Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

А.А. ГАЛКИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭКОНОМИКА

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)»

Владимир 2006

УДК 330.45: 519.85 ББК 65 В 631

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета

В.А. Фатуев

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой информационных систем

Тверского государственного технического университета

Б.В. Палюх

Доктор экономических наук, профессор зав. кафедрой экономики и управления на предприятиях

Владимирского государственного университета

В.Ф. Архипова

Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой алгебры и геометрии Владимирского государственного университета

Н.И. Дубровин

Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета

Галкин, А. А.

Г16 Математическая экономика: учебник / А. А. Галкин; Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2006. – 304 с. – ISBN 5-89368-624-1.

Рассматривается широкий круг типовых оптимизационных задач, возникающих в экономике, и алгоритмов, позволяющих решать эти задачи. Даны методика формализации указанных задач и их классификация. Представлены методы решения детерминированных задач статической и динамической оптимизации. По каждому типу задач и алгоритмов приведены примеры, демонстрирующие технику практического использования этих алгоритмов, а также набор задач для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов вузов, обучающихся по специальности 080801 – прикладная информатика (в экономике), а также студентов, магистрантов и аспирантов смежных специальностей очного, заочного обучения, лиц, получающих второе высшее образование, а также специалистов-практиков.

Табл. 80. Ил. 60. Библиогр.: 39 назв.

О Г Л А В Л Е Н И Е
Список принятых сокращений...........................................................................
ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................................
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................

ПО РАБОТЕ С УЧЕБНИКОМ.........................................................................
Глава 1. ПОСТАНОВКА, ФОРМАЛИЗАЦИЯ
И КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ
ЗАДАЧ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ .................................

и их формализация.............................................................................
§ 1.2. Классификация задач оптимизации.................................................


Глава 2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.................
§ 2.1. Общая и каноническая задачи линейного программирования.....
§ 2.2. Графическое решение задач ЛП.......................................................
§ 2.3. Алгебраическое решение задач ЛП.
Сущность симплекс-метода.............................................................
§ 2.4. Отыскание начального опорного решения методом
искусственного базиса......................................................................
§ 2.5. Двойственные задачи линейного программирования....................
§ 2.6. Целочисленные задачи линейного программирования.................
§ 2.7. Замечания............................................................................................


Глава 3. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ....................................................................
§ 3.1. Формулировка классической транспортной задачи (ТЗ)...............
§ 3.2. Решение классической транспортной задачи..................................
§ 3.3. Отыскание начального опорного плана методом
северо-западного угла (МСЗУ).........................................................
§ 3.4. Улучшение плана перевозок методом потенциалов......................
§ 3.5. Неклассические транспортные задачи.............................................

§ 3.6. Задачи о назначениях и распределительные задачи.......................

Задачи для самостоятельного решения......................................................
Глава 4. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫЕ
НА ГРАФАХ ..........................................................................................
§ 4.1. Основные понятия теории графов....................................................
§ 4.2. Задача о кратчайшем пути в графе...................................................
§ 4.3. Задача о критическом пути в графе.................................................
§ 4.4. Задача о графе минимальной длины..............................................
§ 4.5. Задача о максимальном потоке в графе (сети)..............................
§ 4.6. Задача об оптимальном распределении заданного
потока в транспортной сети...........................................................
Контрольные вопросы..............................................................................
Задачи для самостоятельного решения...................................................
Глава 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ ...............................................................................
§ 5.1. Аналитическое решение нелинейных задач статической
оптимизации....................................................................................
§ 5.2. Численные методы решения одномерных задач
статической оптимизации...............................................................
§ 5.3. Численные методы многомерной безусловной оптимизации
с использованием производных...................................................
§ 5.4. Численные методы многомерной оптимизации
без использования производных...................................................
§ 5.5. Численные методы оптимизации при наличии ограничений......
Контрольные вопросы...............................................................................
Задачи для самостоятельного решения....................................................
Глава 6. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ................................................................
§ 6.1. Понятие об управляемых динамических системах......................
§ 6.2. Формулировка классической задачи об оптимальном
динамическом управлении............................................................
§ 6.3. Формулировка классической задачи динамического
программирования (ДП).................................................................
§ 6.4. Принцип оптимальности Р. Беллмана...........................................
§ 6.5. Сущность метода ДП.......................................................................
§ 6.6. Основное функциональное уравнение ДП...................................

§ 6.8. Задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение

планового периода..........................................................................
§ 6.9. Задача об оптимальном плане замены оборудования..................
§ 6.10. Задача календарного планирования трудовых ресурсов...........
Контрольные вопросы...............................................................................
Задачи для самостоятельного решения....................................................
Глава 7. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ..........................................
§ 7.1. Основные понятия вариационного исчисления............................
§ 7.2. Классические задачи ВИ и соотношения для их решения..........
§ 7.3. Специфика задач оптимального динамического управления
и использование ВИ для их решения............................................
§ 7.4. Приближенные методы решения задач динамической
оптимизации средствами ВИ.........................................................
Контрольные вопросы..............................................................................
Глава 8. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ
В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ ...................................................
§ 8.1. Формулировка принципа максимума для непрерывных
систем...............................................................................................
§ 8.2. Классическая задача Эйлера...........................................................
§ 8.3. Задача оптимального управления с минимизацией затрат
энергии на управление.....................................................................
§ 8.4. Задача об оптимальном по быстродействию управлении..........
§ 8.5. Задачи об управлении линейной динамической системой
со свободным правым концом........................................................

§ 8.6. Задача об управлении линейной динамической системой

с минимизацией обобщенного квадратичного интегрального

§ 9.2. Управление линейной дискретной системой произвольного порядка с оптимизацией суммарного обобщенного

квадратичного критерия..................................................................
§ 9.3. Отыскание оптимального управления для дискретного
прототипа непрерывной динамической системы.........................
§ 9.4. Задача календарного планирования производства
и поставки продукции......................................................................
Контрольные вопросы..............................................................................
Задачи для самостоятельного решения к главам 7 – 9 .........................
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ................................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...........................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ...............................................................................................
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.............................................

Список принятых сокращений

ЦФ – целевая функция ОДР – область допустимых решений

ЛП – линейное программирование ЗЛП – задача ЛП КЗЛП – каноническая ЗЛП

ТЗ – транспортная задача ПО – пункты отправления, ПН – пункты назначения в ТЗ

МСЗУ – метод северо-западного угла МЗС – метод золотого сечения ДП – динамическое программирование ВИ – вариационное исчисление ПМ – принцип максимума; ДУ – дифференциальное уравнение

ПРЕДИСЛОВИЕ

В подготовке студентов различных технических и экономических специальностей и направлений значительное место занимает изучение типичных для соответствующей предметной области математических моделей и методов, позволяющих, оперируя этими моделями, объяснять поведение рассматриваемых систем, оценивать их характеристики, обоснованно принимать конструктивные, технологические, экономические, организационные и другие решения.

Освоение этих моделей и методов основывается на фундаменте, заложенном в довольно универсальной классической дисциплине, обычно называемой «Высшая математика». Математический аппарат, позволяющий решать типовые и наиболее важные для соответствующей сферы приложений задачи, изучается в специальных дисциплинах.

Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)», одной из таких дисциплин является «Математическая экономика». В соответствии с действующим государственным образовательным стандартом (ГОС) в программу этой дисциплины включен большой объем учебного материала, связанного с проведением математических расчетов в сфере экономики. Этот материал делится на две части.

В первой части изучаются задачи финансового анализа, которые в ГОС предшествующего поколения рассматривались в специальной дисциплине – «Финансовая математика».

Вторая часть программы содержит с точки зрения математики более сложные задачи и методы, связанные с отысканием наилучших, т.е. оптимальных, решений различных задач, встречающихся в области прикладной экономики. Ранее студенты осваивали этот материал при изучении дисциплины «Теория оптимального управления в экономических системах».

Учебная программа дисциплины «Математическая экономика» содержит широкий спектр довольно сложных для изучения вопросов. Поскольку объем времени, выделенного для аудиторных занятий по этой дисциплине, довольно небольшой, особое значение приобретает самостоятельная работа студентов с учебной литературой.

Следует отметить, что за последние 30 лет в нашей стране было издано много различных монографий, учебников и учебных пособий по математическим методам, применяемым в экономике. Однако при работе с ними у студентов возникают серьезные затруднения. Во-первых, многие из этих книг сейчас практически недоступны для студентов, так как либо отсутствуют в библиотеках вузов, либо имеются в единичных экземплярах. Во-вторых, для изучения всего предусмотренного программой материала одного учебника недостаточно, а в разных книгах, как правило, используются разный стиль изложения, разные обозначения. Нередко уровень изложения материала недоступен «реальному» студенту. В-третьих, при организации учебного процесса по дисциплинам математического характера принципиально важное значение имеет приобретение студентами практических навыков в использовании изучаемых методов, а для этого необходимы задачи для самостоятельного решения. Большинство учебных пособий по рассматриваемой тематике содержит примеры и задачи для иллюстрации техники применения излагаемых методов, но их недостаточно для того, чтобы выдать всем студентам обычной учебной группы индивидуальные задания.

Предлагаемый учебник предназначен для изучения второй, более сложной части дисциплины «Математическая экономика», в которой рассматриваются оптимизационные задачи, возникающие в экономике, и алгоритмы их решения. Он подготовлен с учетом изложенных выше обстоятельств.

В книге приведены формулировки типовых оптимизационных задач, возникающих в экономической сфере, осуществлена их формализация, изложена сущность методов и алгоритмов, позволяющих выполнять решение с иллюстрацией техники этих алгоритмов на конкретных примерах. Кроме того, по каждой теме представлен достаточно большой набор задач для самостоятельного решения, позволяющий каждому студенту дать свое индивидуальное задание.

Из огромного разнообразия возможных оптимизационных задач и предлагаемых современной наукой методов для включения в этот учебник выбраны детерминированные задачи и алгоритмы статической и динамической оптимизации. Из-за ограниченного объема книги задачи оптимизации с неопределенностями, в том числе вероятностно-статистические, интервальные, нечеткие и другие задачи и модели, а также задачи векторной оптимизации, не рассматриваются.

Книга включает девять глав. В первой даны примеры оптимизационных задач экономического характера, на которых продемонстрирована методика формализации, т.е. получения математической модели решаемой задачи, приведена классификация оптимизационных задач.

Главы вторая, третья и четвертая посвящены линейным задачам статической оптимизации. В второй главе изложены задачи и методы линейного программирования, отдельно в третьей – рассмотрены транспортные задачи, а в четвертой – оптимизационные задачи, которые интерпретируются на графах. Для каждой задачи представлен наиболее эффективный метод (алгоритм) решения и дан пример, демонстрирующий технику практического использования этого алгоритма. В пятой главе изложены аналитические и численные методы решения нелинейных задач статической оптимизации при отсутствии и наличии ограничений.

Динамические задачи оптимизации, обычно называемые задачами оптимального управления, рассмотрены в главах с шестой по девятую. В шестой главе дано общее представление о динамических системах непрерывного и дискретного типа, сформулирована классическая задача об оптимальном управлении и динамическом программировании (ДП), изложена сущность ДП и на различных примерах экономического характера показана техника его практического применения. В седьмой главе изложены основы вариационного исчисления, в восьмой – принцип максимума для непрерывных систем, а в девятой – для дискретных систем. В каждой из этих глав большое внимание уделено анализу различных частных задач и примеров, иллюстрирующих методику практического использования расчетных соотношений.

В конце каждой из глав с первой по шестую приведены задачи для самостоятельного решения. В конце девятой главы даны задачи для самостоятельного решения, посвященные методам оптимального динамического управления.

Особой проблемой, для решения которой автору в процессе работы над книгой потребовались значительные усилия, явилось то, что некоторые методы и алгоритмы в оригинальной литературе изложены так, что студентам нематематического, а информационно-экономического профиля разобраться в них довольно трудно. Поэтому необходимо было найти возможности для адаптации соответствующего теоретического материала к реальному уровню подготовки студентов, на которых ориентирована книга.

Кроме того, автор стремился при изложении большого количества существенно отличающихся задач и методов в максимальной степени выдержать единый стиль, характер, систему изложения материала. Хотелось бы надеяться, что это в определенной мере удалось осуществить.

При подготовке учебника был использован материал лекций и практических занятий по дисциплинам «Методы оптимизации», «Теория управления», «Теория оптимального управления в экономических системах» и «Математическая экономика», которые автор преподавал в течение 25 лет во Владимирском государственном университете (ВлГУ). На этих занятиях большая часть теоретического материала и задач для самостоятельного решения прошла апробацию. Электронная версия учебника включена в информационные ресурсы электронной библиотеки ВлГУ.

Несмотря на то что учебник подготовлен для студентов специальности «Прикладная информатика (в экономике)», несомненно, он может оказаться полезен студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам других профилей, поскольку оптимизационные задачи возникают всюду. Не случайно говорят, что «в природе нет ничего, в чем нельзя было бы усмотреть смысл какого-либо максимума или минимума».

Он будет благодарен всем тем, кто воспользуется книгой и сообщит свое мнение о ее содержании, возможно, о недостатках или неточностях. Для этого можно воспользоваться e_mail: [email protected] .

Работа над книгой с некоторыми перерывами велась около 10 лет, но она могла затянуться на неопределенный срок, если бы не оперативная и высококвалифицированная помощь в работе над рукописью, которую оказала аспирант И.В. Лагерь. За это автор выражает ей особую благодарность.

Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.

Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.

Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:

Метод математического моделирования;

Векторно-матричный метод;

Метод последовательного приближения;

Метод оптимальных общественных оценок.

Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:

Модели взаимодействия экономических подразделений;

Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;

Модели оптимизации;

Линейное моделирование.

Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.

Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:

1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.

2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.

3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.

Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.

Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.

Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.

Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.

Математическая экономика. Колемаев В.А.

2-е изд., перераб. и доп. - М.: 2002. - 399 с.

Дано системное представление об экономике с помощью математических моделей как макро- и микроэкономики, так и производственной и финансово-кредитной подсистем экономики.

Учебник состоит из разделов: "Математические модели макроэкономики", "Математические модели микроэкономики" и "Модели анализа, прогнозирования и регулирования экономики". Функциональная структура экономики отражена моделированием ценообразования, налогообложения и др. Отражены наиболее важные результаты, полученные отечественной и зарубежной школами математической экономики в XX в., а также новые результаты, полученные автором (1-е изд. - ЮНИТИ, 1998).

Приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических вузов, а также научных работников.

Формат: djvu

Размер: 26 ,1 Мб

Скачать: yandex.disk

Содержание
Предисловие 3
Введение. Экономика как объект математического моделирования 4
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ 14
Глава 1. Статические модели макроэкономики 15
1.1. Макроэкономические производственные функции 16
1.2. Модель Леонтьева 28
Глава 2. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем 35
2.1. Экономика как динамическая система 36
Динамическая модель Кейнса 38
Модель Самуэльсона - Хикса 40
2.2. Динамическая модель Леонтьева 44
2.3. Модель Неймана 46
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непрерывным временем 52
3.1. Математические методы исследования экономических динамических систем 53
3.1.1. Линейный динамический элемент 54
3.1.2. Мультипликатор 55
3.1.3. Акселератор 56
3.1.4. Инерционное звено 57
3.1.5. Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено 59
3.1.6. Передаточная функция 60
3.1. 7. Колебательное звено 62
3.1.8. Экономика в форме модели Самуэлъсона-Хикса как линейное динамическое звено второго порядка 67
3.1.9. Характеристики динамического звена 68
3.2. Анализ и синтез динамических систем, переходные процессы в них 72
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения 74
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения 75
3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью 76
3.2.4. Введение мультипликатора в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса 77
3.2.5. Введение акселератора в контур положительной обратной связи с динамической моделью Кейнса 80
3.2.5. Устойчивость линейных динамических систем 82
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона-Хикса 84
3.3. Линейные многосвязные динамические системы 85
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система 88
3.4. Нелинейные динамические системы. Конъюнктурные циклы в экономике 90
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса 92
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике 94
3.5. Оптимальное управление динамическими системами 98
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина 99
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума) 101
Глава 4. Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики 103
4.1. Модель Солоу 105
4.1.1. Переходный режим в модели Солоу 108
4.1.2. Золотое правило накопления ПО
4.1.3. Выигрыш, в текущем потреблении - проигрыш, в ближайшей перспективе 111
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов 112
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста 116
4.4. Трехсекторная модель экономики 122
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ 126
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста 130
4.6.1. Стагнация 131
4.6.2. Сбалансированный экономический рост 134
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний 147
4.7.1. Золотое правило распределения труда и инвестиций между секторами 149
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического оптимума 157
ЧАСТЬ II . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ 163
Глава 5. Модели поведения потребителей 164
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности 165
Модель поведения потребителя 167
5.2. Уравнение Слуцкого 168
5.2.1. Изменение спроса при увеличении цены с компенсацией 169
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода 170
Глава 6. Модели поведения производителей 173
6.1. Модель фирмы 174
6.1. 1 Реакция производителя на изменение цены выпуска 180
6.1.2. Реакция производителя на изменение цен ресурсов 181
6.2. Поведение фирм на конкурентных рынках 185
6.2.1. Равновесие Курно 187
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей 191
7.1. Модели установления равновесной цены 192
7.1.1. Паутинообразная модель 193
7.1. 2. Модель Эванса 195
7.2. Модель Вальраса 197
ЧАСТЬ III. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ 201
Глава 8. Математические модели рыночной экономики 202
8.1. Классическая модель рыночной экономики 203
8.1.1. Рынок рабочей силы 204
8.1.2. Рынок денег 206
8.2. Модель Кейнса 208
8.3. Математические модели финансового рынка 212
8.3.1. Финансовые операции 213
8.3.2. Финансовый риск 217
8.3.3. Равновесие на рынке ценных бумаг 230
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков 232
8.4.1. Модель прогнозирования финансовых рисков 233
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов 236
Глава 9. Моделирование инфляции 239
9.1. Сущность инфляции 240
9.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики 244
9.2.1. Первый полувиток инфляции 246
9.2.2. Второй полувиток инфляции 247
9.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции 249
9.4. Влияние инфляции на производство 250
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики 260
10.1. Роль и функции налогов в обществе 261
10.2. Налоги в трехсекторной экономике 266
10.3. Влияние повышения налогов на производство и потребление 274
Глава 11. Моделирование внешней торговли 280
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики 281
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок 285
11.2.1. Вхождение в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в фондосоздающий сектор 287
11.3. Золотое правило внешней торговли 292
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов 295
11.4. Влияние внешней торговли на национальную экономику 300
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами 301
11.4.2. Перераспределение ресурсов между материальным и фондосоздающим секторами 305
Глава 12. Моделирование цели общественного развития 308
12.1. Математическая теория общественного выбора 311
12.2. Модели сотрудничества и конкуренции 327
12.2.1. Кооперативные игры 328
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в трехсекторной экономике* 332
12.3. Моделирование научно-технического прогресса 337
12.3.1. Эволюторные модели научно-технического прогресса 338
12.3.2. Модель смены технологического уклада 339
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторной экономики 344
Приложения 349
Приложение 1. Свойства неразложимой матрицы прямых затрат 350
Приложение 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 353
Приложение 3. Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики в стационарном состоянии 358
Приложение 4. Оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике 364
Приложение 5. Условия Куна-Таккера 382
Литература 386

Цели и задачи изучения темы

Введение в математическую экономику

1. Предмет и задачи математической экономики

2. Математическое моделирование экономических систем

3. Примеры экономических задач оптимизации и управления

4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления

5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях

Математическая экономика (эконометрика, экономико-математическое моделирование) - сфера научной и практической деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений.

Математическая экономика – дисциплина, которая занимается изучением экономики, экономических процессов и их моделей.

Предмет математической экономики – это математические модели реальных экономических объектов.

Метод математической экономики – системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель – объект, который замещает оригинал и отражает важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема – окружающая систему среда, в которой эта система функционирует.

Подсистема – подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы.

Основная цель экономики – это обеспечение общества предметами потребления. Экономика состоит из хозяйственных единиц: предприятия, фирмы, банки и т.д. Надсистемой национальной экономики является природа, общество и мировая экономика. Подсистема состоит из следующих частей: производственная сфера и финансово-кредитная.

Особенности экономики как объекта моделирования состоят в следующем:

· модели в экономике не соответствуют техническим моделям, когда можно построить материальный объект и отработать все функции поведения, копию экономического процесса построить нельзя;

· в экономике ограничены возможности локальных экономических экспериментов, так как все ее части жестко взаимосвязаны между собой, поэтому чистый эксперимент не возможен. То есть гипотезы развития экономических явлений основываются на аналогичных явлениях, которые происходили ранее, и на математическом моделировании. Например, модель Кейса выхода экономики из кризиса 1929-1939 гг. была применена в Германии и Японии и получила название «экономического чуда».

Чтобы выработать правильное экономическое решение, необходимо учесть прошлый опыт и результаты построения экономических моделей в аналогичных ситуациях.

· при выполнении основной функции экономическая система осуществляет следующие действия:

Размещает ресурсы;

Производит продукцию;

Распределяет предметы потребления;

Осуществляет накопление.

Рассмотрим схему функционирования экономики:

В процессе производства создается ВВП, который распределяется между всеми ячейками экономики или общества.

Процесс производства предполагает наличие в нем средств и предметов труда. Средства труда участвуют в нескольких производственных циклах, вплоть до полного износа морального или физического, или их замены. Предметы труда участвуют в одном производственном цикле. В некотором случае земля является средством производства, если земля не освоена, то она является природным ресурсом или предметом труда.

Процесс накопления сопровождается созданием накопленных средств производства, которые подразделяют на основные (средства труда) и оборотные (предметы труда).

Основные производственные фонды в течение длительного времени обслуживают свою форму и в меру изнашивания учитываются в образовании стоимости производимого в данном году продукта.

Просто воспроизводство осуществляется за счет амортизационных отчислений. Расширенное – за счет капитальных вложений и частично за счет амортизационного фонда.

Оборотные фонды – предметы труда, находящиеся в процессе производства. Состоят из производственных запасов и предметов труда, которые входят в незавершенную продукцию.

В результате функционирования экономики за год все отрасли материального производства создают ВВП. В натурально-вещественной форме ВВП распадается на средства труда и предметы потребления. В стоимостной форме – на фонд возмещения выбывших основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный продукт).

В процессе создания ВВП производственная подсистема производит и вновь потребляет промежуточный продукт (предметы труда, которые используются для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП).

Валовой выпуск применяется в качестве вспомогательного показателя, который содержит в себе стоимость ВВП и промежуточного продукта, при этом стоимость предметов труда учитывается дважды в промежуточном продукте и ВВП.

Магнитогорск 2005

Сборник задач по курсу «Математическая экономика». - Магнитогорск: МаГУ, 2005. – 184 с.

В сборнике дан обзор ключевых категорий и положений, используемых в курсе «Математическая экономика». Представлены примеры решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся в области управления финансами и инвестиционными проектами, применения математических методов и моделей в исследования экономических систем и явлений.

Составители. Г.Н. Чусавитина,

В.Б. Лапшина.

 Чусавитина Г.Н., Лапшина В.Б. 2005

 Магнитогорский государственный университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ 5

Глава 1 простые проценты 7

1.1. Определение ставок и вычисление процентов 7

1.2. Простая процентная ставка 10

1.3. Простая учетная ставка 21

1.4. Погашение кредита и амортизационные отчисления 32

1.5. Вычисление средних значений 41

1.6. Валютные расчеты 48

1.7. Налог на прибыль 53

1.8. Инфляция 56

1.9. Замена и консолидация платежей 64

Глава 2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 73

2.1. Сложная процентная ставка 73

2.2. Сложная учетная ставка 91

2.3. Непрерывная ставка 101

2.4. Эквивалентность ставок 107

2.5. Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов 112

2.6. Замена платежей и сроков их выплат 125

Глава 3 АННУИТЕТЫ 132

3.1. Постоянный аннуитет 132

3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты 148

3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года 157

ВВЕДЕНИЕ

«Математическая экономика» - это название дисциплины, придуманное математиками. Экономистам больше нравится другое название –«Экономико-математические модели и методы». В учебных программах и стандартах экономических факультетов часто встречается именно такое название. На наш взгляд, эти два названия одинаково точно передают внутреннее содержание предмета, где гармонично сочетаются экономические и математические аспекты. К сожалению, на практике часто программа курса ЭММиМ целиком составляется из отдельных разделов "Исследования операций и математического программирования", которые, во-первых, уже были пройдены до этого курса, во-вторых, содержат математические модели принятия решений и оптимизации, а не экономико-математические модели как таковые.

Математическая экономика - это наука, которая использует математический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математической экономики является экономика - как часть бытия или часть обширной области человеческой деятельности.

Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные части, математическая экономика пользуется определенной методологией и имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методологическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономические объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель- получение объективной экономической информации и выработка имеющих важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую экономику можно отнести как к экономической, так и к математической наукам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам прикладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и задачами принятия решения

По своей природе экономика - самая близкая к математике социальная наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач можно увидеть математические понятия и терминологию.

Действительно, экономика - это общественная наука об использовании ограниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономической науки - рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, разработка методов экономических расчетов - по существу являются задачами, решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные вопросы экономики:

что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком количестве надо производить)?

как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов и какой технологии)?

для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться эти товары)?

Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам оптимизации и принятия решения.

С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных задачах, стоящих перед математической экономикой:

разработка математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных уровнях);

изучение поведения участников экономики (условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

изучение описательных моделей экономики (модели планирования, "затраты - выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и роста и др.);

анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).