Таблица 6 функций. Лекции - Теория и практика оценочной деятельности - файл Теория и практика оценочной деятельности лекции.doc. Взнос на амортизацию

6 ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ. ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Теория изменения стоимости денег исходит из предположения, что деньги , являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени. Выделяют Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Текущая стоимость (PV) (англ. Present value) - исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.

Будущая стоимость (FV) (англ. Future value) - сумма долга с начисленными процентами в конце срока.

Ставка дохода или процентная ставка (i) (англ. Rate of interest) - является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период.

Срок погашения долга (n ) (англ. Number of periods) - интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов, обычно равных по длине (например, месяц, квартал, год), в конце которых регулярно начисляются проценты.

Частота накоплений в год (k) - периодичность начисления процентов оказывает влияние на величину накопления. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

ОБОЗНАЧЕНИЯ К ФОРМУЛАМ

FV – будущая стоимость денежной единицы;

PV – текущая стоимость денежной единицы;

PMT – равновеликие периодические платежи;

i – ставка дохода или процентная ставка;

n – число периодов накопления, в годах;

k – частота накоплений в год.

6 ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ

Формула сложных процентов - 1 функция

Будущая стоимость денежной единицы (FV) – накопленная сумма денежной единицы. Накопленная сумма денежной единицы показывает, какую сумму будет составлять денежная единица, вложенная сегодня, через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности).

Начисление процентов 1 раз в год: FV = PV * [(1+ i ) n ] или FV = PV *

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: FV = PV * [(1+ i / k ) nk ]

Формула сложных процентов - 2 функция

Текущая стоимость денежной единицы (P V) или текущая стоимость реверсии (перепродажи) показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.

Начисление процентов 1 раз в год: PV = FV * или PV = FV *

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV *

Формула сложных процентов - 3 функция

Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Обычный аннуитет:

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

Авансовый аннуитет:

Формула сложных процентов - 4 функция

Основой финансовой математики являются следующие шесть функций

сложного процента (или шесть функций денег):

1. Будущая стоимость единицы (накопленная сумма единицы) – FV (Future value ).

2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период) – FVA (Future value of an annuity ).

3. Фактор фонда возмещения (периодический взнос в фонд накопления) – SFF (Sinking fund factor ).

4.Текущая стоимость единицы (дисконтирование, реверсия) – PV (Present value ).

5.Текущая стоимость аннуитета – PVA (Present value of annuity ).

6.Взнос на амортизацию единицы – IAO (Installment of amortize one ).

Эти функции используются в различных финансовых расчетах. Рассмотрим каждую из этих функций с точки зрения ее математической формулировки и сферы применения.

Функции наращения

Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма единицы)

Данная функция позволяет определить будущую стоимость инвестированной денежной единицы, исходя из предполагаемых: ставки дохода (r), срока накопления (n) и периодичности (частоты) начисления процента (m):

FV = PV * (1+ r)n = PV * FМ1(r, n),

где FV – будущая стоимость денег;

PV – текущая стоимость денег;

r – ставка дохода;

n – число периодов накопления.

FМ1(r, n) = (1+ r)n – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах. Иногда его обозначают как FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель будущей стоимости).

Экономический смысл множителя FМ1(r, n) состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица через (n) периодов при заданной процентной ставке (r). Справедливость формулы очевидна (рисунок 6.7).

Если на депозит положена сумма PV, то через один период начисления эта сумма станет равна:

FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),

через два периода она станет равна:

FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,

FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.

Рисунок 6.7 – Будущая стоимость денежной единицы

Пример. $1000 вложено в банк под 10 % годовых. Какая сумма накопится на счете через 5 лет? 10% переводим в относительные единицы, для этого делим их на 100% и получаем 10% / 100% =0,1.

FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.

Правило 72-х. Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное «Правило 72-х», согласно которому – количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется по формуле:

n = 72 / r .

Данное правило позволяет получить точные результаты при значениях r: 3% < r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.

Например, при ставке 6% годовых сумма удвоится за 72 / 6 = 12 лет.

Более частое, чем один раз в год, начисление процентов. Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае необходимо ставку процента разделить на частоту накопления в течение года (m), а число лет накопления (n) умножить на частоту накопления в течение года (m). Формула расчета будет выглядеть следующим образом:

FV = PV (1 + r/m)n*m,

где m – частота начисления процентов в год;

n – число лет, в течение которых происходит накопление.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. Приведенное преобразование справедливо в отношении всех шести функций.

6.2.1.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)

Данная функция показывает, какой будет стоимость серии равных

платежей величиной (А) по истечении установленного срока их наращения (n) (рисунок 6.8).

Рисунок 6.8 – Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

Из рисунка 6.8 видно, что будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо (FVАpst) может быть оценена как сумма наращенных поступлений.

Очевидно, что будущая стоимость последнего платежа совпадает с величиной самого платежа, т.к. отсутствует период наращения:

Будущая стоимость предпоследнего платежа будет наращена за один период и составит:

Аналогично наращиваются все платежи. Будущая стоимость первого платежа будет наращена за (n-1) периодов и составит:

FVn-1= А·(1+r) n-1.

Их общую сумму можно выразить как:

FVАpst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А

Вынесем (А) за знак скобки и обозначим (1+r) через (q). Получим выражение:

FVА = А·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).

Теперь отчетливо видно, что многочлен, содержащийся в скобках, называемый мультиплицирующий множитель и обозначаемый (FМ3(r, n)), представляет собой сумму членов геометрической прогрессии (S), но записанной в обратном порядке:

S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1

Умножим обе части этого уравнения на (q) и получим:

S·q = q + q2… + qn-1+ qn

Вычтя из полученного уравнения предыдущее, получим:

S·q – S = qn–1.

S = (qn– 1) / (q – 1)

Теперь, подставив вместо (q) его значение (1+r), получаем формулу расчета мультиплицирующего множителя:

FМ3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r

Следовательно, выражение для будущей стоимости обычного аннуитета величиной (А) за (n)периодов будет иметь вид:

FVАpst = А·FМ3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).

Данный мультипликатор еще называют - процентный множитель будущей стоимости аннуитета FVIFA(r, n) – Future Value Interest Factor of Annuity. Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного (на определенный срок) накопленного аннуитета величиной в одну денежную единицу к концу срока его действия.

Поскольку значения множителя (FМ3(r, n)) зависит лишь от (r) и (n), то они рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Пример. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10% годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

FVА5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59

Теперь рассмотрим случая авансового аннуитета (рисунок 6.9).

Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго... n -го периода:

FV1= А·(1+r) ,

FV2= А·(1+r)2,

…………………………………………….……….

FVn= А· (1+r)n

FVАpre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).

Рисунок 6.9 – Будущая стоимость авансового аннуитета (пренумерандо)

Сравнив формулы расчета FVАpst и FVАpre, легко убедиться, что

FVАpre = FVАpst (1+ r).

Произведя соответствующее умножение, получим:

FVАpre = FVАpst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =

А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).

Периодические депозиты могут вноситься чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. При этом количество начислений увеличится в m раз и составит (n·m), а ставка уменьшится в m раз и составит (n/m). Тогда ранее полученная формула примет вид:

FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).

Чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма.

Пример. Если вкладывать ежемесячно $75 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

FVА5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.

Фактор фонда возмещения

Данная функция позволяет рассчитать величину периодического платежа (А или SFF, как его в таком случае называют), необходимого для накопления нужной суммы (FVА) по истечении (n)платежных периодов при заданной ставке процента (r) (рисунок 6.10).

Рисунок 6.10 – Периодический взнос в фонд накопления

Из формулы будущей стоимости аннуитета (FVА = А·FМ3(r, n)) следует, что величина каждого платежа (SFF или А) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:

SFFpst = Аpst = FVА / FМ3(r, n) = FVА·r/((1 + r)n− 1) = FVА·FМ5(r, n) .

где FМ5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Экономический смысл множителя FМ5(r, n) состоит в том, что он показывает величину периодических платежей необходимых для накопления одной денежной единицы через (n) периодов.

Пример. Необходимо за 4 года скопить $1000 при ставке банка 10%. Сколько придется вкладывать каждый год?

SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.

В случае авансового фонда возмещения (соответствующего авансовому аннуитету) формула единичного платежа (SFFpre) имеет вид:

SFFpre = FVА·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).

Функции дисконтирования

Суть оценки стоимости - приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Сум, полученный завтра, стоит меньше, чем сум, полученный сегодня. Это обусловлено тем, что, во-первых, деньги со временем приносят доход; а во-вторых, - инфляционные процессы обесценивают сум. Для определения текущей стоимости завтрашнего сума необходимо провести соответствующие расчеты.

Ниже рассматриваются шесть функций денег, связанные с использованием сложных процентов, о которых эксперт-оценщик должен знать и постоянно использовать в практике оценки.

Вкратце охарактеризуем основные понятия, встречающиеся в данной главе.

Денежные суммы. При оценке стоимости предприятия, приносящего чистый доход, важно определить денежные сум­мы, которые будут инвестированы в него и получены от этих инвестиций в процессе функционирования предприятия. Опре­деление размеров этих денежных сумм позволяет сделать за­ключение в том, обеспечат ли данные инвестиции положительнук) ставку дохода, при которой поступление денежных средств превысит их отток на покрытие будущих затрат.

Время. Самое дорогое в этом мире - это время - его нельзя вернуть. Вложенный в дело капитал со временем приносит процент, который, в свою очередь, используется для получения еще большего процента. Время измеряется периодами или интервалами, которые составляют день, месяц, квартал, год и т.д.

Риск. Под инвестиционным риском понимается неопределенность в получении чистых доходов от вложенных инвести­ций.

Ставка дохода. Ставка чистого дохода от инвестиций - это процентное отношение чистого дохода к вложенному капиталу. Ставка дохода предполагает оценку сумм ожидаемого чистого дохода и времени их получения. Ставка дохода на инвестиции часто называется ставкой конечной отдачи. Из различных вари­антов инвестиционных проектов выбирается тот, по которому ставка дохода наиболее высока (если эксперты руководствуют­ся экономическими критериями). Если ставки дохода двух про­ектов одинаковы, выбирается проект с меньшим риском. Для выбора варианта инвестирования производится сопоставление ставок дохода и рисков, соответствующих этим вариантам. Лишь после анализа этих сопоставлений можно сделать вывод о выборе варианта инвестирования.

Чистый доход. Чистый доход определяется как сумма чис­той прибыли, полученной после уплаты налогов и других обя­зательных платежей и амортизационных отчислений.

Аннуитет (обычный) - серия равновеликих платежей, пер­вый из которых осуществляется через один период, начиная с настоящего момента, то есть платеж производится в конце рассматриваемых периодов.

Сложный процент. Сложный (кумулятивный) процент озна­чает, что полученный процент, положенный на депозит вме­сте с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. Вследующий период времени он наряду с пер­воначальным депозитом уже сам приносит процент. Простой процент не предполагает получения дохода с процента. Специальные таблицы шести функций денежной единицы (прило­жение 1) помогают экспертам-оценщикам вести расчеты с ис­пользованием сложных процентов. Таблицы состоят из шести колонок, в которых помещены значения, полученные исходя из шести функций денежной единицы.

Первая функция - накопление суммы денежной единицы. Вторая функция - накопление денежной единицы за период. Третья функция - фактор фонда возмещения. Четвертая функция - текущая стоимость денежной единицы Пятая функция - текущая стоимость аннуитета. Шестая функция - внос на амортизацию денежной единицы. Далее рассматриваются порядок расчетов и использование шести функций денежной единицы.

5.1. Первая функция сложного процента

(будущая стоимость денежной единицы - колонка 1)

При расчете ставки дохода на инвестиции, как основного критерия при выборе инвестиционного проекта, используется эффект сложного процента, то есть расчета и учета на вложенный процент.

Денежные средства в примерах, приведенных в настоящем учебном пособии, измеряются в основном в долларах. Это позволяет не учитывать инфляционные процессы в экономике и упростить проводимые расчеты.

Предполагается, что 100 долларов депонированы на специальном счете и приносят ежегодный доход, который накапли­вается. В первый год 100 долл.принесут 10 долл.в виде процента (10% от 100 долл.= 10 долл.). В конце года остаток на специальном счете составит (ПО долл. ЦОО долл. + 10 долл. =110долл.). Если далее вся сумма в 110 долл. будет в течении второго года находится на депозите, то к концу второго года процент на нее составит уже 11 долл. (10% от НО долл. = 11долл.). Если весь остаток будет оставаться на депозите, то к концу пятого года остаток составит уже 161,05 долл. При про­стом проценте в 10% ежегодный доход составит 10 долл. Через пять лет, накопленная сумма составит 150 долл. (100 долл. + 5- 10 долл.= 150 долл.). Разница от разных форм депозита со­ставила 11,05 долл.

В связи с тем, что функции сложного процента часто ис­пользуются в расчетах денежных потоков и в оценке стоимости предприятий, необходимо познакомиться со специальными таблицами шести функций денежной единицы, содержащими предварительно рассчитанные элементы (отдельные множите­ли) сложного процента. Расчет сложного процента в специальной таблице осуществляется по следующей формуле:

Где: S t - депозитная сумма после периодов, если вложен 1 долл.;

1 - один доллар; i - периодическая ставка процента; t - число периодов.

Если инвестор знает из таблицы, сколько будет стоить один доллар через 10 лет при ежегодном накоплении в 10%, то он будет знать, сколько к концу 10 лет будет стоить и инвестированная им сумма, например в 5000 долл.Для этого стоимость 1 долл. к концу 10-летнего периода, взятая в специаль­ной таблице сложного процента (колонка 1), умножается на 5000 долл.(2,594- 5000 = 12 970 долл.).

Накопление денежных средств может происходить более часто, чем год: ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или каждое полугодие. При более частом накоплении денежных средств эффективная ставка процента снижается. Расчет произ­водится по основной формуле с определенной ее корректировкой, число лет (i ), на протяжении которых происходит накопление, умножается на частоту накопления в тече­нии года (если накопление осуществляется раз в квартал, то на 4, если раз в месяц, то на 12), а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления»

5.2. Вторая функция сложного процента

(текущая стоимость денежной единицы - колонка 4)

Текущая стоимость денежной единицы (стоимость реверсии, V) - это величина, обратная накопленной сумме единицы:

Текущая стоимость денежной единицы - это текущая стои­мость одного доллара, которая будет получена в будущем.

Коэффициент текущей стоимости денежной единицы исполь­зуется для оценки текущей стоимости известного (или прогнози­руемого) единовременного поступления денежных средств с учетом заданного процента (с учетом ставки дисконта).

Завтрашняя денежная единица стоит меньше, чем она сто­ит сегодня, а на сколько - зависит, во-первых, от разрыва во времени между оттоком и поступлением денежных средств, во-вторых, - от величины необходимой ставки процента (ставки дисконта).

Если ставка дисконта равна 10%, то 100 долл., которые мы получим через год, имеют текущую стоимость в 90,91 долларов. Для проверки проведём обратную процедуру. Если инвестор сегодня располагает суммой в 90,91 долл. и может получить в те­чении года 10%, то доход, полученный за счет процентов, составит 9,09 долл. В этом случае через год остаток увеличится до 100 долл.(90,91+9,09=100)

Связь проведенных расчетов с оценкой стоимости пред­приятий заключается в следующем. Допустим, инвестору не­обходимо определить, сколько нужно заплатить сегодня за оцениваемое предприятие, чтобы получить от него доход в 10% годовых, а через два года его продать, например, за 10 млн. долл. Если инвестор собирается получить 10% на вложенный капитал, то сумма, которую он может предложить за предприятие сегодня, - 8,264 млн.долл.

Частое использование в практических расчетах коэффициента текущей стоимости единицы обусловило разработку специальных таблиц, с помощью которых можно быстро найти нужный коэффициент текущей стоимости единицы (колонка-4)

В случае более частого дисконтирования, чем один год, номинальная (годовая ставка) дисконта делится на частоту интервалов, а число периодов в году умножается на число лет. Число периодов в году принимается равным либо 4, либо 12, если интервалом является соответственно квартал или месяц.

5.3. Третья функция сложного процента

(текущая стоимость денежно единичного аннуитета - колонка 5)

Данная функция денег раскрывает текущую стоимость обычного аннуитета, то есть текущей стоимости серии равновеликих платежей.

Эта ситуация может возникнуть, если собственник сдает активы предприятия в аренду и хочет получать ежегодную арендную плату в 100 тыс. долл. в течении следующих 4 лет. При 10%-ной ставке дисконта текущая стоимость первого арендного платежа в 100 тыс. долл. через год равна 90,91 тыс. долл. (100 тыс. долл.- 0,9091=90,91 тыс. долл.), второго аренд­ного платежа - 82,64 тыс. долл.(100 тыс. долл.- 0,8264=82,64 тыс.долл.), третьего арендного платежа - 75,13 тыс.долл., четвертого - 63,30 тыс. долл. Таким образом, текущая стоимость арендных платежей в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет при 10%-ной ставке дисконта составляет 316,98 тыс. долл. Последняя сумма - справедливый текущий эквивалент ежегодных поступлений в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет от аренды предприятия.

Для практического использования обычного аннуитета разра­ботаны специальные таблицы. Феномен обычного аннуитета на­зывается также фактором Инвуда по имени американского уче­ного Вильяма Инвуда (1771-1843), открывшего этот феномен.

Фактор Инвуда (а) рассчитывается по следующей формуле:

Текущая стоимость аннуитета (a i) может быть рассчитана как сумма текущих стоимостей 1 долл. за определенный период времени:

Для построения таблицы обычного аннуитета необходимо сложить данные текущей стоимости единицы за соответствую­щее число лет.

Если периодические платежи поступают чаще, чем один раз в год, номинальную (годовую) ставку процента необходи­мо разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Если собственник договаривается с арендатором о том, что он (арендатор) будет осуществлять равномерные авансовые платежи по следующей схеме: первый платеж немедленно после подписания контракта, а последующие, равные платежи через определенный период, то такие платежи называются авансовым аннуитетом.

При авансовом аннуитете первый платеж не дисконтирует­ся, поскольку он вносится сразу, последующие поступления же дисконтируются: второй платеж дисконтируется с использованием фактора текущей стоимости единицы для первого интервала, который можно взять из специальных таблиц слож­ного процента (колонка-5). Для превращения обычного аннуитета в авансовый необходимо к фактору обычного аннуитета, укороченного на один период, добавить единицу. При добавле­нии единицы учитывается первое поступление, которое осуществляется сразу после подписания контракта. Таким обра­зом, при сокращении денежного потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Пример. Арендная плата за пользование имуществом предпри­ятия составляет 100 тыс. долл. и выплачивается по контракту в те­чении 4 лет в начале каждого года. Текущая стоимость авансового ануитета при ставке дисконта в 10% составляет 348,68тыс.долл,и распределяется следующим образом: текущая стоимость первого платежа - 100 тыс. долл., второго - 90,91 тыс. долл., третьего - 82,64 тыс.долл., четвёртого - 75,13 тыс.долл.

Доход от владением предприятием может быть получен: 1) в виде денежного потока от арендных платежей за арендован­ное имущество предприятия или от прибыли; 2) в виде единовременной выручки от продажи активов предприятия. Для оценки этих видов доходов используется два различных фактора сложного процента: для денежного потока используется фактор текущей стоимости аннуитета; для единовременного дохода от продажи - фактор текущей стоимости единицы.

Пример. На протяжении 25 лет в конце каждого года предприятие приносит владельцу прибыль, равную 65 тыс. долл. Владелец решил продать предприятие за 500 тыс. долл. Ставка дисконта составляет 12%. Для оценки доходов от прибыли предприятия fro специальной таблице сложного процента (ко­лонка-5) определяем текущую стоимость аннуитета. Она составляет при ставке дисконта 12% и продолжительности 25 лет - 7,8431, Умножая ежегодную прибыль в 65 тыс. долл. на теку­щую стоимость аннуитета 7,8431, определим текущую стоимость потока прибыли за 25 лет функционирования предпри­ятия. Она составит 509804 долл.

Для оценки текущей стоимости от продажи предприятия через 25 лет используем фактор текущей стоимости единицы (колонка-4). Он равен 0,0588. Умножая полученный доход от продажи предприятия (500 тыс. долл.) на фактор текущей стоимости единицы (0,0588), получим текущую стоимость до­хода от продажи предприятия (29,411 тыс. долл.). Тогда общая текущая стоимость активов предприятия оценивается в 539,215 тыс.долл. Вданном примере использованы два фактора сложно­го процента: текущая стоимость единицы и текущая стоимость обычного аннуитета.

Возможна ситуация, когда доход от продажи предприятия может быть большим или меньшим, чем 500 тыс. долл., то есть, имеет место неопределенность. Эту неопределенность можно учесть, используя для оценки дохода от продажи ставку дисконта не 12%, как для доходов от прибыли, а, например, 15%. В этом случае оценочная текущая стоимость активов пред­приятия составит:

65 тыс. долл. х 7,8431 = 509 802 долл.

500 тыс. долл. х 0,0304 = 15 200 долл.

525 002 долл.

5.4. Четвёртая функция сложного процента

(взнос на амортизацию денежной единицы - колонка-6)

Внос на амортизацию денежной единицы - это регуляр­ный периодический платеж в погашение кредита, приносяще­го процентный доход. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета.

Амортизация в данном случае - это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени. Взнос на амортизацию кредита математически определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Взнос на амортизацию единицы равен обязательному периодическому платежу по кредиту, включающему процент и выплату части ос­новной суммы. Это позволяет погасить кредит и проценты по нему в течение установленного срока.

Как показано выше, 1 долл., ожидаемый к получению в конце каждого года на протяжении 4 лет, имеет при 10% годо­вой ставке текущую стоимость 3,1698. Первый доллар будет стоить 0,90909 долл., второй - 0,8264 долл., третий - 0,7513 долл., четвертый - 0,6830 долл. Сумма за четыре года составит 3,1698 долл.(0,90909 + 0,8264 + 0,7513 + +0,6830 » 3,1698).Это текущая стоимость аннуитета.

Величина износа на амортизацию единицы равна обратной величине текущей стоимости аннуитета, то есть взнос на амортизацию 1 долл.составляет величину обратную 3,1698 долл. При кредите в 3,1698 долл. под 10% годовых ежегодный платеж на его погашение в течение 4 лет равен 1 долл.

Математическое отношение одного платежа к первона­чальной годовой сумме кредита, то есть взнос на амортизацию кредита, составляет

Эта величина показывает размер периодического платежа для погашения задолжности по кредиту 3,1698 долл.Таким об­разом, для того, чтобы полностью погасить долг - его первоначальную сумму и начисляемые на остаток 10% годовых за каждый доллар кредита по окончании каждого года в течение 4 лет - необходимо выплачивать 0,315477 долл.

Чем выше процентная ставка и/или короче амортизацион­ный период, тем выше должен быть обязательный периодический взнос. И, наоборот, чем ниже ставка процента и/или более продолжительный период выплаты кредита, тем ниже процент регулярного взноса.

Каждый взнос на амортизацию единицы включает процент и выплату части первоначальной основной суммы кредита. Со­отношение этих составляющих изменяется с каждым плате­жом.

Практическое использование фактора взноса на амортизацию единицы обусловило разработку специальных таблиц, которые со­держат значение этого фактора в расчете на один доллар кредита или 100 долл. и т.д. При составлении таблиц используется формула, обратная формуле текущей стоимости аннуитета:

Где: РМТ - фактор взноса за амортизацию единицы; i - пе­риодическая ставка процента; t - число периодов; а - текущая стоимость аннуитета.

Если условия выдачи кредитов предусматривают ежемесяч­ное или поквартальное погашение за должности, то номинальная ставка годового процента делится на частоту начисле­ния процента (соответственно на 12 или на 4), а для того, чтобы определить общее число периодов, число периодов в течение года умножается на общее число лет.

Как было указано выше, с течением времени сумма по выплачиваемым процентам уменьшается, так как уменьшается остаток (процент начисления на остаток), а сумма основной выплаты возрастает.

5.5. Пятая функция сложного процента

(накопление денежной единицы за период - колонка 2)

Фактор накопления единицы позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечении всего установленного срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце ка­ждого из периодических интервалов. Если мы вкладываем в течении трех лет 1 долл., то при ставке 10% годовых доллар, де­понированный в конце первого года, будет приносить процент в течение последующих двух лет; доллар, депонированный в конце второго года, будет приносить процент в течение после­дующего одного года; доллар, депонированный в конце третьего года, не принесет процентов вовсе.

Пример. Предприниматель хочет накопить определенную сумму для покупки нового станка. Станок стоит 4,641 долл.

Он каждый год (в конце года) откладывает на депозит по одному доллару, который приносит 10%-ный годовой доход. К концу четвертого года он скапливает необходимую сумму (4,641 долл.) и покупает станок.

Расчет специальных таблиц накопления единицы за период S(ti i) осуществляется по следующей формуле:

Результаты расчётов помещаются в колонку 2 специальной таблицы сложного процента.

5.6. Шестая функция сложного процента

(фактор фонда возмещения - колонка 3)

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 долл. При этом учитывается процент, полу­чаемый по депозитам.

Пример. Для получения одного долл., через четыре года при нулевом проценте необходимо депонировать в конце каж­дого года по 25 центов. Если ставка процента составит 10%, то по окончании каждого года необходимо депонировать всего 21,5471 центов. Разница между 1 долл. и суммы четырех вкладов (4- 21,5471 = 86,1884 центов), равная 13,8116 центов (100 центов-861884 центов), представляет собой процент, полученный по вкладам.

Пример. Предположим, что предпринимателю необходимо за четыре года скопить 4,641 долл., для покупки станка. Какие суммы денег ему необходимо откладывать каждый год при 10% годовых, чтобы через четыре года купить станок стоимостью 4,641 долл.?

Ответ: ежегодный вклад должен составить 1 долл. (0,215471 4,641=1 долл.).

В специальной таблице сложного процента (см. Приложение 1) фактор фонда возмещения находится в колонке 3.

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую не­обходимо депонировать в каждый период, чтобы по истечении заданного числа периодов остаток достиг одного доллара. Эта величина является обратной фактору накопления единицы за период (колонка 2).

Фактор фонда возмещения равен части от взноса на амортизацию 1 долл., который в свою очередь состоит из двух слагаемых: первый - ставка процента, второй - фактор фонда возмещения или возврат инвестированной суммы.

Приложение 1

Таблицы сложных процентов-шесть функций

денежной единицы

Начисление процентов - ежегодное

Год


Будущая стоимость единицы

Накопление единицы за период

Фактор фонда возмещения

Текущая стоимость единицы

Текущая стоимость единичного аннуитета

Взнос за амортизацию единицы

1
1,06000
1,00000
1,00000
0,94340
0,94340
1,06000

2
1,12360
2,06000
0,48544
0,89000
1,83339
0,54544

3
1,19102
3,18360
0,31411
0,83962
2,67301
0,37411

4
1,26248
4,37462
0,22859
0,79209
3,46511
0,28859

5
1,33823
5,63709
0,17740
0,74726
4,21236
0,23740

6
1,41852
6,97532
0,14336
0,70496
4,91732
0,20336

7
1,50363
8,39384
0,11914
0,66506
5,58238
0,17914

8
1,59385
9,89747
0,10104
0,62741
6,20979
0,16104

9
1,68948
11,49132
0,08702
0,59190
6,80169
0,14702

10
1,79085
13,18079
0,07587
0,55839
7,36009
0,13587

11
1,89830
14,97164
0,06679
0,52679
7,88687
0,12679

12
2,01220
16,86994
0,05928
0,49697
8,38384
0,11928

13
2,13293
18,88214
0,05296
0,46884
8,85268
0,11296

14
2,26090
21,01507
0,04758
0,44230
9,29498
0,10758

15
2,39656
23,27597
0,04296
0,41727
9,71225
0,10296

16
2,54035
25,67253
0,03895
0,39365
10,10590
0,09895

»7
2,69277
28,21288
0,03544
0,37136
10,47726
0,09544

18
2,85434
30,90565
0,03236
0,35034
10,82760
0,09236

19
3,02560
33,75999
0,02962
0,33051
11,15812
0,08962

20
3,20714
36,78559
0,02718
0,31180
11,46992
0,08718

21
3,39956
39,99273
0,02500
0,29416
11,76408
0,08500

22
3,60354
43,39229
0,02305
0,27751
12,04158
0,08305

23
3,81975
46,99583
0,02128
0,26180
12,30338
0,08128

24
4,04893
50,81558
0,01968
0,24698
12,55036
0,07968

25
4,29187
54,86451
0,01823
0,23300
12,78336
0,07823

26
4,54933
59,15638
0,01690
0,21981
13,00317
0,07690

27
4,82235
63,70576
0,01570
0,20737
13,21053
0,07570

28
5,11169
68,52811
0,01459
0,19563
13,40616
0,07459

29
5,41839
73,63980
0,01358
0,18456
13,59072
0,07358

30
5,74349
79,05818
0,01265
0,17411
13,76483
0,07265

31
6,08810
84,80168
0,01179
0,16425
13,92909
0,07179

32
6,45339
90,88978
0,01100
0,15496
14,08404
0,07100

33
6,84059
97,34316
0,01027
0,14619
14,23023
0,07027

34
7,25102
104,18375
0,00960
0,13791
14,36814
0,06960

35
7,68609
111,43478
0,00897
0,13011
14,49825
0,06897

36
8,14725
119,12087
0,00839
0,12274
14,62099
0,06839

37
8,63609
127,26812
0,00786
0,11579
14,73678
0,06786

38
9,15425
135,90421
0,00736
0,10924
14,84602
0,06736

39
9,70351
145,05846
0,00689
0,10306
14,94907
0,06689

40
10,28572
154,76197
0,00646
0,09722
15,04630
0,06646

Суть оценки стоимости приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Величина текущей стоимости прибыли не соответствует величине будущей прибыли, так как гривна, полученная завтра, стоит меньше, чем гривна, полученный сегодня. Это обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, деньги со временем приносят доход; во-вторых, инфляционные процессы обесценивают рубль. В связи с этим, чтобы определить текущую стоимость завтрашней гривны, необходимо проводить соответствующие расчеты.

Для определения стоимости собственности, приносящей до ход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.

Известно, а в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление - это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование - это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществля ется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.

Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, можно воспользоваться финансовым калькуля тором для расчета искомой величины.

1 функция: Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы), (fvf , i , n).

Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:

k - частота накоплений в год.

Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость де нежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).

Правило 72х

Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки до хода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.

Типичным примером для будущей стоимости денежной единицы может служить задача.

Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3го года, если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.

FV=10000[(1+0,1)3]=13310.

2 функция: Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии (перепродажи)), (pvf , i , n).

Текущая стоимость единицы является обратной относительно бу дущей стоимости.

Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то

3 функция: Текущая стоимость аннуитета (pvaf , i , n).

Аннуитет - это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале - авансовый.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета:

PMT - равновеликие периодические платежи. Если частота начислений превышает 1 раз в год, то

Формула текущей стоимости авансового аннуитета:


5 функция: Взнос на амортизацию денежной единицы (iaof, r, n)

Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета (функция 3). Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.

Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.

При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется следующая формула:

6 функция: Фактор фонда возмещения (sff , i , n)

Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Для определения величины платежа используется формула:

При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:


базовой формулы сложного процента (1 + i)t, характеризующей накопленную сумму единицы. Все пять функций сложного процента - это производные от первой (прямой) функции сложного процента: накопленной функции единицы (будущей стоимости единицы). Каждая из этих функций предполагает, что деньги, положенные на депозит, до тех пор пока находятся на нем, приносят процент. В основу каждого фактора положен эффект сложного процента, при котором полученный процент переводится в основную сумму.

Важным соотношением функций сложного процента является следующее: сумма фактора фонда возмещения (графа 3) и периодического процента (i) равна взносу на амортизацию одного доллара. Это соотношение показывает, что взнос на амортизацию единицы является суммой двух элементов, на что обращалось внимание выше. Один элемент - процент (доход на инвестиции); второй - возмещение капитальных вложений (возврат инвестиционных средств). Рассчитывая платежи по кредиту на основе взноса на амортизацию одного доллара, заемщик выплачивает в течение срока погашения кредита основную сумму кредита плюс процент. Если выплачивается лишь процент, заемщик на отдельном счете аккумулирует основную сумму исходя из значений фактора возмещения. Учитывая, что фонд возмещения приносит процент по той же ставке, что и кредит, по окончании срока кредита остаток фонда возмещения используется для погашения остатка задолженности по основной сумме кредита.

Таким образом, взнос на амортизацию одного доллара (графа 6) всегда превышает периодическую ставку процента вне зависимости от срока кредита.

Аналогично, текущая стоимость обычного аннуитета (графа 5) никогда не превышает фактор, равный частному от деления 1 долл. на периодическую ставку процента.

Для определения стоимости инвестиционного проекта или собственности необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через некоторое время в будущем. В условиях инфляции деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости при условии, что вложенная сумма будет находиться на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

1 функция. Определим будущую стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежных единиц)

FV - будущая стоимость денежной единицы,

PV – текущая стоимость денежной единицы,

i – ставка дохода,

n – число периодов накопления в годах.

Задача. Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 3 года, если сегодня положить на счет под 10 % годовых 10 тыс. руб.

2 функция. Текущая стоимость денежной единицы (текущая стоимость реверсии перепродажи)

Задача . Сколько нужно вложить сегодня в инвестиционный проект, чтобы к концу 5 года получить 8 тыс.руб. Ставка дохода 10%.

3 функция. Определение текущей стоимости аннуитета.

Аннуитет – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитет. Если платежи осуществляют в конце каждого периода, то аннуитет обычный; если вначале – авансовый.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета:

PMT – равновеликие периодические платежи.

Задача. Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1 тыс.руб. Определить текущую стоимость арендных платежей при 12% ставке дисконтирования. n = 12 (число периодов – месяцев).

4 функция. Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей или поступлений.

Задача . Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5 года, если ежегодно откладывать на счет 10 тыс.руб.

5 функция. Взнос на амортизацию денежной единицы.

Данная функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета.

Амортизация – это процесс, определяемый данной функцией, и включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.

Задача. Определить, какими должны быть ежегодные платежи, чтобы к концу 7 года погасить кредит 100 000 руб., выданный под 15% годовых.

Аннуитет может быть как поступлением (входящим денежным потоком), так и платежом (исходящим денежным потоком), по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может быть использована в случае расчета величины равновеликого взноса на погашение кредита при известном числе взносов и заданной процентной ставке. Такой кредит называется самоамортизирующийся кредит .

6 функция. Рассматривает фактор фонда размещения и является обратной функции накопления единицы за период.

Для определения величины платежа используется следующая формула:

Задача . Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5 года иметь на счете при ставке 12% годовых 100 000 руб.