Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Закон инерции квадратичных форм
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм
1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см.
замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу
отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от
нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного
преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому
виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому
виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов.
Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
где ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду
причем λ 1 , λ 2 ,..., λ k - отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые q из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты - отрицательные:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q > 0, λ q+1 < 0, ..., λ k <0.
Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат μ i (легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля) :
В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид
называемый нормальным видом квадратичной формы.
Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат
ξ 1 ,
ξ
2 ,
..., ξ
n вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
)
(это преобразование представляет собой произведение
преобразований ξ в μ и μ в η
пo формулам (7.30))
квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными
(отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит
от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования
координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого
невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду
Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в
справедливости равенства р = q.
Пусть р > q. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что
по отношению к базисам, в которых форма А(х, х) имеет вид (7.31) и (7.33),
координаты η 1 ,
η
2 ,
..., η
q и ζ р+1 ,
..., ζ n
этого вектора равны нулю:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Так как координаты η i
получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
а координаты ζ i
- с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных
уравнений относительно координат ξ 1 ,
...,
ξ
n искомого вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
) (например, в
развернутом виде соотношение η
1 = 0
имеет, согласно (7.32), вид а 11 ξ 1 + а 12 ξ 2
+ а 1 n ξ n
= 0)-
Так как р > q, то число однородных уравнений (7.34) меньше n
,
и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат
ξ 1 ,
..., ξ
n
искомого вектора х. Следовательно, если р > q, то существует ненулевой вектор х,
для которого выполняются соотношения (7.34).
Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям
(7.31) и (7.33), получим
Последнее равенство может иметь место лишь в случае
η q+1 = ... = η k =
0
и ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0
.
Таким образом, в некотором базисе все координаты ζ 1 ,
ζ 2 , ..., ζ n
ненулевого
вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т.е. вектор
х равен нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. По
аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < q.
Итак, р = q. Теорема доказана.
2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 §2 этой главы (см. определение 2)
были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной,
знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного
индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить
принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от
нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным
индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным
индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что
сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции
квадратичной формы А(х, х) соответственно равны k
, p и
q (k = p + q).B предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе
f
= (f 1 , f 2 , ..., f n)
эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где η 1 ,
η
2 , ..., η
n
- координаты вектора х в базисе f
.
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма А(х, х), заданная в n
-мерном
линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы
либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции q был
равен размерности n
пространства L.
При этом, если р = n
, то форма положительно
определенная, если же q = n, то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно
определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения
проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение
(7.35) примет вид
А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 .
Если при этом р < n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит
определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р =
n
.
2) Достаточность. Пусть р = n
. Тогда соотношение
(7.35) имеет вид А(х,х) = η 1 2 + η
2 2
+ ... + η
р 2 . Ясно, что
А(х, х) ≥
0, причем, если А = 0, то
η
1 = η
2
= ... = η n
= 0,
т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А(х, х) - положительно определенная
форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с
помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности
квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о
знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к
каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно,
чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были
отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как
положительные, так и отрицательные значения, то ее представление G.35) в
нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные
слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо
неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный
индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть р ≠ 0
и q
≠
0. Тогда для вектора x 1 , с координатами
η 1 ≠ 0, ..., η
р
≠
0, η р+1
= 0, ..., η n = 0
имеем А(х 1 x 1) > 0, а для вектора х 2 с
координатами η 1 = 0,
...,
η
р = 0, η р+1
≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х 2 ,
х 2) < 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной
формы. Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо р < n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы.
Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно квазизнакоопределенная.
Тогда, очевидно, q = 0 и р < n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Достаточность. Если р < n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0,
η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х, х) = 0, т.е. А(х, х) - положительно квазизнакоопределенная форма.
3. Критерий Сильвестра (Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) - английский
математик) знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе
е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
и пусть Δ 1 = а 11 ,
- угловые миноры и определитель матрицы (а ij
).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х)
была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
неравенства Δ 1
> 0,
Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и
достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем
Δ 1
< 0.
Доказательство. 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия
знакоопределенности квадратичной формы А(х, х) следует Δ i
≠ 0
, i
= 1, 2,..., n
.
Убедимся, что предположение Δ k
= 0 ведет к противоречию - при этом предположении существует ненулевой вектор х,
для которого А(х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть Δ k
= 0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:
Так как Δ k
- определитель этой системы и Δ k
= 0, то система имеет ненулевое решение ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k
(не все ξ
i равны 0). Умножим первое из
уравнений (7.36) на ξ 1 ,
второе на
ξ 2 ,
..., последнее на
ξ
k и сложим полученные соотношения. В
результате получим равенство 
, левая часть которого
представляет собой значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х
с координатами (ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k ,
0, ..., 0
). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности
формы.
Итак, мы убедились, что Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения
формы А(х, х) к сумме квадратов (см. теорему 7.4) и воспользоваться формулами
(7.27) для канонических коэффициентов λ i
.
Если А(х, х) - положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты
положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0. Если же А(х, х) - отрицательно определенная форма, то все канонические
коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых
миноров чередуются, причем Δ 1
< 0.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры
Δ i
в
формулировке теоремы. Так как Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
, то форму А можно привести к сумме квадратов методом
Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты λ i
могут быть найдены по формулам (7.27). Если Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0, то из соотношений (7.27) следует, что все λ i
> 0, т. е. форма А(х, х) положительно определенная. Если же знаки
Δ i
чередуются и
Δ 1
< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали выше, что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Пусть форма в базисе определяется матрицей :
, (4.20)
где – координаты вектора в базисе е . Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду
причем – отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты – отрицательные:
, , …, , , …, .
Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат :
В результате этого преобразования форма примет вид
называемый нормальным видом квадратичной формы.
Теорема 4.5 (закон инерции квадратичных форм) . Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следствие. Две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда ранги форм равны, положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.
Классификация квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов (положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной). При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным индексом инерции – число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции – число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Отрицательный и положительный индексы инерции связаны соотношением , а пара или называется сигнатурой квадратичной формы.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны , и (). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где – координаты вектора в базисе .
Пример 6 Найти нормальный вид и сигнатуру квадратичной формы
Канонический вид этой формы имеет вид: . Положим , , . Тогда . Это нормальный вид квадратичной формы. Положительный индекс инерции: , отрицательный индекс инерции . Следовательно, сигнатура квадратичной формы .
Теорема 4.6 (необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма , заданная в n-мерном линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции , либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства L. При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.
Замечание . Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
Теорема 4.7 (необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Теорема 4.8 (необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы форма была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо , , либо , .
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма в базисеопределяется матрицей : и пусть , , …, – угловые (главные) миноры и определитель матрицы . Справедливо следующее утверждение:
Теорема 4.9 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства , , …, .
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем .
Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры четного порядка были положительны и все угловые миноры нечетного порядка были отрицательны или, иначе, были выполнены неравенства , , …, , .
Следствие 2 Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные (не только угловые) миноры ее матрицы были неотрицательны.
Следствие 3 Для того чтобы квадратичная форма была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны и все главные миноры нечетного порядка были неположительны.
Следствие 4 Для того чтобы квадратичная форма была неопределенной (знакопеременной), необходимо и достаточно, чтобы у ее матрицы существовали отрицательный главный минор четного порядка и два главных минора нечетных порядков разных знаков.
Пример 7 Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность:
1) Для матрицы квадратичной формы найдем все угловые миноры
В этом случае опять только по значениям угловых миноров дать ответ нельзя. Найдем все главные миноры. Не угловые главные миноры первого порядка равны 2 и 4. Не угловые главные миноры второго порядка , . Имеется отрицательный главный минор четного порядка. Поэтому квадратичная форма неопределенная.
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.
Пусть L n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а ). Пусть в L n задан базис е = (е 1 , е 2 , … , е n ) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е 1 = (е 1 1 , е 2 1 , … , е n 1 ) – один из базисов, в котором j (а ) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е 1 . В базисе е 1 форма j (а ) имеет диагональную матрицу А 1 . По формуле (56) А 1 = Т Т ×А ×Т. Матрицы Т и Т Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А , следовательно, rang A = rang A 1 , т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.
Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.
Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:
Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х 1 2 + х 2 2 + … + х r 2 .
Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а ) = х 1 2 + х 2 2 + … + х к 2 – х к+1 2 – … – х r 2 .
Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции , разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом .
Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм ). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть j (а ) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е 1 , е 2 , … , е n ) линейного пространства L n над полем R , а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n . Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть
j = у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 =
= z 1 2 + z 2 2 + … + z р 2 – z р+1 2 – … – z r 2 . (*)
Пусть у і = , і = 1, 2, … , n (** ), и z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р . Не нарушая общности, можно считать, что к < р . Составим систему уравнений у 1 = у 2 = … = у к = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все у і и z ј и подставим их в равенство (*). Получим –(у к+1 0 ) 2 – … – (у r 0 ) 2 = (z 1 0 ) 2 +(z 2 0 ) 2 + … +(z р 0 ) 2 . Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у к+1 0 = … = у r 0 = z 1 0 = z 2 0 = … = z р 0 = 0. Получили, что система z 1 = z 2 = … = z р = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0 имеет ненулевое решение (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n . Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
9.5. Положительно определённые квадратичные формы
Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой , если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а ) > 0.
Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Доказательство. Þ Пусть j (а ) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду
у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 (*),
в котором либо r < n , либо r = n , но к < n . Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у і = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у 1 = у 2 = … = у n–1 = 0, у n = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а . Но тогда j (а ) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n , но к < n . Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у 1 2 + у 2 2 + … + у n 2 . Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.
Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.
Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.
Теорема 69 . Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.
Теорема 70 . Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.
Доказательство. Пусть Е n – n -мерное евклидово пространство, е = (е 1 , е 2 , … , е n ) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n , в = у 1 е 1 + у 2 е 2 + … + у n е n , то (а, в ) = х Т ×Г ×у , где х Т – строка координат вектора а , у – столбец координатвектора в . Следовательно, а 2 = (а , а ) = х Т ×Г ×х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х Т ×Г ×х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е n есть ортонормированный базис. В этом базисе а 2 = х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х Т ×Г ×х приводится к нормальному виду х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . По теореме 68 получаем, что форма х Т ×Г ×х является положительно определённой.
Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 .
2. 4х 1 х 2 – х 1 х 3 + 2х 2 2 – 4х 2 х 3 + 3х 2 х 4 + 5х 4 2 .
3. 4х 1 2 – 5х 1 х 2 + 3х 2 2 – 2х 2 х 3 + х 3 2 + 4х 2 х 4 – х 4 2 .
Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 = (4х 1 2 – х 1 х 2 + ) – + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 =
Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .
Канонический вид
Вещественный случай
В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}где
r
{\displaystyle r}
- ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы
p
+
q
=
n
{\displaystyle p+q=n}
, а в случае вырожденной -
p
+
q
<
n
{\displaystyle p+q
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.
Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).
Комплексный случай
В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).
В п. 1 § 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны . В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где - координаты вектора х в базисе .
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение:
Для того чтобы квадратичная форма заданная в n-мерном линейном пространстве была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства
При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид
Если при этом то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
форма обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно,
2) Достаточность. Пусть Тогда соотношение (7.35) имеет вид . Ясно, что причем, если , то , т. е. вектор х нулевой. Следовательно, - положительно определенная форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение:
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть . Тогда для вектора с координатами имеем , а для вектора с координатами имеем .