Одной из важных задач статистики является изучение развития процессов и явлений во времени. Эта задача и решается с помощью построения рядов динамики.
Ряд динамики – это ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих изменение величины общественных явлений во времени.
Правильно построенный динамический ряд состоит из сопоставимых статистических показателей. Для этого необходимо, чтобы состав изучаемой совокупности был один и тот же на всем протяжении ряда, т.е. относился к одной и той же территории, к одному и тому же кругу объектов. Кроме того, данные ряда должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, а промежутки времени между значениями ряда должны быть по возможности одинаковыми.
Виды рядов динамики:
В зависимости от того, к моментам или периодам времени привязываются статистические данные различают:
1. моментные ряды динамики - это когда уровни ряда динамики показывают состояние явления на определённый момент времени или на определенную дату.
Особенность моментного ряда динамики в том, что некоторые его уровни содержат элементы повторного счёта, т.е. каждый последующий уровень полностью или частично содержит в себе предыдущий уровень. Поэтому суммирование уровней моментного динамического ряда не имеет смысла, а имеет значение только разность уровней ряда.
Напр.: бессмысленно складывать численность работающих по состоянию на 1 января, 1 февраля, 1 марта и т. д. Полученная сумма ничего не выражает, т.к. в ней многократно повторяются одни и те же показатели.
интервальные ряды динамики - это когда уровни ряда
динамики характеризуют размеры общественных явлений за
определенные интервалы времени.
Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы.
В зависимости от вида статистических показателей ряды динамики подразделяются:
ряды динамики абсолютных величин . Они являются первоначальными, так как их получают при сводке материалов статистического наблюдения.
ряды динамики относительных величин . Такие ряды являются производными. Они характеризуют темпы динамики изучаемого явления, изменение его структуры интенсивности. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используется такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.
ряды динамики средних величин. Э то ряды показателей, которые выражают средние значения изучаемого явления за определенные промежутки времени. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используются такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.
Вопрос 15. Аналитические показатели рядов динамики.
При изучении динамики социально-экономических явлений рассчитывают аналитические показатели:
- абсолютные приросты;
темпы роста;
темпы прироста;
абсолютное значение одного процент прироста (снижения).
Рассчитываются эти показатели через абсолютное или относительное сравнение уровней динамического ряда.
Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают:
При этом сравниваемый уровень называется текущим , а тот уровень, а которым сравнивают - базисным.
Если сравнивается каждый последующий уровень с предыдущим, то получают цепные показатели динамики .
Если каждый уровень сравнивается с начальным, то получают базисные показатели динамики.
1. Абсолютный прирост – это разность двух уровней ряда динамики.
Он показывает, на сколько единиц данный уровень больше или меньше уровня, взятого для сравнения. Он выражается в тех же единицах, что и уровни ряда динамики.
Цепной абсолютный прирост () рассчитывается как разность
между текущим уровнем () и уровнем, который ему предшеству-
ет ():
Базисный абсолютный прирост ( У б ) рассчитывается как разность между сравниваемым уровнем () и уровнем принятым за базу сравнения ():
2. Темп роста – это отношение двух уровней ряда динамики.
Он показывает, во сколько раз больше или меньше или сколько процентов данный уровень составляет по отношению к другому уровню, взятому для сравнения. Темп роста может выражаться в коэффициентах или в процентах.
Цепной темп роста () – это отношение между текущими уровнями
() и предшествующим ():
Тц=( ;;…)
Базисный темп роста () - это отношение базисного абсолютного
прироста(У i) к базисному уровню (У 0):
Если темп роста меньше единицы, то имеет место не рост, а снижение анализируемого уровня.
3. Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.
Он показывает на сколько процентов уровень данного периода боль
ше или меньше уровня, принятого за базу сравнения. Может вы
ражаться в коэффициентах.
Цепной темп прироста (∆Т ц ) - это отношение цепного абсолютного
прироста (∆ У ц к предыдущему уровню (У i -1):
∆Т ц= или ΔТц =Тц- 1
Базисный темп прироста (∆Т Б ) – это отношение базисного абсолют
ного прироста (∆ У Б) к базисному уровню (У 0) :
Темп прироста может быть как положительный, так и отрицательной величиной.
4. Абсолютное значение одного процента прироста (А) - это отношение абсолютного прироста за определенный период к темпу прироста за этот же период, выраженному в процентах.
Этот показатель раскрывает, какая абсолютная величина скрывается за один процент прироста:
А=или А= 0,01
Выражается абсолютное значение одного процента прироста или снижения в тех же единицах измерения, что и анализируемый уровень динамического ряда.
Между многими аналитическими показателями существует определенная взаимосвязь:
Сумма цепных абсолютных приростов за какой-то период времени, равна базисному абсолютному приросту за весь этот период:
∆ У= ∑ ∆ У Ц = У n - У 0
Разность между анализируемыми и предыдущим базисными абсолютными приростами даёт соответствующий цепной абсолютный прирост:
(У i -У 0)- (У i -1 -У 0)= У i - У i -1
Последовательное произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах за определенный период времени даёт базисный темп роста за этот же период:
Отношение анализируемого базисного темпа к предыдущему даёт соответствующий цепной темп роста.
Отвечают за временные процессы, то есть ряд, который изучает динамику (развитие во времени) явления.
Статистических рядов в статистике две большие группы, это ряды распределения речь про них шла вот и ряды динамики. По своей сути ряды очень похожи, в них приводятся данные характеризующие какое-то явление. Получаем ряд это последовательность каких-то данных.
Главная отличительная особенность ряда динамики от ряда распределения это сущность изучаемого материала. Ряды распределение это подсчет количества элементов или числа повторений этих элементов. А ряд динамики это временная последовательность.
Поэтому рядом динамики мы будем называть развитие явления во времени. Для характеристики такого развития используется два элемента, из которых динамический ряд и состоит.
- Период времени – обязательная часть, которая и делает динамику ряда статистическим рядом динамики. Если параметр времени есть значит это ряд динамики.
- Уровень ряда – это числовое значение соответствующего временного периода. Для каждого периода соответствующий уровень.
Самый простейший пример динамического ряда родом из детства! Вспомните, как вы мерили свой рост….! Изменение роста с возрастом и есть ряд динамики в простейшем виде.
В зависимости от временного периода ряды динамики будут различаться.
Моментный ряд динамики. Интервальный ряд динамики
Итак, данные за временной интервал могут быть как накапливаемыми, так и одномоментными. В такой ситуации и появляется две разновидности временных рядом (рядов динамики).
Моментный ряд динамики характеризует состояние явление на определенный момент времени. То есть пришли, зафиксировали данные в текущий момент и все. Предположим число сотрудников на рабочем месте в 10.20 — 12 человек, а число сотрудников в 10.30 — 13 человек. Это два разных показателя. При этом в процессе работы с данными их нельзя складывать, поскольку может появиться двойной счет. Ведь в 13 человеках по состоянию на 10.30 могут быть те самые 12 (скорее всего так и есть), что были на 10.20.
Приведем пример моментного ряда
| Время учета | Количество сотрудников на рабочем месте |
| 10.00 | 10 |
| 10.20 | 12 |
| 10.30 | 13 |
| 11.00 | 11 |
Итого в моментном ряду мы фиксируем данные в конкретный период времени. И данные в таких рядах нельзя складывать или делить, они целые и не могут быть разделены или сложены. Самые характерные моментные ряды это ряды характеризующие численность и остатки материалов.
Интервальный ряд динамики . Такие ряды распространены больше нежели моментные. В таких рядах данные накапливаются за определенный промежуток времени. Процесс накапливания данных за день, неделю, месяц, год дает итоговое суммарное значение за этот период времени. Это значит, что мы можем такие данные складывать и делить, узнать, сколько стало заработанных денег за два месяца или за три, или, поделив примерно рассчитать, сколько мы сделали за 1 час или 2 часа работы по отношению к целому рабочему дню (8 часов).
Приведем пример интервального ряда динамики.
| Год | Объем выпущенной продукции млн. руб. |
| 2010 | 129 |
| 2011 | 142 |
| 2012 | 146 |
| 2013 | 144 |
| 2014 | 151 |
| Итого | 712 |
Таким образом, интервальный ряд как бы накапливает данные за целый период а потом их представляет в виде уровня ряда. Именно поэтому, мы можем сложить данные за два уровня, получив суммарный итог или поделить данные одного уровня получив размер явления за более короткий период времени.
Однако сами по себе ряды динамики используются нечасто. Хотим мы того или нет составляются такие ряды для последующего анализа данных. Это может быть и расчет среднего уровня ряда, и расчет показателей анализа рядов динамики, и анализ трендов, и ряд других аналитических действий.
Приведем пример расчета среднего уровня ряда далее.
Расчет среднего уровня в рядах динамики
Для начала вспомним, что уровень явление характеризует его состояние на определенный момент или за данный период времени.
В статистике при работе с рядами динамики используются три различных показателя-уровня:
— начальный уровень – у1 – характеризует величину первого члена ряда;
— конечный уровень – уn – характеризует величину последнего члена ряда;
— средний уровень — у- средний уровень в зависимости от разновидности ряда динамики будет рассчитываться по-разному.
В интервальном ряду динамики расчет проводят по формуле средней арифметической простой.
В моментном ряду динамики расчет проводят по формуле средней хронологической. 
Приведем пример расчета данных показателей на основе примеров данной статьи.
1. Для моментного ряда динамики. Определим начальный конечный и средний уровни.
Вот так достаточно несложно проводится расчет показателей-уровней временных рядов. Вся сложность заключается в верном определении моментный или интервальный это ряд динамики.
В следующей статье мы рассмотрим использование показателей анализа рядов динамики.
Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.
Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле :
1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:
Где у - абсолютные уровни ряда;
n - число уровней ряда.
2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:
где у1,…,уn - уровни ряда динамики;
t1,… tn - веса, длительность интервалов времени.
Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:
1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:
Где у1,…,уn - уровни периода, за который делается расчет;
n - число уровней;
n-1 - длительность периода времени.
2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:
Где у1,…,уn - уровни рядов динамики;
t - интервал времени между смежными уровнями
Средний абсолютный прирост в задачах статистики
Определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:
1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:
где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.
2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов
где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.
Есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.
В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.
Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:
Где n - число цепных коэффициентов роста;
Кц - цепные коэффициенты роста;
Кб - базисный коэффициент роста за весь период.
Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.
Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:
Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:
Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.
Социально-экономические явления, изучаемые статистикой, постоянно изменяются и развиваются как в пространстве, так и во времени. Со временем - от месяца к месяцу, от года к году - меняется численность и состав населения, объем и структура производимой продукции, уровень производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур и т.д. Поэтому одной из важных задач статистики является изучение общественных явлений в непрерывном развитии и динамике. в Динамикой в статистике принято называть процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени. Для отображения и анализа динамики строят динамические (хронологические, временные) ряды. Исследование динамики дает возможность охарактеризовать процесс развития явлений, раскрыть основные пути, тенденции и темпы этого развития.
Рядом динамики называют ряд статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени. Например, численность населения страны на определенные даты (даты переписи или дать учета), урожайность зерновых культур в хозяйствах области за 2001 - 2010 гг., поголовье коров в агрофирме на начало каждого месяца и т.д.
Каждый ряд динамики состоит из двух обязательных элементов: периодов времени (/) и уровней (в). Показателями времени в рядах динамики могут быть либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, декады, сутки).
Уровнем ряда динамики называют статистический показатель, который характеризует величину общественного явления на данный момент или за определенный период времени. Они отображают количественную оценку (меру) развития исследуемого общественного явления.
Уровни динамического ряда могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами. При анализе рядов динамики все эти величины необходимо использовать в комплексе, они должны дополнять друг друга. Уровни ряда динамики могут характеризовать величину статистического показателя на определенный момент (какую-нибудь дату) и за соответствующий период времени (год, месяц, день, час и т.д.). В связи с этим различают моментные и интервальные ряды динамики.
Моментным называют ряды динамики, которые характеризуют размер явления на определенный момент времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников предприятия в 2010 г. (табл.10.1).
Таблица 10.1. Численность работников предприятия в 2010 г.
С помощью моментных рядов динамики характеризуется чаще всего состояние условий и факторов производства. Например, динамический ряд наличия кормов и поголовье скота на начало каждого месяца, мощность тракторного парка на конец года и т.д.
В моментному ряду динамики одни и те же единицы совокупности входят в состав нескольких уровней. Поэтому суммирование уровней моментного ряда динамики не имеет смысла, так как при этом итоги лишены экономического содержания. Так, сумма численности работников предприятия на 1.01 и 1.04.2010 г. (250 + 254 = 504) не имеет реального смысла. Однако определение разницы между уровнями моментного динамического ряда имеет определенный смысл. Так, разница между численностью работников предприятия на 1.04 и 1.01.2010 г. (254 - 250) характеризует абсолютный прирост численности работников за этот период.
Интервальными называют ряды динамики, которые характеризуют размер явлений за определенный период времени. Примером интервального ряда динамики могут быть данные, приведенные в табл. 10.2.
Таблица 10.2. Динамика валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за 2008-2010 гг.
С помощью интервальных динамических рядов как правило характеризуются итоги производственного процесса (объемы произведенной продукции, выполненных работ, затрат труда, количества внесенных удобрений и т.д.). Уровни интервального ряда динамики абсолютных показателей в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях. Поэтому важное экономическое значение имеет суммирование этих уровней, сумма уровней интервального ряда динамики характеризует объем изучаемого явления за более долгий период. Например, суммирования валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за исследуемый период (2006 - 2010 гг.)дает представление об объеме ее производства за 5 лет (44465 т). Для выявления тенденции изменения изучаемого явления уровни интервального ряда динамики можно укрупнять.
При изучении динамики социально-экономических явлений решается целый ряд задач, основными из которых являются следующие: 1) характеристика с помощью системы показателей динамики интенсивности изменения уровней ряда от периода к периода или от даты к дате; 2) определение средних значений динамического ряда за тот или иной период; 3) выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) изучаемого явления; 4) прогнозирование развития явления на перспективу; 5) выявление факторов, обусловивших изменение исследуемого общественного явления во времени; 6) анализ сезонных колебаний.
Одним из важных требований правильного исчисления и анализа показателей динамики является соблюдение условий сопоставления сравниваемых между собой уровней ряда динамики. Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в динамических рядах, поскольку они, как правило, охватывают значительные периоды времени, за которые могли возникнуть изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.
При построении и анализе рядов динамики необходимо обеспечить сопоставимость уровней ряда, прежде всего, за территорией, методикой расчета показателей, периодом или моментом времени, объектом и единицей наблюдения, степени охвата единиц исследуемой совокупности, единицами измерения и т.д.
Рассмотрим основные условия сопоставимости уровней ряда динамики.
Несопоставимость данных, что возникает в результате административно-территориальных изменений, часто оказывается в статистической практике. Это обусловлено тем, что границы территорий хозяйств, районов, областей и т. д. в течение исследуемого периода изменяются вследствие присоединения к ним новых территорий или отсоединения отдельных частей их территории. Для приведения данных к сопоставимому виду необходимо выполнить пересчет данных за предыдущие годы (до изменения территории) с учетом новых границ.
Наиболее существенным требованием при построении ряда динамики является единая методика исчисления уровня за каждый из периодов, что рассматривается. Благодаря этому обеспечивается сопоставимость статистических показателей по содержанию. Например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен относиться к одной и той же посевной площади (весенней продуктивной, фактически собранной и т. д.). При исследовании динамики стоимостных показателей объема продукции необходимо устранить влияние изменения цен. На практике для решения этой задачи количество продукции, произведенной в разные периоды, оценивают в ценах одного периода, которые называют фиксированными или сопоставимыми. Если ряд динамики представлены обобщающими показателями в условно-натуральных единицах измерения, коэффициенты сумірництва для всех уровней должны быть едиными.
Сопоставимость уровней ряда динамики за периодом или моментом наблюдения означает, во-первых, что все показатели характеризующие явление или за определенный период времени, либо на определенный момент времени. В связи с этим неправомерно сравнивать, например, среднегодовое число тракторов по числу тракторов на начало или конец года, во-вторых, в интервальных динамических рядах уровне должны относиться к равных периодов времени, а в момент них - должны быть, как правило, равные отрезки времени между моментами (датами) наблюдения. Кроме того, нельзя совмещать в одном ряду динамики периоды и моменты времени.
Сопоставимость за объектом наблюдения означает, что все уровни ряда динамики относятся к одному и тому же объекту наблюдения. Например, при исследовании динамики продуктивности коров объектом наблюдения могут быть государственные, коллективные, фермерские хозяйства, личные подсобные хозяйства населения или все категории в целом. Для получения сопоставимой в динамике продуктивности коров показатель должен рассчитываться по одной и той же категории хозяйства или по их совокупности.
Сопоставимость по единицам наблюдения предусматривает, что все равны полученные по одних и тех же единицах наблюдения. Единицами наблюдения могут быть отдельные предприятия или их подразделения. Поэтому, например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен определиться по одних и тех же сельскохозяйственных предприятиях, держгоспах, фирмах и т.д.
Кроме перечисленных требований, без учета которых невозможно построить ряд динамики, нужно придерживаться одних и тех же единиц измерения. Так, если данные о валовой сбор за одни годы приводятся в тоннах, а за другие - в центрах, то необходимо перечислить весь ряд в одни и те же единицы измерения.
Научно обоснованное формирование рядов динамики требует также выделения строго однородных периодов (этапов) развития исследуемых социально-экономических явлений, потому что всестороннего анализа динамических процессов можно достичь только в пределах однородных периодов. Периодизация динамических рядов следует проводить на основе глубокого теоретического анализа основных процессов и законов, определяющих развитие изучаемого явления.
Различные экономические и другие показатели, которые даны за определённый период времени или по состоянию на некоторый момент, широко используются в практической статистике. Информация, основанная на этих показателях, называется рядами динамики . Абсолютные значения исследуемого явления в ряде динамики по состоянию на соответствующий период времени или момент называются уровнями ряда динамики. На их основе вычисляются важнейшие показатели рядов динамики и в математическом плане нужно лишь складывать, вычитать, делить, умножать и извлекать корень, а также помнить, что нельзя менять хронологическую последовательность уровней ряда динамики. А ещё на основе уже зафиксированных уровней ряда динамики можно прогнозировать значения уровней для будущих периодов и здесь уже начинается "взрослая" математика.
Цепные и базисные показатели рядов динамики и их вычисление
Главными показателями, характеризующими абсолютные и относительные изменения рядов динамики являются: абсолютный прирост (снижение), темп роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (снижения) .
Показатели рядов динамики по характеру их вычисления делятся на цепные и базисные .
Цепные показатели рядов динамики характеризуют интенсивность изменений от одного периода к другому периоду. Цепные показатели получают, сравнивая (вычитая или деля) два соседних уровня ряда динамики - следующий уровень и предыдущий уровень. Цепные показатели не зависят от длины ряда динамики и от того, какой уровень принят за его начало.
Базисные показатели рядов динамики - это показатели с постоянным базисом (началом). Они характеризуют конечные результаты всех изменений ряда динамики в сравнении с периодом (моментом), который принят за базисный период (момент).
Базисные показатели вычисляют, сравнивая каждый уровень ряда динамики с одним и тем же уровнем, принятым за базис. Обычно это первый (начальный) уровень ряда, хотя, если это продиктовано задачей анализа, за базисный уровень можно принять любой другой уровень. Если начальный уровень ряда динамики для изучаемого явления или процесса представляет нетипично высокий или нетипично низкий, то рассчитанные по сравнению с ним показатели рядов динамики могут оказаться мало полезными для задачи анализа.
Введём следующие обозначения:
- Y - обозначение уровня ряда динамики в общем виде;
- Y 1 - первый (начальный) уровень ряда динамики;
- Y n - последний уровень ряда динамики;
- Y m - какой-либо уровень ряда динамики.
Будем рассчитывать показатели для ряда динамики, данного в следующей таблице:
Таблица. Объёмы экспорта предприятия "Х", в миллионах руб.
| Год | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| Объём | 1256,4 | 1408,8 | 1650,6 | 2150,0 | 2888,2 |
Абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютные изменения уровней рядов динамики - прирост или снижение - по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем. Различается цепной и базисный абсолютный прирост (снижение).
Цепной абсолютный прирост (снижение) вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики предыдущего уровня того же ряда.
Пример 1. Вычислим цепной абсолютный прирост:
Δа (ц ) = Y m − Y m−1
Δц (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δц (2015 ) = 1650,6 − 1408,8 = 241,8 .
Δц (2016 ) = 2150,0 − 1650,6 = 499,4 .
Δц (2017 ) = 2888,2 − 2150,0 = 738,2 .
Общий объём экспорта предприятия "Х" с 2013 по 2017 годы составляет Δц (2014 ) + Δц (2015 ) + Δц (2016 ) + Δц (2017 ) = 1631,8 млн. руб.
Базисный абсолютный прирост вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики начального уровня ряда, который принимается за базис.
Пример 2. Вычислим базисный абсолютный прирост:
Δа (б ) = Y m − Y 1
Δб (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δб (2015 ) = 1650,6 − 1256,4 = 394,2 .
Δб (2016 ) = 2150,0 − 1256,4 = 893,6 .
Δб (2017 ) = 2888,2 − 1256,4 = 1631,8 .
Между цепным и базисным абсолютным приростами существует математическая взаимосвязь : сумма цепных абсолютных приростов (снижений) равна базисному абсолютному приросту (снижению), соответствующему последнему уровню ряда динамики:
Показатель интенсивности изменения ряда динамики, в зависимости от того, выражен он в виде коэффициента или в процентах, называется коэффициентом роста или темпом роста.
Коэффициент роста показывает, во сколько раз соответствующий уровень ряда динамики больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня представляет уровень отчётного периода (если он меньше единицы).
Темп роста характеризует скорость развития исследуемого явления.
Коэффициент роста и темп роста - это две формы выражения интенсивности изменений и разница между ними только в единицах измерения.
Коэффициент роста × 100 = темп роста, %.
Если абсолютные уровни исследуемого явления снижаются, то темп роста меньше единицы (меньше 100 %), однако он никогда не может быть отрицательным числом . Существуют цепные и базисные темпы роста. Цепной темп роста вычисляется путём деления уровня ряда динамики на предыдущий уровень ряда:
Общий темп роста за весь период вычисляется путём умножения всех темпов роста:
Пример 3. Вычислим цепные темпы роста:
T ц (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T ц (2015 ) = 1650,6: 1408,8 = 1,172 = 117,2 % .
T ц (2016 ) = 2150,0: 1650,6 = 1,303 = 130,3 % .
T ц (2017 ) = 2888,2: 2150,0 = 1,343 = 134,3 % .
Общий темп роста за весь период:
T ц (2014-2017 ) = 1,121 × 1,172 × 1,303 × 1,343 = 2,299 = 229,9 % .
Базисный темп роста вычисляют путём деления какого-либо уровня ряда динамики на начальный уровень, который считают базисным:
Пример 4. Вычислим базисные темпы роста:
T б (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T б (2015 ) = 1650,6: 1256,4 = 1,319 = 131,9 % .
T б (2016 ) = 2150,0: 1256,4 = 1,711 = 171,1 % .
T б (2017 ) = 2888,2: 1256,4 = 2,299 = 229,9 % .
Между цепным и базисным темпами роста существует математическая взаимосвязь : произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста для последнего уровня ряда динамики:
Коэффициент прироста показывает, на какую часть целого увеличился или уменьшился соответствующий уровень ряда динамики по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем, а темп прироста - на сколько процентов. Темп прироста вычисляется путём вычитания из темпа роста единицы (если используется коэффициент роста) или 100 процентов (если темп роста выражен в процентах).
Таким образом, формулы для вычисления коэффициента прироста:
K пр (ц ) = T р (ц ) − 1
K пр (б ) = T р (б ) − 1 .
Например,
1,299 = 2,299 − 1,0 .
Формулы для вычисления темпа прироста:
T пр (ц ) = T р (ц ) − 100 %
T пр (б ) = T р (б ) − 100 % .
Например,
129,9 = 229,9 % − 100,0 % .
В отличие от темпов роста, темпы прироста могут быть и отрицательными числами . В этом случае они показывают, на какую часть целого или на сколько процентов снизился уровень исследуемого явления.
Между цепным и базисным темпами прироста нет математической взаимосвязи.
Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) выражает реальное содержание темпа прироста (снижения). На практике могут встречаться значительные темпы прироста, но совсем ничтожное абсолютное увеличение явления и наоборот - небольшие темпы прироста, но значительное увеличение. Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) рассчитывается путём деления суммы цепных абсолютных приростов или базисного абсолютного прироста на темп прироста:
.
Например,
Средние значения показателей рядов динамики
Средние значения показателей рядов динамики выражают уровни и типичные значения их изменений в определённый период времени. Прежде чем рассматривать средние значения показателей рядов динамики, разграничим понятия интервальных и моментных рядов динамики.
Интервальные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления за некоторый период времени, например, за месяц, за год, за пять лет. Моментные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления в какой-то определённый момент времени, например, на начало или конец месяца, начало или конец года и так далее. В предыдущем параграфе мы рассматривали интервальный ряд динамики и его показатели.
Средний уровень интервального ряда динамики вычисляется путём деления суммы уровней ряда на число уровней:
.
Пример 5. Вычислить среднегодовой объём экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычислим средний уровень по формуле для интервального ряда динамики:
Средний уровень моментного ряда динамики , если между моментами - равные промежутки времени, вычисляется по формуле средней хронологической:
.
Пример 6. Вычислить среднее число сотрудников предприятия "Х" на начало года. В таблице ниже даны значения числа сотрудников на начало каждого года с 2013 по 2017 годы.
Решение. Вычисляем по формуле хронологической средней:
Если между моментами ряда динамики - не равные промежутки времени, средний уровень моментного ряда вычисляется по формуле средней хронологической взвешенной:
В этой формуле y 1 - y n - уровни ряда динамики, t 1 - t n - периоды времени, например, 1 месяц, 2 месяца, 1 год, 2 года, 3 года... Все периоды времени должны выражаться в одной и той же единице измерения (днях, месяцах, годах и др.).
Средний абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютную величину, на которую в среднем в каждую единицу времени в соответствующий период выросли или снизились показатели исследуемого явления. Его вычисляют путём деления суммы цепных абсолютных приростов на число абсолютных приростов:
,
где - число абсолютных приростов.
Если нет данных о цепных абсолютных приростах, но известны начальный и конечный уровни ряда динамики, то средний абсолютный прирост можно вычислить через базовый абсолютный прирост по формуле
Пример 7. Используя данные об экспорте предприятия "Х", вычислить среднегодовой прирост экспорта.
Решение. Вычислим интересующий нас показатель через сумму цепных абсолютных приростов:
.
Вычислим его же через базовый абсолютный прирост:
Как видим, получили один и тот же результат.
Средний темп роста является показателем изменения интенсивности изменения уровней ряда динамики. Он характеризует среднюю интенсивность развития исследуемого явления, показывая, во сколько раз в среднем в единицу времени изменились уровни ряда динамики. Средний темп роста можно выразить в коэффициентах или процентах.
Цепной средний темп роста вычисляется по формуле среднего геометрического:
,
где n - число цепных темпов роста,
T - индивидуальные цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах.
Если нет информации о каждом цепном темпе роста, средний темп роста можно вычислить по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики
Пример 8. Вычислить средний темп роста экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычисляем по формуле среднего геометрического:
Вычисляем по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики:
.
Получили один и тот же результат.
Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем увеличился (если он со знаком "плюс") или уменьшился (если со знаком "минус") уровень исследуемого явления в течение всего рассматриваемого периода. Средний темп прироста вычисляется путём вычитания из среднего темпа роста 100% (если он выражен в процентах) или единицы (если он выражен в виде коэффициента).
В нашем примере:
Прогнозирование уровней рядов динамики
Модели на основе средних значений могут быть использованы, когда значение уровня ряда динамики колеблется вокруг среднего значения и в ряде нет какой-либо ярко выраженной тенденции (тренда).
Метод скользящей средней
В прогнозировании значение скользящей средней (обозначим её M t ) вычисляется по формуле
,
где N - длина интервала сглаживания.
В этом случае среднее значение, которое используется для прогноза, является адаптивным средним. При пронозировании принимается, что это адаптивное среднее значение является самым лучшим (наиболее вероятным) значением для следующего периода. Обозначим прогнозируемое значение через F t . Тогда
F t+1 = M t .
Пример 9. Рассмотрим пример с данными об объёмах продаж холодильников предприятия "Х" по месяцам.
При рассмотрении графика объёма продаж видно, что изменения объёма не подвержены какой-либо долгосрочной тенденции или тренду, объёмы продаж колеблются вокруг среднего значения.
Поэтому при расчёте прогноза можно использовать среднее значение. Вычислим значения скользящей средней по приведённой выше формуле:
для третьего месяца - 
,
для четвёртого месяца - 
Результаты даны в третьем столбце таблицы (для первых двух месяцев по этой формуле скользящие средние вычислить невозможно).
| Месяцы t | Объёмы продажи холодильников y t | Скользящая средняя M t |
| 1 | 113 | - |
| 2 | 117 | - |
| 3 | 112 | 114 |
| 4 | 113 | 114 |
| 5 | 108 | 111 |
| 6 | 112 | 111 |
| 7 | 116 | 112 |
| 8 | 120 | 116 |
| 9 | 121 | 119 |
| 10 | 113 | 118 |
| 11 | 111 | 115 |
| 12 | 118 | 114 |
| Прогноз F t | Погрешность прогноза ε t |
| - | - |
| - | - |
| - | - |
| 114 | -1 |
| 114 | -6 |
| 111 | 1 |
| 111 | 5 |
| 112 | 8 |
| 116 | 5 |
| 119 | -6 |
| 118 | -7 |
| 115 | 3 |
Наиболее вероятные прогнозы на каждый месяц по соответствующей формуле даны в четвёртом столбце таблицы. Прогноз на первый месяц следующего года F 13 = 114 можно сделать по данным трёх последних месяцев.
При использовании модели среднего значения прогнозы зависят от длины интервала сглаживания. Поэтому закономерен вопрос: как выбрать интервал и какая величина - "лучшая" для интервала? Для ответа на этот вопрос нужно оценить погрешность прогноза среднего для различных интервалов сглаживания и выбрать тот, у которого случайная ошибка прогноза - наименьшая.
Погрешность прогноза для каждого момента времени вычисляется по формуле
ε t = y t − F t .
Среднюю погрешность прогноза на основе скользящей средней обычно вычисляется как среднее абсолютное отклонение, которое обозначается MAD (Mean Absolute Deviation):
где n - число вычисленных ошибок.
При оценке прогноза можно использовать также среднюю квадратическую погрешность и среднюю абсолютную процентную ошибку.
Средняя квадратическая погрешность MSE (Mean Squared Error) вычисляется по формуле
.
Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE (Mean Absolute Percenting Error) вычисляется по формуле
.
Пример 10. В нашем случае, когда N =3, MAD=4,67. Для значений N от 2 до 6 значения MAD следующие:
| N | MAD |
| 2 | 4,50 |
| 3 | 4,67 |
| 4 | 4,78 |
| 5 | 4,11 |
| 6 | 4,42 |
На основе этих значений погрешности можем сделать вывод, что при использовании интервала сглаживания длиной в пять периодов можно получить наилучший прогноз с точки зрения минимального среднего абсолютного отклонения. С использованием такого интервала сглаживания получаем прогноз: наиболее вероятно, что в первый месяц следующего года будут проданы 116 холодильников:
F 13 = (118 + 111 + 113 + 121 + 120)/5 = 116,6 .
При использовании формулы значения скользящей средней каждому уровню ряда динамики в границах периода сглаживания присваивается один и тот же вес. Так, если N =3, то вес соответствует 1/3, поэтому формулу в этом случае можно записать так:
M t = (1/3)y t + (1/3)y t−1 + (1/3)y t−2 .
Но можно использовать и скользящие средние значения с различными весами - так называемые скользящие средневзвешенные. При этом нужно соблюдать условие: сумма весов равна единице. Например, при N =3 можно использовать весы 3/5, 1/5, 1/5. В этом случае
M t = (3/5)y t + (1/5)y t−1 + (1/5)y t−2 .
Модели прогнозирования на основе скользящей средней и скользящей средневзвешенной имеют существенный недостаток: для вычисления пронозируемого значения используются только последние N уровней ряда динамики и только для вычисления погрешности используются предыдущие n − N уровней. Поэтому для прогнозирования средних значений рядов динамики используются и другие методы.
Метод экспоненциальной средней (экспоненциального сглаживания)
Основная формула значения экспоненциальной средней:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t ,
где α - параметр экспоненциального сглаживания, который может принимать значения от 0 до 1.
Таким образом, прогноз для каждого следующего периода строится на среднем взвешенном значении предыдущего уровня ряда динамики и значении предыдущего прогноза. Например, для прогноза значения четвёртого уровня ряда динамики формула будет следующей:
F 4 = αy 3 + (1 − α )F 3 ,
для прогноза третьего уровня
F 3 = αy 2 + (1 − α )F 2 ,
для прогноза второго уровня
F 2 = αy 1 + (1 − α )F 1 . ,
То есть в прогнозе используется среднее взвешенное значение от y 3 и F 3 с весами α и 1 − α .
В общем случае прогноз на каждый следующий период является средней взвешенной величиной от всех предыдущих уровней ряда динамики.
Вернёмся к уравнениям прогноза значений третьего и четвёртого уровней ряда динамики. Подставляя каждое следующее уравнение в предыдущее, получаем
или в общем виде
.
Таким образом, в общем случае прогнозируемое значение вычисляется с использованием всех уровней ряда динамики путём их умножения на соответствующие коэффициенты (весы): или .
Так как параметр экспоненциального сглаживания α принимает значения от 0 до 1, эти коэффициенты образуют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом a 1 = α и квоциентом q = 1 − α . То есть они подчинены экспоненциальному закону распределения. Например, если α = 0,5 , то α (1 − α ) = 0,25 , α (1 − α )² = 0,125 и так далее. Если α = 0,2 , то α (1 − α ) = 0,16 , α (1 − α )² = 0,128 и так далее. На графике можно видеть, что весы экспоненциально убывают, но в первом случае более стремительно, а во втором - медленнее.
В зависимости от величины параметра экспоненциального сглаживания α различным уровням ряда динамики можно присвоить различные весы. Например, если о прогнозируемом показателе известно, что на его будущие значения больше влияют более близкие из предыдущих уровней ряда, то параметр α должен быть больше, чем в случае, когда бОльшее влияние оказывают более ранние значения ряда динамики. А если бОльшее влияние оказывают более ранние значения, то параметр α должен быть меньше.
В практических вычислениях принимают, что F 1 = y 1 , так как необходимые для вычисления F 1 значения y 0 и F 0 неизвестны.
Пример 11. Сделаем прогноз методом экспоненциального сглаживания для ряда динамики, содержащего данные об объёмах продажи холодильников предприятия "Х" из предыдущих примеров.
F 1 = y 1 = 113,0
F 2 = 0,2⋅113 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,0
F 3 = 0,2⋅117 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,8
F 4 = 0,2⋅112 + (1 − 0,2)⋅113,8 = 113,44
Прогноз на первый месяц следующего года:
F 13 = 0,2⋅118 + (1 − 0,2)⋅114,33 = 115,06 .
Значения экспоненциальной средней, если принимаем, что α = 0,2 , даны в третьем столбце таблицы.
| Прогноз (α = 0,2 ) F t | Погрешность прогноза ε t |
| 113,0 | 0 |
| 113,0 | 4 |
| 113,8 | -1,8 |
| 113,44 | -0,44 |
| 114,35 | -6,35 |
| 112,28 | -0,28 |
| 112,23 | 3,77 |
| 112,98 | 7,02 |
| 114,38 | 6,62 |
| 115,71 | -2,71 |
| 115,17 | -4,17 |
| 114,33 | 3,67 |
Прогноз можно уточнить, если выбрать более оптимальное значение α : такое, при использовании которого средняя погрешность прогноза - наименьшая. Выберем MSE в качестве величины, характеризующей погрешность. Эта погрешность для различных значений α следующая:
| α | MSE |
| 0,01 | 4,01 |
| 0,02 | 4,00 |
| 0,05 | 3,97 |
| 0,10 | 3,97 |
| 0,15 | 3,98 |
| 0,20 | 4,02 |
| 0,25 | 4,05 |
| 0,30 | 4,08 |
| 0,35 | 4,13 |
| 0,40 | 4,16 |
| 0,45 | 4,20 |
| 0,50 | 4,23 |
Видим, что наименьшая погрешность прогноза для данного ряда динамики при использовании метода экспоненциального выравнивания соответствует значениям α от 0,05 до 0,15. Примем за оптимальное значение в середине между этими двумя, то есть 0,1. Тогда получим следующий прогноз объёма продаж: 114,3.
Формулу экспоненциальной средней можно преобразовать, чтобы в прогнозе учитывалась погрешность прогноза для предыдущего периода:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t
F t+1 = αy t + F t − α F t
F t+1 = F t + α (y t − F t )
F t+1 = F t + α ε t ).
Как показывает последнее выражение, прогноз по методу экспоненциальной средней образуется из прогноза с экспоненциальным средним значением прошлого периода с прибавлением погрешности ошибки, умноженной на параметр сглаживания α . Если погрешность больше нуля, это означает, что предыдущий прогноз был меньше фактического значения и следующий прогноз будет соответственно увеличен. Если погрешность меньше нуля, то прогноз был меньше фактического значения и прогноз на следующий период будет соответственно уменьшен.
Доверительный интервал для прогнозов на основе средних значений
Доверительный интервал прогноза определяется путём вычисления стандартной погрешности s ε .
Фактически можно принять, что в 68 % случаев прогнозы находятся в интервале Ft ± s ε , а в 95 % случаев - в интервале Ft ± 2s ε .
Чтобы вычислить s ε , можно использовать значение средней абсолютной погрешности MAD или значение средней квадратической погрешности MSE:
.
Пример 12. В нашем примере с объёмами продажи холодильников стандартная прогрешность для прогноза по методу скользящей средней, если N =5, равна . Это означает, что для 8 месяцев (0,68⋅12) прогноз должен быть с округлением в пределах от 112 до 122 (116,6±5,1), а для 11 месяцев (0,95⋅12) - в пределах от 106 до 127 (116,6±2⋅5,1).
Стандартная погрешность прогноза по методу экспоненциального сглаживания, если
α
=0,1, составляет 
.
Это означает, что в 68 % случаях прогноз с округлением должен находиться в границах от 110 до 118
(114,3±4,1), а в 95 % - в границах от 106 до 123 (114,3±2⋅4,1).