Наращенная сумма. Расчеты по простым процентам. Вычисляем ставку сложных процентов

Ссуды с начисленными на нее процентами.

Экономика и право: словарь-справочник. - М.: Вуз и школа . Л. П. Кураков, В. Л. Кураков, А. Л. Кураков . 2004 .

Смотреть что такое "НАРАЩЕННАЯ СУММА ССУДЫ" в других словарях:

Процентная ставка (англ. interest rate) это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год). С позиции теории денег, процентная… … Википедия

КРЕДИТ С ФИКСИРОВАННОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКОЙ - (англ. credit with fixed interest rate) – вид кредита с постоянной процентной ставкой. Обычно имеет более высокую первоначальную процентную ставку для защиты кредитора в случае роста стоимости кредита. Как правило, чем меньше абс. размер кредита … Финансово-кредитный энциклопедический словарь

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

где У - наращенная сумма, руб.;

Р - первоначальная сумма, руб.; q - множитель наращения.

Простых и сложных процентов будет различен.

Множитель наращения при начислении простых

q = (l + nxi),

а наращенная сумма - по формуле

Р(1 + п х /),

где п - срок наращения, период;

/" - процентная ставка.

Если ставка процентов годовая, а проценты уплачиваются в течение года, то необходимо определить, какая часть годовых процентов уплачивается кредитору за период. Для этого срок наращения рассчитывают по формуле

где? - число дней, по истечении которых начисляются и выплачиваются проценты;

К - количество дней в году.

Пример. Кредит в размере 1 млн руб. выдан 20 января до 5 октября включительно (на 258 дней) под 18% годовых. Проценты простые. В этом случае наращенная сумма составит

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Рх(1 + «хг).

Из этого уравнения получаем

Срок в днях будет рассчитан по формуле

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обязательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

Множитель наращения при начислении сложных процентов рассчитывается по формуле

Я = 0 + 0",

а наращенная сумма - по формуле Проценты (У) будут равны:

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

где - значение ставки за период щ.

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность. Если срок наращения меньше года, то

если срок наращения больше года, то

(1 + т)

Графически такая ситуация показана на рис. 4.1.

Рис.

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

где } - номинальная годовая ставка;

т - число периодов начисления процентов в году.

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Если необходимо определить срок займа, при котором первоначальная сумма увеличивается в N раз, то формула расчета выводится:

для сложных процентов - из выражения (1 + /)" = N :

для простых процентов - из выражения (1 + их*) = ЛГ:

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

ВАРИАНТ 9

РЕШЕНИЕ.

n - срок ссуды.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

FV=2000+300=2300 руб.

РЕШЕНИЕ.

Множитель наращения: .

РЕШЕНИЕ.

S = P (1 + n∙i),

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

РЕШЕНИЕ.

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

РЕШЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ .

Ответ: 2109 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем дисконтированный множитель:

Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.

Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.

Ответ: 50580 руб., 19726 руб.

Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

где d c - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.

D=200000-68600=131400 руб.

Ответ: 131400 руб.

Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.

Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:

Где P-

d- простаяучетная ставка;

t -

Т- количество дней в году.

а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.

Сумма дисконта:

D=221884-200000=21884 руб.

б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.

Сумма дисконта:

D=222222-200000=22222 руб.

Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.

Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:

Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d- простаяучетная ставка;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т- количество дней в году.

Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.

Ответ: 20000 руб.

РЕШЕНИЕ.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;

K – количество дней в календарном году (365 или 366);

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Рассчитаем количество дней начисления процентов:

50000=2000+(2000*0,3t)

Ответ:80 дней.

Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:

К н =К о *(1+р*n),

Где К н -наращенная сумма по вкладу;

К о -первоначальная сумма вклада;

р-проценты по вкладу;

n- количество лет начисления процентов.

Рассчитаем количество лет начисления процентов:

50000=2000*(1+0,3*n)

Ответ: 80 дней

Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:

где Р – сумма вклада;

i – процентная ставка;

d – количество дней.

Рассчитаем срок вклада:

50000=2000*0,3*d

Ответ: 83 дня.

Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Определим доход:

I= 50000 – 2000=48000руб.

S - наращенный капитал

P - первоначальный капитал

Теперь определим срок вклада:

d=100*48000/(30*2000)=80 дней

Ответ: 80 дней.

3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).

Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

Расчет наращенной суммы выполним по формуле:

F = P*(1 + n * d)

F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

i – годовая процентная ставка;

S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.

РЕШЕНИЕ.

Вычисления произведем по следующей формуле:

где S – наращенная стоимость кредита;

P – настоящая стоимость кредита;

i – годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов в годах.

S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.

Ответ: 3200 руб.

Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

S = P*
,

где

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=5831-2000=3831 руб.

Ответ: 3831 руб.

Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:

S = P*
,

где
- коэффициент наращения при вычислении сложных процентов;

d – учетная ставка сложных процентов;

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=4082-2000=2082 руб.

Ответ: 2082 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна:

где -срочная уплата в период t;

D- величина долга.

При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:

где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.

Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:

g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.

Подставив значение получим:

200000=(1+0,26) 2 *0,26/R

200000=1,58*0,26/R

0,26/R=126582 руб.

Ответ: 32911 руб.

Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

200000=(1+0,3) 3 *0,3/R

200000=2,197*0,3/R

R=131820 руб.

Ответ: 131820 руб.

Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.

РЕШЕНИЕ.

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.

Ответ: 924 руб.

Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.

РЕШЕНИЕ.

Размер ежегодных погасительных платежей:

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.

Ответ: 1101 руб.

Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*n)

Ответ: 38 дней.

Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*(n-1))

Ответ: 37дней.

Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

FVA=R*((1+i*n)-1)/i

1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3

Ответ: 50 дней.

ВАРИАНТ 9

Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.

Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.

РЕШЕНИЕ.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

I - проценты за весь срок ссуды;

РV - первоначальная сумма долга;

FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.

Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.

Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:

FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).

FV=2000+300=2300 руб.

Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.

Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:

Множитель наращения: .

S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.

Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.

Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:

S = P (1 + n∙i),

где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).

В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).

Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.

S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.

S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.

Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:

При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.

Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.

Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.

Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

Простые проценты считаются по такой формуле:

а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.

б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.

в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.

Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.

Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.

РЕШЕНИЕ .

Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:

Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.

В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.

Ответ: 2109 руб.

Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Контрольное домашнее задание по финансовой математике

1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно

Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов в году;

n - срок депозита (в годах);

Указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).

Принятая в банках ставка процента за интервал начисления.

а) один раз в год:

(тыс.руб.)

б) по полугодиям

(тыс.руб.)
в) поквартально,

(тыс.руб.)
г) ежемесячно.

(тыс.руб.)
2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента

Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:

где t - фактическое количество дней по финансовой операции.

n - срок депозита (в годах).

3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года

Простые проценты:

Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:

где

где S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

Сложные проценты:

Коэффициент наращения определяется по формуле:

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

где S n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).

Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?

Простые проценты:

Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита,

n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита

Сумма возврата кредита определяется по формуле:

где S n - сумма возврата кредита на конец периода;

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

По условию процентная ставка растет на 5 %:

Сумма возврата кредита на 3-й год составит:

6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.

Простые проценты («правило 100»):

i - ставка процента.

где Т - период, за который удвоится капитал;

i - ставка процента.

7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное

Простые проценты при утроении капитала:

Сложные проценты при утроении капитала:

8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская

Сложные проценты («правило 70»):

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

- ежемесячное начисление: лет.
- поквартальное начисление: лет.

- полугодовое начисление: лет.
9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка

Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:

j - фактическое число периодов начисления процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:

Процентная ставка банка составит:

10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно

Минимальная процентная ставка определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Sm - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

a) поквартальное начисление процентов:

b) ежемесячное начисление процентов:

11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.

Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Предпочтение Банку 1.

13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное

Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).

a) проценты простые и процентная ставка 48%.

Коэффициент наращения простых процентов: .

b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.

c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).

Таблица 3

14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку

Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно

Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:

где m - количество начислений процентов;

n - срок кредита (в годах);

S - величина кредита;

Номинальная процентная ставка банка;

Сумма по уплате комиссии банку.

где h - комиссия банка.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

- один раз в год: ;
-поквартально: ;

- ежемесячно: .
16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов

a) кредит получен под простые проценты

b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:

c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:

17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги

Процентная ставка банка в месяц составляет:

Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:

где i р - реальная ставка банка с учетом инфляции;

i - номинальная ставка банка;

n - число лет;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:

депозит кредит банк доход

18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка

Уровень инфляции за три месяца:

Средний уровень инфляции в месяц:

Наращенная сумма возврата:

Процентные выплаты составят: руб.

19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму

Уровень инфляции за год:

Темп инфляции составит: или 53%.

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

r - реальная ставка доходности;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма возврата:

20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения

Уровень инфляции за год:

Процентная ставка кредита (формула Фишера):

Коэффициент наращения сложных процентов:

Коэффициент наращения простых процентов:

21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму

Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:

Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:

Наращенная сумма:

22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.

Уровень инфляции за год:

или 42,58% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:

23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно

Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r- реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности

Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

Происходит обесценивание вклада на 14,77%.

25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.

Уровень инфляции за год:

или 51,11% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:

Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:

где S n - сумма депозита в конце периода;

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

Истинная процентная ставка.

Доход вкладчика к концу срока составит:

где I n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.

Таблица 3

Решение:

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:

где CF t -- денежный приток (отток) за период t;

r -- ставка сравнения;

n -- жизненный цикл проекта.

В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 4

		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.

27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.

В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 5

	Затраты I

Внутренняя норма доходности составляет 19%.

28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.

Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.

В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91

При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73

При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.

Список литературы

1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.
3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.
4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.
5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.

где FVA – наращенная сумма ренты;

R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок ренты в годах,

s n;i – коэффициент наращения ренты.

Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты:

FVA = R s 5 ; 30 = 500 9,0431 = 4"521,55 руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n R = 5 500 = 2"500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4"521,55 - 2"500 = 2"021,55 руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2"021,55 руб.

Для овладения методами финансовой математики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета.

Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу.

Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера:

Расчет наращенной величины аннуитета

* Взносы поступают в конце периода.

Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4"840,76 - 2"500,00 = 2"340,76 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.