Рассмотрим практические аспекты построения модели оценки капитальных активов CAPM с помощью Excel для отечественных акций ОАО «Газпром».
Модель оценки капитальных активов (англ. Capital Assets Price Model, CAPM) – модель оценки (прогнозирования) будущей доходности актива для инвесторов. Подход оценки активов был теоретически разработана еще в 50-е годы Г.Марковицем, и окончательно сформирован в виде модели в 60-е годы У.Шарпом (1964), Дж. Трейнором (1962), Дж. Линтнером (1965), Ж. Мосином (1966).
Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (E fficient M arket H ypothesis, EMH ), созданной еще в начале 20-го века Л. Башелье и активно продвигаемую Ю.Фамой в 60-е годы. Данная гипотеза имеет ряд условий по способу распространению информации и действию инвесторов на эффективном рынке капитала:
- Информация свободно распространяется и доступно всем инвесторам, рынок имеет совершенную конкуренцию. Другими словами, отсутствуют инсайдеры, которые обладают большим преимуществом в принятии решений и получении сверхдоходности (выше среднерыночной).
- Любое изменение информации о компании сразу приводит к изменению стоимости ее активов (акций). Это исключает возможность использования любой активной стратегии инвестирования для получения сверхприбыли. Данная предпосылка исключает возможность арбитражных сделок, когда инвестор заранее имеет полезную информацию, тогда как цена на активы компании еще не изменилась.
- Инвесторы на эффективном рынке имеют долгосрочный горизонт вложения. Это исключает возникновение резких изменений цен на активы (акции) и кризисов.
- Активы имеют высокую ликвидность и абсолютно делимы.
Исходя из гипотезы эффективного рынка, У. Шарп сделал предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние только рыночные (системные) риски. Другими словами, будущую доходность акции будут определять общее настроение рынка. Поэтому, кстати, он и был сторонником пассивного инвестирования, когда инвестиционный портфель не пересматривается от получения новой информации. Следует отметить, что на эффективном рынке невозможно получить сверхприбыль. Это делает любое активное управление инвестициями (инвестиционным портфелем) не целесообразным и ставит под сомнение эффективность вложения в ПИФы. В результате, модель У. Шарпа имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Анализируя данные постулаты эффективного рынка, можно заметить, что в современной экономике многие из них не выполняются. Модель CAPM в большей степени является теоретической моделью и может использоваться на практике в общем случае.
Модель CAPM. Формула расчета
Формула оценки будущей доходности актива (акции) по модели CAPM имеет следующий аналитический вид:
r – ожидаемая доходность актива (акций);
r f – доходность по безрисковому активу;
r m – среднерыночная доходность;
β – коэффициент бета (мера рыночного риска), который отражает чувствительность изменения стоимости активов в зависимости от доходности рынка. Данный коэффициент иногда называют коэффициент Шарпа.
Модель представляет собой уравнение линейной регрессии и показывает линейную взаимосвязь между доходностью (r) и рыночным риском (β);
σ im – стандартное отклонение изменения доходности акции от изменения доходности рынка;
σ 2 m – дисперсия рыночной доходности.
Для того чтобы лучше понять модель CAPM разберем ее на реальном примере акций предприятия ОАО «Газпром». Для этого воспользуемся программой Excel. Получить котировки акций можно на сайте finam.ru в разделе «Про рынок» → «Экспорт данных».
В нашей формуле за рыночную доходность будем брать изменения индекса РТС (RTSI), также это может быть индекс ММВБ (MICECX). Для американских акций зачастую берут изменения индекса S&P500. Были взяты ежедневные котировки акции и индекса за 1 год (250 данных), начиная с 31.01.2014 по 30.01.2015 г.
Далее необходимо рассчитать доходности акции (E) и индекса (D), по формулам:
Хочется заметить, что для оценки доходностей могла быть использована также формула расчета через натуральный логарифм:
Итоговый результат расчета доходности одинаковый.
Расчет коэффициента бета с помощью формул Excel
Для расчета коэффициента бета можно воспользоваться формулой ИНДЕКС и ЛИНЕЙН, первая позволяет взять индекс b из формулы линейной регрессии между доходностями акции и индекса, который соответствует коэффициенту бета. Формула расчета будет следующая:
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(E7:E256;D7:D256);1)
Расчет коэффициента бета через надстройку «Регрессия»
Второй вариант расчета рыночного риска модели заключается в использовании надстройки в разделе «Главное меню» → «Данные» →«Анализ данных» → «Регрессия».
В открывшемся окне необходимо заполнить два поля: «Входной интервал Y» и «Входной интервал Х» доходностями индекса и акции соответственно.
На новом листе Excel появится основные параметры модели линейной регрессии. В ячейке В18 отразится рассчитанный коэффициент линейной регрессии – коэффициент бета. Рассмотрим другие полученные параметры анализа. Так показатель Множественной R (коэффициента корреляции) между доходностью акции и индекса составляет 0,29, что показывает низкую степень зависимости доходности акции от доходности индекса. Коэффициент R-квадрат (коэффициент детерминированности) отражает точность полученной модели. Точность составляет 0,08, что очень мало для того чтобы принимать адекватные решения о прогнозировании будущей доходности на основе взаимосвязи только с уровнем риска рынка.
Что показывает коэффициент бета в модели CAPM?
Коэффициент бета показывает чувствительность изменения доходности акции и доходности рынка. Другими словами, отражает рискованность вложения в тот или иной актив. Коэффициент бета служит мерой рыночного риска. Знак перед показателем отражает их однонаправленное или разнонаправленное движение. Рассмотрим более подробно значение бета в таблице ниже:
| Значение коэффициента бета |
Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.
В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:
Ri = αi + βi Rm + εi,
где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);
αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;
βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;
Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;
εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.
βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;
βi = σi , βi = ρi,m · σi ,
где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;
σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;
ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.
Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:
Среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;
Дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.
Для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;
Отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;
Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.
На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:
Еi = αi + βi Em ,
σi² = βi² · σm² + σεi² ,
σij = βi² βj² · σm² ,
где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;
Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;
σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;
σm² - дисперсия рыночного портфеля;
σεi² - дисперсия случайной ошибки;
σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;
βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.
Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.
Ожидаемая доходность портфеля , состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:
Еп= ∑ Хi Еi
Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:
σn² = ∑ Хi² σεi² ,
σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)
Вопросы для самопроверки
1. Что такое портфель ценных бумаг?
2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.
3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.
4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?
5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?
6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?
7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?
8. Что характеризует коэффициент корреляции?
9. Что такое эффективная граница Марковица?
10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?
Как было отмечено выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определения уровня риска. Однако главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньшее количество информации используется в модели У. Шарпа. Последнюю можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса.
Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.
Анализируя поведение акций на рынке, Шарп пришел к выводу, что вовсе не обязательно определять ковариацию каждой акции друг с другом. Вполне достаточно установить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком. И поскольку речь идет о ценных бумагах, то, следовательно, нужно взять в расчет весь объем рынка ценных бумаг. Однако нужно иметь в виду, что количество ценных бумаг и прежде всего акций в любой стране достаточно велико. С ними осуществляется ежедневно громадное количество сделок как на биржевом, так и внебиржевом рынке. Цены на акции постоянно изменяются, поэтому определить какие-либо показатели по всему объему рынка оказывается практически невозможным. В то же время установлено, что если мы выберем некоторое количество определенных ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать движение всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.
Рассматривая выше взаимосвязь поведения акций друг с другом, мы установили, что достаточно трудно или почти невозможно найти такие акции, доходность которых имеет отрицательную корреляцию.
Большинство акций имеют тенденцию расти в цене, когда происходит рост экономики, и снижаться в цене, когда происходит спад в экономике.
Разумеется, можно найти несколько акций, которые выросли в цене из-за особого стечения обстоятельств, в то время когда другие акции падали в цене. Труднее найти такие акции и дать логическое объяснение тому, что эти акции будут повышаться в цене в будущем, в то время как другие акции будут снижаться в цене. Таким образом, даже портфель, состоящий из очень большого количества акций, будет иметь высокую степень риска, хотя риск будет значительно меньше, чем если бы все средства были вложены в акции одной компании.
Для того чтобы уяснить более точно, какое влияние структура портфеля оказывает на риск портфеля, обратимся к графику на рис. 12.9, который показывает, как снижается риск портфеля, если
число акций в портфеле увеличивается. Стандартное отклонение для «среднего портфеля», составленного из одной акции, котируемой на Нью-Йоркской фондовой бирже (аД составляет приблизительно 28%, Средний портфель, составленный из двух случайно выбранных акций, будет иметь меньшее стандартное отклонение - около 25%. Если число акций в портфеле довести до 10, то риск такого портфеля снижается примерно до 18%. График показывает, что риск портфеля имеет тенденцию к снижению и приближается к некоторому пределу по мере того, как величина портфеля увеличивается. Портфель, состоящий из всех акций, который принято называть рыночным портфелем, должен был бы иметь стандартное отклонение около 15,1%. Таким образом, почти половина риска, присущего средней отдельной акции, может быть исключена, если акции будут находиться в портфеле, состоящем из 40 или более акций. Тем не менее некоторый риск всегда остается, как бы широко ни был диверсифицирован портфель.
Та часть риска акций, которая может быть исключена путем диверсификации акций в портфеле, называется диверсифицируемым риском (синонимы: несистематический, специфический, индивидуальный); та часть риска, которая не может быть исключена, называется недиверсифицируемым риском (синонимы: систематический, рыночный).
Специфический фирменный риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая программа, заключение или потеря важных кош трактов и с другими событиями, которые имеют последствия для конкретной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акций можно исключить путем диверсификации портфеля. В этом случае неблагоприятные явления в одной фирме будут перекрываться благоприятным развитием событий в другой фирме. Существенно важным при этом является то, что значительная часть риска всякой отдельной акции может, быть исключена путем диверсификации.
Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все фирмы. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство фирм в одном и том же направлении, то рыночный или систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.
Известно, что инвесторы требуют премию за риск, и чем выше степень риска, тем выше требуемая норма прибыли. Однако поскольку инвесторы держат портфель акций и сталкиваются скорее с портфельным риском, чем с риском индивидуальной акции в портфеле, то возникает вопрос; как оценить риск каждой отдельной акции?
Ответ на этот вопрос дает модель оценки финансовых активов. Относящийся к делу риск индивидуальной акции - это ее вклад в риск широко диверсифицированного портфеля. Например, риск акции «Дельта» для индивидуального инвестора, имеющего портфель из 40 акций, или для инвестиционного фонда, имеющего портфель из 300 акций, будет оцениваться тем вкладом, который акция «Дельта» вносит в портфельный риск. Акция может иметь очень высокую степень риска, если ее держать саму по себе. Однако если значительная часть ее риска может быть исключена путем диверсификации, то тогда ее относящийся к делу риск, т. е. ее вклад в риск портфеля, может быть очень незначительным.
Возникает вопрос: не являются ли все акции равными по степени риска в том смысле, что добавление их к широко диверсифицированному портфелю оказывает одинаковое влияние на риск портфеля? Ответ однозначен - нет. Различные акции будут воздействовать на риск портфеля по-разному. Как можно измерить этот риск? Риск, который остается после диверсификации портфеля, - это риск, присущий рынку как целому, или рыночный риск. Поэтому относящийся к делу риск индивидуальной акции может быть измерен тем, в какой мере данная акция стремится двигаться вверх и вниз вместе с рынком.
Понятие «бета»
Тенденция акции «двигаться» вместе со всем рынком измеряется с помощью коэффициента «бета» (^-коэффициента), характеризующего степень ее изменчивости по отношению к «средней акции», в качестве которой рассматривается акция, стремящаяся «двигаться» синхронно со всем рынком акций. Такая акция по определению будет иметь (3-коэффициент, равный 1.
Это означает, что если доходность по рынку в целом увеличивается на 10%, то доходность «средней акции» возрастает в такой же степени, и наоборот -при падении - падает. Портфель акций с (3-коэффициентом, равным единице, будет иметь такую же степень риска, как и весь рынок. Если для акции р = 0,5, это означает, что ее доходность будет повышаться или падать вдвое меньше, чем у всего рынка. Портфель акций с таким ^коэффициентом будет иметь вдвое меньшую степень риска по сравнению с портфелем, имеющим Р~1. В то же время если акция имеет р = 2, то ее подвижность вдвое выше, чем у средней акции. Портфель состоящий из таких акций, будет вдвое рисковее, чем портфель из «средних акций». Стоимость портфеля акций с р = 2 растет или падает значительно быстрее, чем стоимость всего рынка акций.
Предположим, что имеются три акции А, В и С, доходности которых за три года представлень! в табл. 12.5.
Таблица 12.5
Динамика доходности акций А, В, С и рыночного портфеля
Доходность всех трех акций изменяется в одном направлении, но с разной скоростью. В 2000 г. все три акции имели одинаковую доходность 15%, которая соответствовала доходности рыночного портфеля. В 2001 г. доходность рыночного портфеля пошла вниз и стала отрицательной (-10%), доходность акций В упала до нуля, а по акциям А наблюдался наибольший спад - доходность достигла -20%. В 2002 г. доходность акции С увеличилась в полном соответствии с рыночным портфелем, тогда как по акции В она возросла в меньшей степени, а по акции А - в большей степени.
На рис. 12.10 представлены графики относительной подвижности трех акций. Наклон линии по отношению к горизонтальной оси показывает, как каждая акция движется по отношению ко всему рынку. Наклон этой линии есть не что иное, как (V коэффициент.
В США такие известные компании, как Merrill Lynch и Value Line рассчитывают 3-коэффициенты для многих сотен компаний. Для большинства акций 3-коэффициент меняется от 0,5 до 1,5, а его среднее значение для всех акций по определению равно 1.
Теоретически 3-коэффициент может быть отрицательным; это имеет место в случае, если доходность рыночного портфеля растет, а по отдельной акции она падает, и наоборот, В этом случае линия регрессии на рис. 12.10 будет иметь наклон вниз. В действительно
сти это случается чрезвычайно редко. Так, из 1700 акций, для которых рассчитываются 3_ коэффициенты фирмой Value Line, нет ни одной акции с отрицательным 3-коэффициентом.
Если 3-коэффициент у акции выше, чем среднерыночное его значение (З 1), и эту акцию добавить к портфелю с 3= 1, тогда 3-коэф- фициент портфеля возрастает, соответственно увеличивается и риск портфеля. Напротив, если к портфелю с (3=1 добавить акцию с рlt;}