каждый оставшийся год действия договора вклада. Доплата в данном случае составила бы 2 г * 2% = 4% сверху к денежной сумме во вкладе. За купленную на тех же условиях облигацию цена выросла бы примерно до 104% от номинала. Чем больше срок - тем больше доплата за облигацию.
Таким образом, инвестор получит больше прибыли от продажи облигаций, если выберет длинные бумаги с фиксированным купоном , когда ставки в экономике снижаются. Если же процентные ставки, напротив, растут, то держать длинные облигации становится невыгодно. В этом случае лучше обратить внимание на бумаги с фиксированным купоном, имеющие короткий срок до погашения , или облигации с плавающей ставкой .
Что такое эффективная доходность к погашению?
Эффективная доходность к погашению - это полный доход инвестора от вложений в облигации с учетом реинвестирования купонов по ставке первоначальных вложений. Для оценки полной доходности к погашению облигации или ее выкупу по оферте используют стандартный инвестиционный показатель - ставку внутренней доходности денежного потока . Она показывает среднегодовую доходность на вложения с учетом выплат инвестору в разные периоды времени. Иными словами, это рентабельность инвестиций в облигации .
Самостоятельно рассчитать ориентировочную эффективную доходность можно по упрощенной формуле. Погрешность расчетов составит десятые доли процента. Точная доходность будет чуть выше, если цена покупки превысила номинал, и чуть меньше - если была ниже номинала.
YTM
ор (Yield to maturity) - доходность к погашению, ориентировочная
C
г (coupon) - сумма купонных выплат за год, в рублях
P
(price) - текущая рыночная цена облигации
N
(nominal) - номинал облигации
t
(time) - лет до погашени
Пример 1: инвестор приобрел двухлетнюю облигацию номиналом 1000 по цене 1050 ₽ со ставкой купона 8% годовых. Ориентировочная эффективная доходность к погашению: YTM 1 = ((1000 – 1050)/(730/365) + 80) / (1000 + 1050) / 2 * 100% = 5,4% годовых
Пример 2: эмитенту повысили рейтинг спустя 90 дней после покупки облигации, и ее цена выросла до 1070 ₽, после чего инвестор решил продать облигацию. Заменим в формуле номинал облигации на цену ее продажи, а срок до погашения - на срок владения. Получим ориентировочную эффективную доходность к продаже (horizon yield): HY 2 = ((1070 – 1050)/(90/365) + 80) / (1000 + 1050) / 2 * 100% = 15,7% годовых
Пример 3: Покупатель облигации, проданной предыдущим инвестором, заплатил за нее 1070 ₽ - больше, чем она стоила 90 дней назад. Так как цена облигации выросла, эффективная доходность к погашению для нового инвестора будет уже не 5,4%, а меньше: YTM 3 = ((1000 – 1070)/(640/365) + 80) / (1000 + 1050) / 2 * 100% = 3,9% годовых
Самый простой способ узнать эффективную доходность к погашению по конкретной облигации - воспользоваться облигационным калькулятором на сайте Rusbonds.ru . Точный расчет эффективной доходности можно получить также с помощью финансового калькулятора или программы «Exel» через специальную функцию «внутренняя ставка доходности » и ее разновидности (XIRR). Эти калькуляторы вычислят ставку эффективной доходности по формуле ниже. Она рассчитывается приближенно - методом автоматического подбора чисел.
Как узнать доходность облигации, смотрите в видеоролике Высшей школы экономики с профессором Николаем Берзоном.
Самое важное!
✔ Ключевой параметр облигации - это ее доходность, цена - производный параметр от доходности.
✔ Когда доходность облигации падает, цена на нее растет. И наоборот: при росте доходности цена на облигацию падает.
✔ Сравнивать можно сопоставимые вещи. Например, чистую цену без учета НКД - с чистой ценой облигации, а полную цену с НКД - с полной. Это сравнение поможет принять решение при выборе брокера.
✔ Короткие одно-двухлетние облигации более стабильны и меньше зависят от колебаний на рынке: инвесторы могут дождаться даты погашения или выкупа эмитентом по оферте.
✔ Длинные облигации с фиксированным купоном при снижении ставок в экономике позволяют больше заработать на их продаже.
✔ Успешный рантье может получить в облигациях три вида дохода: от выплат по купонам, от изменения рыночной цены при продаже или от возмещения номинальной стоимости при погашении.
Доходчивый словарь терминов и определений облигационного рынка. Справочная база для российских инвесторов, вкладчиков и рантье.
Дисконт облигации - скидка к номинальной стоимости облигации. Про облигацию, цена которой ниже номинала, говорят, что она продается с дисконтом. Это происходит в случае, если продавец и покупатель облигации договорились о более высоко ставке доходности, чем установлена эмитентом по купону.
Купонная доходность облигаций - это ставка годового процента, которую эмитент выплачивает за пользование заемными средствами, привлеченными от инвесторов через выпуск ценных бумаг. Купонный доход начисляется ежедневно и рассчитывается по ставке от номинальной стоимости облигации. Ставка купона может быть постоянной, фиксированной и плавающей.
Купонный период облигации - промежуток времени, по истечении которого инвесторы получают проценты, начисленные на номинальную стоимость ценной бумаги. Купонный период большинства российских облигаций - квартал или полугодие, реже - месяц или год.
Премия облигации - прибавка к номинальной стоимости облигации. Про облигацию, цена которой выше номинала, говорят, что она продается с премией. Это происходит в случае, если продавец и покупатель облигации договорились о более низкой ставке доходности, чем установлена эмитентом по купону.
Простая доходность к погашению /оферте - рассчитывается как сумма текущей доходности от купона и доходности от дисконта или премии к номинальной стоимости облигации, в процентах годовых. Простая доходность показывает инвестору отдачу на вложенные средства без реинвестирования купонов.
Простая доходность к продаже - рассчитывается как сумма текущей доходности от купона и доходности от дисконта или премии к цене продажи облигации, в процентах годовых. Так как эта доходность зависит от цены облигации при продаже, то она может очень сильно отличаться от значения доходности к погашению.
Текущая доходность, от купона - рассчитывается делением годового денежного потока от купонов на рыночную цену облигации. Если использовать цену покупки облигации, то полученная цифра покажет инвестору годовую доходность его денежного потока от купонов на вложенные средства.
Цена облигации полная - сумма рыночной цены облигации в процентах от номинальной стоимости и накопленного купонного дохода (НКД). Это стоимость, которую инвестор заплатит при покупке бумаги. Издержки на выплату НКД инвестор компенсирует по окончании купонного периода, когда получит купон целиком.
Цена облигации чистая - рыночная цена облигации в процентах от номинальной стоимости без учета накопленного купонного дохода. Именно эту цену инвестор видит в торговом терминале, ее используют для расчета доходности, полученной инвестором на вложенные средства.
Эффективная доходность к погашению / оферте - среднегодовая доходность на первоначальные вложения в облигации с учетом всех выплат инвестору в разные периоды времени, погашения номинала и дохода от реинвестирования купонов по ставке первоначальных вложений. Для расчета доходности используют инвестиционную формулу ставки внутренней доходности денежного потока.
Эффективная доходность к продаже - среднегодовая доходность на первоначальные вложения в облигации с учетом всех выплат инвестору в разные периоды времени, поступлений от продажи и дохода от реинвестирования купонов по ставке первоначальных вложений. Эффективная доходность к продаже показывает рентабельность инвестиций в облигации на определенный срок.