Классическое определение вероятности.
Вероятность события –это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.
Событие, представимое в виде совокупности (суммы) нескольких элементарных событий, называется составным.
Событие, которое нельзя разбить на более простые, называется элементарным.
Событие называется невозможным, если оно не происходит никогда в условиях данного эксперимента (испытания).
Достоверные и невозможные события не являются случайными.
Совместные события – несколько событий называют совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.
Несовместные события – несколько событий называют несовместными в данном эксперименте, если появление одного из них исключает появление других. Два события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое.
Вероятностью события А – Р(А) – называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.
Из определения вытекают следующие свойства вероятности:
1.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:
2. Вероятность достоверного события равна 1: (3)
3. Если событие невозможное, то его вероятность равна
4. Если события и несовместны, то
5. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Р(А+В) = Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (6)
6. Если и - противоположные события, то (7)
7. Сумма вероятностей событий А 1 , А 2 , …, А n , образующих полную группу, равна 1:
Р(А 1) + Р(А 2) + …+ Р(А n) = 1. (8)
В экономических исследованиях значения и в формуле могут интерпретироваться по-другому. При статистическом определении вероятности события под понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие встречалось ровно раз. В этом случае отношение называется относительной частотой (частостью) события
События А, В называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются безусловными .
События А, В называются зависимыми , если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью .
Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:
Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В) или Р(В/А) – Р(В) = 0 (9)
Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(В) ∙ Р(А/В) или Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А) (10)
Вероятность события В при условии появления события А:
Вероятность произведения двух независимых событий А, В равна произведению их вероятностей:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) (12)
Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.
События А 1 , А 2 , …, А n (n>2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А 1 ∙А 2 ∙А 3 ∙…∙А n) = Р(А 1)∙Р(А 2)∙Р(А 3)∙…∙Р(А n). (13)
Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях).
Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) × Р(В)
Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– в результате броска на 1-й монете выпадет орёл;
– в результате броска на 2-й монете выпадет орёл.
Найдём вероятность события А 1 А 2 (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события А 1 и А 2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Р(А 1 А 2) = Р(А 1) × Р(А 2) =
× =
Аналогично:
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.
Заметьте, что события , , , образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: + + + = = 1
Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бо льшее количество независимых событий, так, например, если события А, В, С независимы, то вероятность их совместного наступления равна: Р(АВС) = Р(А) × Р(В)×Р(С).
Задача 3
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
S 1 – из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
S 2 – из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
S 3 – из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению: Р(S 1) = = 0,8; Р(S 2) = = 0,7; Р(S 3) = = 0,9; – соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением S 1 S 2 S 3 .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Р(S 1 S 2 S 3) = Р(S 1) × Р(S 2) × Р(S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504 – вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ : вероятность того, что все детали окажутся стандартными, равна 0,504
Задача 4(для самостоятельного решения)
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ». Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий дан в конце урока.
Зависимые события . Событие Х называют зависимым , если его вероятность Р(Х) зависит от одного или бо льшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно дойти до ближайшего магазина:
Х – завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.
Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным Р(Х) = 1, так и невозможным Р(Х) = 0. Таким образом, событие Х является зависимым .
Другой пример, В – на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие В будет зависимым, поскольку его вероятность Р(В) будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.